2025-2026学年苏科版数学九年级上册国庆自主学习（01-05）

2025--2026学年第一学期初三数学第五周滚动练习 国庆节自主练习001 1．方程x（x﹣3）＝0的解为（　　） A．3 B．0 C．0与﹣3 D．0与3 2．一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 ； B．有两个相等的实数根； C．无实数根； D．无法确定。 3．抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣7的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，7） B．（﹣2，﹣7） C．（2，﹣7） D．（2，7） 4．把抛物线y＝（x+2）2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（　　） A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2 5．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　） A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝4 C．（x+1）2＝5 D．（x+1）2＝7 6．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是　 　 ． 7．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝　 　 ． 8．（2023秋•姑苏区校级期中）已知代数式x2﹣2比2x+1小4，则x＝　 　 ． 9．（2020秋•太仓市期中）二次函数y＝2x2﹣4x图象的对称轴是直线　 　 ． 10．（2023秋•姑苏区校级期中）受益于国家支付新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为 　 　 ． 11．（2024秋•工业园区期中）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）求△ABC的面积． 12．某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：，乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： （1）若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； （2）如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 13．如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边AB的长为x米，平行于墙的边BC长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． （1）当x＝10米时，y＝ 　 　 米，S＝ 　 　 平方米； （2）求S与x之间的函数表达式； （3）围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 14． 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 15．（2024秋•工业园区期中）已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值； （3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标． 2025--2026学年第一学期初三数学第五周滚动练习 国庆节自主练习002 1．若二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2+mx＝7的解为（　　） A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7 2．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（　　） A．B．C．D． 3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　） A．B． C．D． 4．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＞2 5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 第3题第8题第10题 6．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 　 　 m． 7．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+7，n），则n＝　 　 ． 8．（2018•苏州）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为　 　 （结果保留根号）． 9．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为　 　 ． 10．（2024秋•姑苏区校级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③﹣1＜a＜0；④b2+8a＞4ac；⑤a+c＜1．其中正确的是 　 　 ．（填序号） 11．解下列方程： （1）3x（x+1）＝2（x+1）； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 12．先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0． 13．已知关于x的方程x2+8x+12﹣a＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解． 14．（2023秋•姑苏区校级期中）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为25米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为80平方米？ 15．如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b时，函数的解析式不同）． （1）填空：△ABC的面积为　 　 ； （2）求直线AB的解析式； （3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围． 2025--2026学年第一学期初三数学第五周滚动练习 国庆节自主练习003 1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　） A．B．C．D． 2．若二次函数y＝x2+x+m﹣1的图象经过第一、二、三象限，则m满足的条件是（　　） A．m≥1 B．m＞1 C．0＜m＜ D．1≤m＜ 3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3 4．（2024秋•姑苏区校级期中）当a取任何实数时，点P（a﹣1，a2﹣3）都在抛物线上，若点Q（m，n）在抛物线上，则m2+2m﹣n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 5．在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2平移到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上． 甲：无论m取何值，都有n2＜0； 乙：若点P平移后的对应点为P′，则点P移动到点P′的最短路程为； 丙：当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ先变长后变短． 下列判断正确的是（　　） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 第5题第7题 6．（2024秋•吴江区期中）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣3的图象与y轴交点坐标为 　 　 ． 7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动．则△PBQ的最大面积是 　 　 ． 8．（2024秋•吴江区期中）二次函数y＝x2，当﹣2＜x≤3时，则y的取值范围是 　 　 ． 9．（2024秋•吴江区期中）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过A（﹣2，t）、B（4，t）两点，则t的值为 　 　 ． 10．（2024秋•吴江区期中）在平面直角坐标系中，A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）上的两点．若对于x1＝3a，2≤x2≤4，都有y1＜y2，则a的取值范围为 　 　 ． 11．计算： （1）﹣12020+（π﹣3.14）0+（）﹣2； （2）2x4y6﹣x2•（﹣2xy3）2． 12．解方程： （1）x2﹣4x＝1 （2）﹣1＝ 13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A，B，C三点． （1）观察图象，直接写出：当x满足 　 　 时，抛物线在直线AC的上方． （2）求抛物线的解析式； （3）观察图象，直接写出：当x满足 　 　 时，y＜0； （4）若抛物线上有两个动点M（m，y1），N（m+2，y2），请比较y1和y2的大小． 14．已知抛物线的顶点为C（﹣1，﹣4），交x轴于点A、B且过点（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线y＝x+m交抛物线于B、D，求点D的坐标． 15．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是该抛物线上一点，且位于第一象限，过点P分别作对称轴l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OAC相似，求点P的坐标． 2025--2026学年第一学期初三数学第五周滚动练习 国庆节自主练习004 1．（2024秋•吴江区期中）二次函数y＝﹣2（x+2）2+1图象的对称轴是直线（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 2．（2024秋•吴江区期中）抛物线y＝x2+2x与x轴交点的横坐标是（　　） A．0 B．2 C．0，2 D．0，﹣2 3．（2024秋•吴江区期中）将函数y＝x2﹣2x﹣1的图象向左平移3个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（4，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 4．（2024秋•吴江区期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上有一点（﹣1，0），对称轴是直线 x＝1，给出下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024秋•苏州期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+x＝x（x﹣2） C． D．x2＝2x 6．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4） 7．将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+1 8．（2024秋•苏州期中）关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　 ． 9．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是 　 　 ． 第4题第9题 10．（2024秋•苏州期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为　 　 ． 11．若点A（﹣1，y1），B，C（2，y3）在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　 （用“＞”连接）． 12．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝　 　 13．（2024秋•吴江区期中）已知二次函数． （1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标； （2）若P（﹣2，y1），Q（5，y2）两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小． 14．（2024秋•吴江区期中）已知：如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC的面积S． 15．（2024秋•吴江区期中）已知，如图1：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为点C． （1）则点A的坐标为 　 　 ，点B的坐标为 　 　 ，点C的坐标为 　 　 ； （2）如图2，过点C作CN⊥x轴于点N，点D是抛物线上位于B、C两点之间的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，令OE＝t，连接AD交CN于点M，请用含t的代数式表示MN的长； （3）如图3，在（2）的基础上，过点A作AF⊥AB，交直线DC于点F，连接EF、BC，求证：EF∥BC． 2025--2026学年第一学期初三数学第五周滚动练习 国庆节自主练习005解答题训练 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点O及点C． （1）求直线与抛物线相应的函数关系式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使得S△OCD＝S△OCB？如果存在，请求出满足条件的点D；如果不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（5，0），对称轴为直线x＝2， （1）求a，c的值． （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在抛物线上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜4，比较y1，y2的大小，并说明理由． （3）若抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，顶点为D，DE⊥x轴于点E，F是第一象限内抛物线上的一点，连接CE，FC，FE，求△CEF面积的最大值及此时点F的坐标． 3．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B横坐标为2，连接AM、BM． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断△ABM的形状，并说明理由； （3）把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点． 4．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣x+b交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C），过点P作PN⊥AB交AC于点M，垂足为N，连接AP，CP．设点P的横坐标为m． （1）求b的值； （2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围； （3）求△PAC的面积S关于m的函数解析式，并求使得△APC面积最大时，点P的坐标； （4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标． 5．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，P是y轴右侧抛物线上一点，过点P作x轴垂线交直线BC于D，S△PDC＝2S△PDB，求点P的坐标． 6．已知抛物线：y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点G是AC的中点． （1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴． （2）直线yx与抛物线交于点M，N且MO＝NO，求抛物线解析式． （3）已知点P是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．若以点C，P，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线yx+1与抛物线yx2+bx+c交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线yx2+bx+c交x轴正半轴于点C，横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上，过点P作AB的垂线交x轴于点E，点Q为垂足，设CE的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围： （3）在（2）的条件下，过点B作y轴的平行线交x轴于点D，连接DQ．当∠AQD＝3∠PQD时，求点P坐标． 8．已知：如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，﹣4）与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）． （1）求该抛物线的解析式． （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）若点M是抛物线上一动点，点N是直线y＝x上一动点，请直接写出以点M、N、C、O为顶点的四边形是平行四边形时，点N的相应坐标．（不需写出计算过程） 9．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点D． （1）求点A、B、D的坐标； （2）若点C在该抛物线上，使△ABD≌△BAC．求点C的坐标，及直线AC的函数表达式； （3）P是（2）中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值． 10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出A、B、D三点坐标． （2）如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，求线段MN长度的最大值； （3）如图2，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标． 11．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣1）和点B（4，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点（点P在直线AB的下方），过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，求线段PQ的长（用含m的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 由①得：y＝﹣x+8.1．∴2.4＝﹣x+8.1．解得：x＝11.4．∴11.4﹣3＝8.4（km）． 答：这两个位置之间的距离为8.4km； （2）当x＝9时，y＝81a+9．∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）． 设火箭落地点与发射点的水平距离为15km． ∴y＝﹣x+b经过点（9，81a+9），（15，0）∴．解得：． ∴﹣＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【点评】本题考查二次函数的应用．比火箭运行的最高点低的高度，要从求得的两个函数解析式去考虑合适的自变量的取值；求火箭落地点与发射点的水平距离超过15km时a的取值范围，需要求出火箭落地点与发射点的水平距离恰好是15km时a的值． 15．【分析】（1）根据点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA可得出C点坐标，再把A、C两点的坐标代入抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）求出a，c的值即可； （2）过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线BC的解析式，故可得出DM＝﹣（x﹣）2+，再由S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD即可得出结论； （3）过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H，证明△OAC≌△HKA，可得K（2，1），用待定系数法求出直线CM的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标． 【解答】解：（1）∵OC＝3OA，A（﹣1，0），∴C（0，﹣3）． 把点A，C的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得，解得， ∴抛物线线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N． ∵抛物线线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴B（3，0），∴AB＝4， ∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝AB×OC+×DM×（BN+ON）＝6+×DM×OB＝6+DM， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴，解得，故直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设D（x，x2﹣2x﹣3），M（x，x﹣3），则DM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+， 当x＝时，DM有最大值，此时四边形ABDC面积有最大值为； 图1图2 （3）如图2，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H， ∵∠ACM＝45°，∴AC＝AK，∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH， ∴△OAC≌△HKA（AAS），∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，∴K（2，1）， 设直线CM的解析式为y＝kx﹣3，∴2k﹣3＝1，∴k＝2， ∴直线CM的解析式为y＝2x﹣3， 联立，解得x＝0（舍去），或x＝4，∴M（4，5）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形． 国庆节自主练习002 1．【分析】先根据二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx＝7，求出x的值即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得m＝﹣6， ∴关于x的方程x2+mx＝7可化为x2﹣6x﹣7＝0，即（x+1）（x﹣7）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7．故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键． 2．【分析】可根据a＞0时，﹣a＜0和a＜0时，﹣a＞0分别判定． 【解答】解：当a＞0时，﹣a＜0，二次函数开口向上，当b＞0时一次函数过一，二，四象限，当b＜0时一次函数过二，三，四象限；当a＜0时，﹣a＞0，二次函数开口向下，当b＞0时一次函数过一，二，三象限，当b＜0时一次函数过一，三，四象限．所以B正确．故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是根据a，b的取值来判定二次函数及一次函数的图象的正误． 3．【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可． 【解答】解：当点Q在AC上时，∵∠A＝30°，AP＝x，∴PQ＝xtan30°＝， ∴y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；当点Q在BC上时，如图所示： ∵AP＝x，AB＝16，∠A＝30°，∴BP＝16﹣x，∠B＝60°，∴PQ＝BP•tan60°＝（16﹣x）． ∴＝＝． ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况． 4．【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：2﹣x≠0，解得：x≠2． 故函数y＝中自变量x的取值范围是x≠2．故选：A． 【点评】本题考查了求函数自变量取值范围，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5．【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解； 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1， ∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B． 轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 10．【分析】①抛物线开口向下得a＜0，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＜0，可得b＜0，由抛物线与y轴交于正半轴得c＞0，即可判断①； ②由对称轴x＝﹣＝的取值范围，可得2a﹣b的正负，即可判断②； ③由抛物线经过（﹣1，2）得a﹣b+c＝2（1），由图知，当x＝1时，y＜0得a+b+c＜0（2），由图知，当x＝﹣2时，y＜0，得4a﹣2b+c＜0（3），联立（1）、（2）、（3）便可求得a的取值范围，即可判断③； ④由抛物线的对称轴x＝﹣＞﹣1，得，进而得b2+8a＞4ac，即可判断④； ⑤由当x＝﹣1得a﹣b+c＝2，由x＝1得a+b+c＜0，进而得a+c的取值范围，即可判断⑤． 【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＜0，∴b＜0， ∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①不正确； ②∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，∴﹣1＜＜0， ∵对称轴x＝﹣＝，∴﹣1＜﹣＜0，∴2a＜b＜0，∴2a﹣b＜0，故②正确； ③∵抛物线经过（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2（1），由图知，当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0（2）， 由图知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0（3），联立（1）（2）得a+c＜1， 联立（1）（3）得2a﹣c＜﹣4，∴3a＜﹣3，∴a＜﹣1，故③错误； ④∵抛物线的对称轴x＝﹣＞﹣1，∴抛物线的顶点纵坐标应该大于2，∴， ∵a＜0，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，故④正确； ⑤当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2，当x＝1时，a+b+c＜0，∴a﹣b+c+a+b+c＜2，∴a+c＜1，故⑤正确； 故正确的结论是②④⑤．故答案为：②④⑤． 【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标性质，以及利用函数图象得出函数与坐标轴的近似值，进而得出函数解析式，这种题型是中考中新题型． 11．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得． 【解答】解：（1）∵3x（x+1）＝2（x+1），∴3x（x+1）﹣2（x+1）＝0， 则（x+1）（3x﹣2）＝0，∴x+1＝0或3x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝； （2）∵2x2﹣4x﹣1＝0，∴2x2﹣4x＝1，∴x2﹣2x＝，则x2﹣2x+1＝1+，即（x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣． 【点评】分别考查一元二次方程的几种解法，解题的关键是根据不同方程的形式选择最佳方法解决问题． 12．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝•＝﹣， 由x2+3x﹣4＝0，得到（x﹣1）（x+4）＝0，解得：x＝1（舍去）或x＝﹣4，当x＝﹣4时，原式＝﹣． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围；（2）得到a的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+8x+12﹣a＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝82﹣4（12﹣a）＝4a+16＞0，∴a＞﹣4； （2）a满足条件的最小值为a＝﹣3，此时方程为x2+8x+15＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣5． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键． 14．【分析】设BC的长为x m，则AB的长为（25+1﹣x）m．根据矩形面积公式建立方程求出其解即可； 【解答】解：设BC的长为x m，则AB的长为（25+1﹣x）m． 依题意得：（25+1﹣x）x＝80，化简，得x2﹣26x+160＝0， 解得：x1＝10，x2＝16（舍去），（25+1﹣x）＝8米， 答：若矩形鸡舍的面积为80平方米，长和宽分别为10米和8米； 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 15．【分析】（1）由图2结合平移即可得出结论； （2）判断出△AOB≌△CEA，得出AE＝OB，CE＝OA，再由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，即可利用三角形ABC的面积求出OB，OA，即可得出结论； （3）分两种情况，利用三角形的面积公式或三角形的面积差即可得出结论． 【解答】解：（1）结合△ABC移动和图2知，点B移动到点A处，就是图2中，m＝a时，S＝S△A'B'F＝， 点C移动到x轴上时，即：m＝b时，S＝S△A'B'C′＝S△ABC＝，故答案为， （2）如图1，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠AEC＝∠BOA＝90°， ∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAE＝90°，∵∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OBA＝∠CAE， 由旋转知，AB＝AC，∴△AOB≌△CEA（AAS），∴AE＝OB，CE＝OA， 由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，∴OA＝2OB，∴AB2＝5OB2， 由（1）知，S△ABC＝＝AB2＝×5OB2，∴OB＝1，∴OA＝2， ∴A（2，0），B（0，1），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1； （3）由（2）知，AB2＝5，∴AB＝， ①当0＜m≤时，如图3，∵∠AOB＝∠AA'F，∠OAB＝∠A'AF， ∴△AOB∽△AA'F，∴，由运动知，AA'＝m，∴， ∴A'F＝m，∴S＝AA'×A'F＝m2， ②当＜m≤2时，如图4：同①的方法得，A'F＝m，∴C'F＝﹣m， 过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BM⊥CE于E，∴BM＝3，CM＝1， 易知，△ACE∽△FC'H，∴，∴，∴C'H＝， 在Rt△FHC'中，FH＝C'H＝，由平移知，∠C'GF＝∠CBM， ∵∠BMC＝∠GHC'，∴△BMC∽△GHC'，∴，∴ ∴GH＝，∴GF＝GH﹣FH＝ ∴S＝S△A'B'C′﹣S△C'FG＝﹣××＝﹣（2﹣m）2， 即：S＝． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，平移的性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解本题的关键． 国庆节自主练习003 1．【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【解答】解：二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标． 2．【分析】利用二次函数性质，抛物线与x轴有2个交点，与y轴交点不在负半轴上，即Δ＞0，且m﹣1≥0，然后解不等式组即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+x+m﹣1经过第一、二、三象限， ∴Δ＝12﹣4（m﹣1）＞0且m﹣1≥0，解得1≤m＜．故选：D． 【点评】考查二次函数图象与系数关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 3．【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间． 【解答】解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上； 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），∴该二次函数图象当x＜m时，即y随x的增大而减小； 而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，∴x≤3，∴x﹣m≤0，∴m≥3．故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质．解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程y＝（k﹣h）x2﹣b中的h，b的意义． 4．【分析】任去a的三个值，得到三个点的坐标，然后根据待定系数法求得解析式，把Q（m．n）代入变形后即可求得． 【解答】解：∵当a取任何实数时，点P（a﹣1，a2﹣3）都在抛物线上， ∴当a＝0时，（﹣1，﹣3），当a＝1时，（0，﹣2），当a＝2时，（1，1）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 代入（﹣1，﹣3），（0，﹣2），（1，1）得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣2， ∵点Q（m，n）在抛物线上，∴n＝m2+2m﹣2，∴m2+2m﹣n＝2，故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得抛物线的解析式是解题的关键． 5．【分析】求抛物线C2顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，即可求得点P移动到点P′的最短路程为＝3，即可判断乙说得对；由PQ＝|﹣（m+1）2+2+（m﹣2）2+1|＝|﹣6m+6|可知当﹣3＜m＜1时，PQ＝﹣6m+6，根据一次函数的性质即可判断丙说得对． 【解答】解：∵抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1开口向下，顶点为（2，﹣1）， ∴无论m取何值，都有n2＜0；故甲说得对； ∵将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2的顶点为（﹣1，2），抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1）， ∴将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，∴点P移动到点P′的最短路程为＝3，故乙说得对； ∵PQ＝|﹣（m+1）2+2+（m﹣2）2+1|＝|﹣6m+6|，∴当﹣3＜m＜1时，PQ＝﹣6m+6，∴PQ随着m的增大而减小，∴当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ由长变短，故丙说得不对．故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 6．【分析】直接令x＝0，即可求出抛物线与y轴交点的坐标． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+6x﹣3＝﹣3， ∴二次函数y＝﹣x2+6x﹣3的图象与y轴交点坐标为（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题． 7．【分析】依据题意，设动点运动的时间为t s，从而PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2t cm，故S△PBQ＝BQ•PB＝×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），再结合二次函数的性质可以判断得解． 【解答】解：由题意，设动点运动的时间为t s，∴PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2t cm， ∴S△PBQ＝BQ•PB＝×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2）． ∴S＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，∴t＝时，S最大＝（cm2）．故答案为：cm2． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．【分析】根据二次函数y＝x2可得对称轴为 x＝0，结合自变量的取值方法，代入x＝﹣2，x＝0，x＝3进行计算，即可求解． 【解答】解：已知二次函数y＝x2，∴对称轴为 x＝0，开口向上， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小；当 x＞0时，y随x的增大而增大； ∴当﹣2≤x≤0时，x＝﹣2，y＝（﹣2）2＝4是最大值；x＝0时，y＝0是最小值； 当0≤x≤3时，x＝3，y＝32＝9是最大值；x＝0时，y＝0是最小值； ∴当﹣2≤x≤3时，0≤y≤9，故答案为：0≤y≤9． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数的性质的增减性结合自变量的取值范围确定正确的答案，难度不大． 9．【分析】根据抛物线y＝﹣x2+bx+4经过A（﹣2，t）、B（4，t）两点，可得﹣＝，解得b＝2，即可求得抛物线为y＝﹣x2+2x+4，把A的坐标代入即可求得t的值． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+4经过A（﹣2，t）、B（4，t）两点， ∴﹣＝，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+4， ∴t＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+4＝﹣4，故答案为：﹣4． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 10．【分析】利用作差法建立关于x2和a的不等式组，因为a不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可． 【解答】解：由题得，y1＝a•（3a）2﹣2a2•3a，y2＝a﹣2a2x2，∵y1＜y2， ∴y2﹣y1＝（a﹣2a2x2）﹣[a•（3a）2﹣2a2•3a]＝a（﹣2ax2﹣3a2）＝a（x2﹣3a）（x2+a）． 分情况讨论如下：当a＞0时，（x2﹣3a）（x2+a）＞0或a＜0时，（x2﹣3a）（x2+a）＜0， ①当a＞0时，（x2﹣3a）（x2+a）＞0，∴或．∴x2＞3a或x2＜﹣a， ∵2≤x2＜4，∴3a＜2或﹣a＞4，∴a＜或a＜﹣4，∵a＞0，∴0＜a＜； ②当a＜0时，（x2﹣3a）（x2+a）＜0， （2）设，且m＞4，分两种情况讨论，①△PMN∽△OAC，②△PMN∽△OCA，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：（1）把 A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4， 得，解得，∴抛物线的函数表达式为； （2）当x＝0时，，∴C（0，﹣4），∴OC＝4， ∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∵，∴抛物线对称轴为直线x＝1， 设，且m＞4，∴PM＝m﹣1，， ∵∠MPN＝∠AOC＝90°，若△PMN和△OAC相似，分两种情况， ①△PMN∽△OAC，∴，即，∴， 解得或（舍去），∴，∴， ②△PMN∽△OCA，∴，即，∴，解得或（舍去）， ∴，∴， 综上所述，或． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 国庆节自主练习004 1．【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h，根据抛物线解析式可求二次函数y＝﹣2（x+2）2+1的对称轴． 【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+2）2+1图象的对称轴是直线x＝﹣2，故选：D． 【点评】考查二次函数的性质，二次函数的图象，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力． 2．【分析】将y＝0代入抛物线解析式，求出x的值，即可解答本题． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x，∴当y＝0时，x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2， 即抛物线y＝x2+2x的图象与x轴交点的横坐标分别是0，﹣2，故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线与x轴的交点的横坐标． 3．【分析】由题意知，y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，则平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣1+3）2﹣2＝（x+2）2﹣2，然后作答即可． 【解答】解：由题意知，y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣1+3）2﹣2＝（x+2）2﹣2， ∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的平移，二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．【分析】根据二次函数的图象与性质的特点，逐一判断各选项即可得到结果． 【解答】解：①∵二次函数图象开口向下，∴a＜0， ∵二次函数图象与y轴正半轴相交，∴c＞0，∴ac＜0，故该结论正确，符合题意； ②∵对称轴为x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a，∵二次函数图象与x轴相交于（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，∴3a+c＝0，故该结论正确，符合题意； ③∵抛物线的图象中顶点在第一象限，∴， ∵a＜0，∴4ac﹣b2＜0，故该结论正确，符合题意； ④根据函数图象，可得到：当x≤1时，y随x的增大而增大 当x＞1时，y随x的增大而减小，故该结论错误，不符合题意．故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．【分析】根据“含有一个未知数，并且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”进行求解． 【解答】解：A、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程就不为一元二次方程，故不符合题意； B、把x2+x＝x（x﹣2）化简为3x＝0，该方程不为一元二次方程，故不符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； D、x2＝2x是一元二次方程，故符合题意；故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 6．【分析】根据函数的解析式可以直接写出抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4，∴该抛物线的顶点坐标是（3，4），故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的顶点坐标． 7．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可． 【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣1﹣2，即y＝2（x+1）2﹣3，故选：B． 【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 8．【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【解答】解：关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×m×（﹣1）＝16+4m＞0且m≠0，解得m＞﹣4且m≠0，答案为：m＞﹣4且m≠0． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 9．【分析】根据函数图象，可以得到抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴与x轴的一个交点，从而可以写出另一个交点，然后即可得到当y＝0时对应的x的值，即方程x2+bx+c＝0的解． 【解答】解：由图象可得，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴该抛物线于x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴当y＝0时，0＝x2+bx+c对应的x的值是x1＝﹣1，x2＝3，故答案为：x1＝﹣1，x2＝3． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是写出抛物线与x轴的交点坐标． 10．【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：移项得，x2﹣2x＝1，配方得，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2．故答案为：（x﹣1）2＝2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 11．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2+k的开口向上，对称轴为直线x＝2，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【解答】解：y＝（x﹣2）2+k，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， ∵点A（﹣1，y1）离直线x＝2的距离最远，C（2，y3）在直线x＝2上， ∴y1＞y2＞y3．故答案为：y1＞y2＞y3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 12．【分析】求出函数与x轴另外一个交点的坐标，则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6，则﹣3an2＝﹣6，即可求解． 【解答】解：函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n， 由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，0）， 则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6 即：﹣3an2＝﹣6，解得：an2＝2， 当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+2nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t，故答案为﹣8． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 13．【分析】（1）通过解方程x2﹣x﹣＝0得抛物线与x轴的交点坐标；通过计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标； （2）先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质，通过比较P点和Q点到对称轴的距离大小得到y1，y2的大小． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； 当x＝0时，y＝x2﹣x﹣＝﹣，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）； （2）抛物线的对称轴为直线x＝1， 因为P（﹣2，y1）到直线x＝1的距离比点Q（5，y2）到直线x＝1的距离小， 而抛物线开口向上，所以y1＜y2． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 14．【分析】（1）根据直线BC的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线的图象上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值； （2）根据抛物线的解析式，可求得E点的坐标，联立直线BC的解析式，可求得C点坐标；那么四边形BDEC的面积即可由△AEC、△ABD的面积差求得． 【解答】解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c， 得：，解得：，故解析式y＝x2﹣x+1； （2）设C（x0，y0），则有 ，解得，∴C（4，3）， 由图可知：S＝S△ACE﹣S△ABD，又由对称轴为x＝可知E（2，0）， ∴S＝AE•y0﹣AD×OB＝×4×3﹣×3×1＝． 【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标及图形面积的求法，求出E点坐标是解答此题的关键． 15．【分析】（1）对于，当x＝0，y＝﹣4，令＝0，则﹣2或4，即可求解； （2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝（t﹣4）（x+2），当x＝1时，y＝（t﹣4）（x+2）＝t﹣6，即可求解；（3）证明EF和BC函数表达式中的k值均为，即可求解． 【解答】（1）解：对于，当x＝0，y＝﹣4，令＝0，则﹣2或4， 即点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）， 由抛物线的表达式知，C（1，﹣），故答案为：（﹣2，0）、（4，0），（1，﹣）， （2）解：由抛物线的表达式知，点C（1，﹣），设点D（t，t2﹣t﹣4），点E（t，0）， 由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝（t﹣4）（x+2）， 当x＝1时，y＝（t﹣4）（x+2）＝t﹣6，则MN＝﹣y＝﹣t+6（1＜t＜4）； （3）证明：设点D（t，t2﹣t﹣4），点E（t，0）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝（x﹣4）， 同理可得：直线CD的表达式为：y＝（t﹣1）（x﹣1）﹣， 当x＝﹣2时，y＝（t﹣1）（x﹣1）﹣＝﹣t﹣3，即点F（﹣2，﹣t﹣3）， 由点E、F的坐标得，直线EF的表达式为：y＝（x﹣t）， 由于EF和BC函数表达式中的k值均为，∴EF∥BC． 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 国庆节自主练习005 1．【解答】解：（1）将B（4，8）代入y＝kx+4中得k＝1， ∴y＝x+4，把A（1，m）代入y＝x+4中的m＝5， 将A（1，5），B（4，8），O（0，0）代入y＝ax2+bx+c中 得∴y＝﹣x2+6x； （2）存在，由﹣x2+6x＝0得C（6，0），即OC＝6，∴S△OBC6×8＝24，∴S△OCD＝24， ∵D点在x轴上方，由此可得D点纵坐标为8，代入抛物线解析式得：﹣x2+6x＝8， 解得x＝2或4；∴D1（4，8），D2（2，8）．∵B（4，8），∴D（2，8）． 【点评】本题考查了的坐标，一次函数、二次函数解析式的求法，并根据面积求满足条件的点的坐标． 2．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴，∴， 将A（5，0）代入解析式得，解得； （2）由（1）知a，c，∴抛物线的解析式为， 当x1＝﹣1时，y1（﹣1）20，当x1＝0时，，∴； 当x2＝2时，y2＝42×2，当x2＝4时，，∴，∴y1＜y2； （3）当y＝0时，，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（﹣1，0）， 当x＝0时，，∴，当x＝2时，，∴， ∵DE⊥x轴于点E，∴E（2，0），如图，过点F作FG⊥x轴于点G， 设，则G（m，0）， ∵，OG＝m，，OE＝2，EG＝m﹣2， ∴， ∴，∵， ∴当时，S△CEF最大，最大值为，此时点． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．【解答】解：（1）∵A点为直线y＝x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0）， 又B点横坐标为2，代入y＝x+1可求得y＝3，∴B（2，3）， ∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y＝ax2+c， 把A、B两点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣1； （2）△ABM为直角三角形．理由如： 由（1）抛物线解析式为y＝x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1）， ∴AM，AB3，BM2， ∴AM2+AB2＝2+18＝20＝BM2，∴△ABM为直角三角形； （3）当抛物线y＝x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y＝（x﹣m）2+2m，即y＝x2﹣2mx+m2+2m， 联立y＝x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m＝0， ∵平移后的抛物线总有不动点，∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m＝0总有实数根， ∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，解得m，即当m时，平移后的抛物线总有不动点． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中． 4．【解答】解：（1）令x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，即A＝（﹣1，0），B（3，0）， 把A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，得b＝﹣1，则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1； （2）把x＝m代入抛物线解析式得：y＝m2﹣2m﹣3，把x＝m代入直线解析式得：y＝﹣m﹣1， ∴NP＝﹣（m2﹣2m﹣3），MN＝﹣（﹣m﹣1）， ∴MP＝NP﹣NM＝﹣（m2﹣2m﹣3）+（﹣m﹣1）＝﹣m2+m+2，m的取值范围是﹣1＜m＜2； （3）过点作CE⊥AB于点E，则S△APC＝S△AMP+S△CMPMP•ANMP•NEMP•AEm2m+3， ∵﹣1＜0，开口向下，∴当m时，S△APC面积最大，此时P（，）； （4）分三种情况：①当P为抛物线顶点时， 此时MC＝PC，△CMP为等腰三角形，P点坐标为P1（1，﹣4）； ②当P为C关于抛物线对称轴对称的点时，此时MP＝MC时，△CMP为等腰三角形， ∵点C（2，﹣3），对称轴为：x＝1，∴点P坐标为P2（0，﹣3）； ③当P为MC的垂直平分线上点时，此时PM＝PC，△CMP为等腰三角形，P3（1，2﹣4）． 【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数与x轴的交点，一次函数与二次函数图象的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 5．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解方程得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（3，0），C（0，﹣3）分别代入得，解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设P（t，t2﹣2t﹣3）（t＞0），则D（t，t﹣3）， ∴PD＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，∵S△PDC＝2S△PDB， ∴|t2﹣3t|×t＝2|t2﹣3t|×|t﹣3|，即t＝2|t﹣3|，解得t＝2或t＝6， ∴P点坐标为（2，﹣3）或（6，21）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 6．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣6ax﹣16a＝a（x2﹣6x﹣16）， 令y＝0，则x2﹣6x﹣16＝0，解得x＝﹣2或x＝8，∴A（﹣2，0），B（8，0）， ∵y＝a（x﹣3）2﹣25a，∴对称轴为直线x＝3； （2）联立方程组，整理得，ax2﹣6axx﹣16a＝0，∴xM+xN＝6， ∵MO＝NO，∴M点与N点关于原点对称，∴xM+xN＝0，∴60，∴a，∴yx2x﹣4； （3）由yx2x﹣4，则C（0，﹣4），设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴，∴，∴yx﹣4，设P（t，t2t﹣4），则E（t，t﹣4），∴PEt2+2t， ∴CE，CP， ∵点G是AC的中点，∴G（﹣1，﹣2），∴AG，GO，∴△AOG是等腰三角形， ∵OA＝2，OC＝4，∴tan∠OAC＝2，∵OB＝8，∴tan∠OCB＝2，∴∠CAO＝∠OCB， ∵PE∥OC，∴∠FEB＝∠OCB，∴∠DEP＝∠CAO， ①当CP＝PE时，△AOG∽△CEP，∴PE＝PC，∴t2+2t，解得t＝3， ∴P（3，）； ②当PC＝CE时，△AOG∽△PEC，∴，解得t＝4或t＝8（舍）， ∴P（4，﹣6）；综上所述，P点坐标为（4，﹣6）或（3，）． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 7．【解答】解：（1）令y＝0得：x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴点A（﹣2，0）． 将x＝4代入得：y4+1＝3，∴B（4，3）． 将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：， ∴抛物线的解析式为yx23． （2）如图1所示： 令y＝0得：0x23，解得：x1＝﹣2，x2＝3， ∴点C的坐标为（3，0）．设点P的坐标为（t，t2t﹣3）． ∵EC⊥AB，∴设EP的解析式为y＝﹣2x+b． 将点P的坐标代入得：﹣2t+bt2t﹣3，解得bt2t﹣3． 设直线EP的解析式为y＝﹣2xt2t﹣3． 令y＝0，得：2xt2t﹣3＝0，解得：xt2t．∴点E（t2t，0）． ∴EC＝3﹣（t2t）t2t．∴dt2t． ∵点P在第四象限，∴0＜t＜3． （3）如图2所示：过点d作CF⊥AB，垂足为F． ∵∠AQD＝3∠PQD，∠AQP＝90°，∴∠PQD＝45°．∴∠DQF＝45°．∴QF＝DF． ∵AB的解析式为yx+1，∴tan∠FAD，即DFAF．∴Q为AF的中点． ∵QP∥DF，∴E为AD的中点．∴E（1，0）． ∴EC＝2，即2t2t，解得t＝2或t＝﹣5． ∵点P在第四象限，∴t＝2，当x＝2时，y＝﹣2．∴点P的坐标为（2，﹣2）． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定、平行线分线段成比例定理，求得点E的坐标是解题的关键． 8．【解答】解：（1）由题意得，，解得， 所以，抛物线的解析式为yx2﹣x﹣4； （2）设点Q坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于G， 由x2﹣x﹣4＝0，得x1＝﹣2，x2＝4，∴点B的坐标为（﹣2，0）， ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，BQ＝m﹣（﹣2）＝m+2， ∵QE∥AC，∴△EBQ∽△BAC，∴，即，解得EG， S△CQE＝S△BCQ﹣S△BEQ，BQ•COBQ•EG，（m+2）×4（m+2）， m2m，（m﹣1）2+3，又∵﹣2≤m≤4， ∴m＝1时，△CQE的面积最大，最大值是3，此时点Q（1，0）； （3）存在． ①DO＝DF时，∵A（4，0），D（2，0），∴AD＝OD＝DF＝2， 又∵在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∠DFA＝∠OAC＝45°， ∴∠ADF＝90°，此时点F的坐标为（2，﹣2）， ∵直线l平行于x轴，∴点P的纵坐标为﹣2，∴x2﹣x﹣4＝﹣2， 解得x1＝1，x2＝1，∴点P的坐标为（1，﹣2）或（1，﹣2）； ②DF＝OF时，过点F作FH⊥x轴于H，由等腰三角形的性质得，OHOD＝1， ∴AH＝4﹣1＝3，∴在等腰直角△AHF中，HF＝AH＝3，∴点F的坐标为（1，﹣3）， ∵直线l平行于x轴，∴点P的纵坐标为﹣3，∴x2﹣x﹣4＝﹣3，解得x1＝1，x2＝1， ∴点P的坐标为（1，﹣3）或（1，﹣3）； ③OD＝OF时，∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴AC4， ∴点O到AC的距离为2，∵OF＝OD＝2＜2， ∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形， 综上所述，P点的坐标为（1，﹣2）或（1，﹣2）或（1，﹣3）或（1，﹣3）； （4）∵A（4，0），C（0，﹣4），∴直线AC与x轴的夹角为45°，∴直线AC与直线y＝x平行， ①点M与点A重合时，ON与CM是对应边，此时点N的横坐标是4或﹣4， 又∵点N在直线y＝x上，∴点N的坐标为（4，4）或（﹣4，﹣4）， ②点M与点A不重合时，设点N的坐标为（m，m）， ∵MN与OC是对边，∴MN＝OC，∴|m2﹣m﹣4﹣m|＝4， ∴m2﹣m﹣4﹣m＝4或m2﹣m﹣4﹣m＝﹣4，整理得，m2﹣4m﹣16＝0或m2﹣4m＝0， 解得m1＝2+2，m2＝2﹣2，m3＝4（M与A重合，舍去），m4＝0（M与C重合，舍去）， ∴点N的坐标为（2+2，2+2）或（2﹣2，2﹣2）， 综上所述，存在点N（2+2，2+2）或（2﹣2，2﹣2）或（4，4）或（﹣4，﹣4）． 【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，等腰三角形的性质，平行四边形对边平行且相等的性质，（2）利用所求三角形的面积等于两个三角形的面积的差求解是解题的关键；（3）难点在于根据等腰三角形的腰的不同分情况讨论，（4）根据平行四边形的对边平行且相等分情况列出方程是解题的关键． 9．【解答】解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，（1分） ∴A的坐标为：A（﹣1，0），B的坐标为：B（3，0），（2分） 令x＝0，解得y＝﹣3；∴D的坐标为：D（0，﹣3）．（3分） （2）根据抛物线的对称性可得C的坐标为：（2，﹣3），（5分） 设AC的解析式为：y＝kx+b，将A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入可求得k＝﹣1，b＝﹣1； ∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．（8分） （3）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），（注：x的范围不写不扣分） 则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），（9分）E（x，x2﹣2x﹣3）；（10分） ∵P点在E点的上方，PE＝﹣x﹣1﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x）2；（12分） ∴当x时，PE的最大值． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、用待定系数法确定函数解析式的方法以及二次函数最值的应用等知识，难度适中． 10．【解答】解：（1）点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，﹣4）；理由如下：∵在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， 当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3， 当x＝0时，得y＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，﹣4）； （2）设ME⊥x轴于点E，设M（m，m2﹣2m﹣3），如图1， 设直线BC的解析式为y＝kBCx+bBC，将点B，点C的坐标代入得： ，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∵过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，∴N（m，m﹣3）， ∵点P的横坐标为m，P在抛物线y＝x2﹣2x﹣4，Q在y＝x上， ∴P（m，m2﹣2m﹣4），Q（m，m）． ∴PQ＝m﹣（m2﹣2m﹣4）＝﹣m2+3m+4． （3）设△PAB 的面积为s，由（2）得：PQ＝﹣m2+3m+4， ∴ ． ∵，∴当 时，S取最大值 ，此时．∴P（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并理解． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $