7.1复数的概念学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第一节 复数的概念 ▶▷ 核心基础导学 ◁◀ 84 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:复数的有关概念 （1）定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,实部是,虚部是. （2）虚数单位:把平方等于的数用符号表示,规定,我们把叫作虚数单位. （3）表示方法:复数通常用字母表示,代数形式为. （4）复数集:①定义:全体复数所成的集合.②表示:通常用大写字母表示. 复数概念说明: （1）复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成的形式,其中. （2）复数的实部是,虚部是实数而非. （3）复数只有在时才是复数的代数形式,否则不是代数形式. ▍知识点2:虚数单位 （1）它的平方等于,即; （2）就是的一个平方根,即方程的一个根,方程的另一个根是. ▍知识点3:复数的分类 对于复数, （1）当且仅当时,它是实数; （2）当且仅当时,它是实数; （3）当时,叫做虚数; （4）当且时,叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下:复数 （5）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 ［对应练习:基础1、基础2］ ▍知识点4:复数相等的充要条件 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.即:如果,那么 特别地:. 注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小如果两个复数都是实数,就可以比较大小;也只有当两个复数全是实数时才能比较大小. ［对应练习:基础3］ ▍知识点5:复数的几何意义 （1）复平面:当用直角坐标平面内的点来表示复数时,称这个直角坐标系为复平面,轴为实轴,轴为虚轴. （2）几何意义 ①任意一个复数与复平面内的点是一一对应的. ②任意一个复数与复平面内的向量是一一对应的. （3）复数的模 向量的模叫做的模或绝对值,记作或.. 注意:两个复数不全是实数时不能比较大小,但它们的模可以比较大小. ［对应练习:基础4—基础7］ ▍知识点6:共轭复数 如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为共轭复数. 复数的共轭复数记作.复数的共轭复数是:. 注意:（1）当复数的虚部时,有,也就是任一实数的共轭复数是它本身 （2）在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等. ［对应练习:基础8］ ▶练基础 复数的概念 1 【典例▪1】（2024高二·北京）复数（    ） A.i B. C.1 D. 【典例▪2】设复数,则的虚部为（ ） A.4 B.-4 C.4i D.-4i 【变式▪3】若复数的实部与虚部之和为0,则b的值为 . 【练习▪4】（23-24高一·天津）以的虚部为实部,以的实部为虚部的复数是（    ） A. B. C. D. ▶练基础 复数的分类 2 【典例▪5】（2024·陕西高一）当实数取什么值时,复数是下列数？ （1）实数; （2）虚数; （3）纯虚数. 【典例▪6】设C为复数集,R为实数集,I为虚数集,M为纯虚数集,则下列式子中不正确的是 （请填代号）. ①; ②; ③; ④. ▶练基础 复数的相等 3 【典例▪7】求满足下列条件的实数,的值: （1）; （2）. 【变式▪8】已知复数, ,若,则实数 . ▶练基础 复数与复平面内的点 4 【典例▪9】（24-25高一·全国·课后作业）复数在复平面内对应的点在（    ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【练习▪10】已知,若复数为纯虚数,则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【练习▪11】复数对应的点在第四象限,则角是（   ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【练习▪12】复数 （）在复平面上对应的点为,求实数取什么值时,点: （1）在实轴上; （2）在虚轴上; （3）在第一象限. ▶练基础 复数与复平面内的向量 5 【典例▪13】向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【练习▪14】向量对应的复数是 . 【练习▪15】在复平面内,是原点,向量对应的复数是,点关于虚轴的对称点为,则向量对应的复数是 . 【练习▪16】在复平面上,对应的复数为,若点关于实轴的对称点为,则对应的复数为 . 【练习▪17】复数与分别表示向量与,则向量表示的复数是 . ▶练基础 复数的模 6 【典例▪18】若复数满足,则 . 【变式▪19】已知复数为纯虚数（,是虚数单位）,且,则（ ） A.且 B.且 C.或 D.或 【练习▪20】（23-24高二下·广东·期中）已知复数的模为,实部为,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪21】复数（）在复平面上对应的点在第四象限,,则 . 【练习▪22】已知复数,则（    ） A. B. C. D.3 ▶练基础 复数模的几何意义 7 【典例▪23】设:,点对应复数,在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ （1）; （2）. 【变式▪24】设,则在复平面内所表示的区域的面积是（ ） A. B. C. D. ▶练基础 共轭复数 8 【典例▪25】求下列复数的共轭复数: （1）; （2）; （3）. 【练习▪26】若复数为纯虚数,则复数的共轭复数为（    ） A. B. C. D. 【练习▪27】（23-24高二·山西长治·期末）已知（）,且,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪28】（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足:,那么（    ） A. B. C. D. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 已知复数坐标特征求参数 1 【典例▪29】若复数在复平面内对应的点在第一象限,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【练习▪30】复数（,为虚数单位）对应的点在第二象限内,则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D.或 【练习▪31】复数对应的点在第四象限,则角是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【练习▪32】若复数,当实数m为何值时 （1）z是实数; （2）z对应的点在第二象限. ▍练题型 复数与向量的关系 2 【典例▪33】四边形是复平面内的平行四边形,三点对应的复数分别是,则点对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【变式▪34】已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点分别为,将向量绕着点（为复平面内的原点）逆时针旋转得到向量,则对应的复数为（    ）    A. B. C. D. 【练习▪35】在复平面内,是原点,向量对应的复数是,将绕点按逆时针方向旋转,则所得向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【练习▪36】把复数对应的点向右平移个单位长度得到点,把所得向量绕点逆时针旋转,得到向量,则点对应的复数为 . 【练习▪37】设复数对应的向量为,复数对应的复数为,则（　　） A.按逆时针旋转,再拉伸2倍得到 B.按顺时针旋转,再拉伸2倍得到 C.按逆时针旋转,再压缩倍得到 D.按顺时针旋转,再压缩倍得到 ▍练题型 复数的模及其应用 3 【典例▪38】（23-24高一·全国课后作业）已知复数. （1）若,且,求实数的值; （2）求当为何值时,最小,并求的最小值. 【练习▪39】（2024·高一测试）复数与在复平面上对应的向量为与,已知, ,且,则复数 . 【练习▪40】复数满足关系式:,则复数在复平面内对应点的轨迹是（ ） A.两条直线 B.一条直线和一个圆 C.两个圆 D.一个圆 【练习▪41】已知复数满足,则复数对应的点的集合是什么图形（    ） A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆 【练习▪42】（1）已知复数z满足,求. （2）已知,对任意的,均有成立,求实数a的取值范围. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.（2023·河北·模拟）已知为虚数单位,,集合,则（ ） A. B. C. D. 2.（22-23高一·福建福州·期中）1748年,瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式,这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此公式,当时,表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、多选题 3.在复平面内,,对应的复数分别为,,且,则可能是（    ） A. B. C. D. 三、填空题 4.（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数,且,则实数的取值范围为 . 5.（2024·辽宁）已知复数, ,,若,求实数的取值范围 . 四、解答题 6.关于x的方程有实数根,求实数a的值和这个实数根. 7.求复数与复数在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小. $第七章复数 第一节复数的概念 核心基础导学 【1】D 解析：=-1.故选：D 【2】B 解析：由题意复数==3-4i,则=的虚部为-4.故选：B 【3】2 解析：复数2-bi6∈R)的实部与虚部分别为2，-b,因此2-b=0,解得 b=2,所以b的值为2. 【4】c 解析：31-√互的虚部为3，所求复数实部为3， 32+√2i,即-3+√2的实部为-3，所求复数的虚部为-3.所求复数为 3-3i.故选：C 【5】详见解析 解析：(1)由题意复数(m2+2m-8)+(m2-2m)i 当m2-2m=0,即m=0或m=2时，所给复数是实数 (2)当m2-2m≠0，即m≠0且m≠2时，所给复数是虚数， 2+2m-8=0 (3)当t-2m≠0 ,即m=-4时，所给复数是纯虚数 【6】② 解析：IUR=C,则①判断正确：IUM=1,则②判断错误： I⌒R=O,则③判断正确：R⌒C-R,则④判断正确 【7】(1)a=2,b=-1(2)a=1,b=3或a=-1b=-3 「a-3动=5 解析：(1)由题意可知 2a+3站=1，解得a=2,6=-1 (2)由题意可知 a2-b2=-8 ,解得a=1,b=3或a=-1,b=-3 2ab=6 【】1或-号 解析：若5=3，则m-2=cos20 m+2=sm0 又cos20=1-2sin20 则m2-2=1-2m+2y,解得m=-1或m=- 故答案为：1或号 3 【9】B 解析：由题意得i+2=i-1,对应点为（1，)，它在第二象限，故B正确 【10】D 解析：因为三C-)+a+1为纯虚数，所以￥00，解得a1,所 以复数a-i=1-i,其复平面内对应的点上，-1)在第四象限，故选：D 【11】B 解析：因为复数s=2sin日+icos(6eR)对应的点在第四象限， 则白日因比角9是第三家限角故去B 【12】(1)m=1或m=3(2)m=-1或m=3(3)m<-1或m>3 解析：(1)点Z在实轴上，即复数=为实数，由m2-4m+3=0得m=1或 m=3, ∴.当m=1或m=3时，点z在实轴上： (2)点Z在虚轴上，即复数二为纯虚数或0，由m2-2m-3=0得m=-1 或m=3, ∴.当m=-1或m=3时，点Z在虚轴上： (3)点Z在第一象限，即复数二的实部虚部均大于0， 由m-2m-3>0青 Jm<-1或m>3 m-4m+3>0,即m<1或m>3,解得m<1或m>3, .当m<-1或m>3时，点Z在第一象限 【13】A 解析：由复数的几何意义知：AB=(2,-3)对应的复数为2-3i.故选：A 【14】-3i 解析：由复数的几何意义得向量O2=(0,-3)对应的复数是==0-3i=-3引 故答案为：-3i 【15】-3+i 解析：向量Q4对应的复数是3+i,即A(3,),则点A关于虚轴的对称点 为B(-3,1),则向量OB对应的复数是-3+i.故答案为：-3+i 【16】-1+2i 解析：点A关于实轴的对称点为B,OA对应的复数为-1-2i,坐标为 (-1,-2),则OB对应的坐标为(-12)，故对应的复数为-1+2i 【17】6-8i 解析：，复数4+3i与-2-5i分别表示向量O4与OB, .0A=(4,3),0B=（-2,-5) 又AB=0-0A=(-2,-5)-(43)=(6,-8), 向量正表示的复数是-6-8i故答案为：-6-8i 【18】√5 解析：因为=1-2i,所以日+(-2=5.故答案为：5 【19】D 解析：复数=(a+b)-(a-b)i为纯虚数，则 a+b=0 -b≠0，即a=-b≠0，故 =2bi,由日=V2b)=2l2,则b=1或b=-1.故选：D. 【20】D 解析：设：=2+bi,beR,由日=V4+b=而，得b=±W6,所以 ==2±√6i.故选：D. 【21】-22 解析：复数==1+ai(aeR)在复平面上对应的点在第四象限， 所以a<0,又H=+a2=3,解得a=2反（舍去）或a=-22 故答案为：-2√2 【22】D 解折：因为=1+2+2i=5+2i,所以=5)+4=3.故选：D. 【23】(1)满足条件日=2点Z的集合是以原点0为圆心，以2为半径 的圆 (2)以原点O为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环 的边界 解析：(1)复数=的模等于2，这表明，复数=对应的向量O2之的长度 等于2，即点z到原点O的距离等于2，因此满足条件日2点z的集合 是以原点O为圆心，以2为半径的圆。 (2)不等式2≤日≤3可以化为不等式组 s3 旧≥2 不等式目≤3的解集是圆目=3和该圆内部所有的点构成的集合， 不等式日22的解集是圆目日=2和该圆外部所有的点构成的集合， 这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件2≤日≤3 的点Z的集合.所求的集合是以原点O为圆心，以2和3为半径的两圆 所夹的圆环，并包括圆环的边界. 【24】C 解析：满足条件日=3的复数=在复平面内对应的点的轨迹是以原点为 圆心，半径为3的圆， 满足条件日=5的复数二在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心 半径为5的圆，则在复平面内3≤日≤5所表示的区域为圆环，如下图中 阴影部分区域所示： 所以，在复平面内3≤≤5所表示的区域的面积是π×(5-3子)=16π.故 选：C. 【25】(1)-12+5i(2)=-√3i(3)=6 解析：(1)由5，=12-5i,得=12+5i (2)由52=√3i,得2=-√ (3)由5=6，得，=6 【26】B 解析：因为==(m-2023)-(m+1)i(meR)为纯虚数 所以/m-2023=0 仁6m+1)≠0，解得m=2023,所以=-2024i,所以三=2024i故 选：B 【27】B 解析：由于4==1+b2,故62=3，而b>0,故b=V5 所以二=1-bi=1-√5i.故选：B 【28】A 解析：设：=a+bi(abeR),则=a-i,月=F+F 因为=+月2+，即a+后+8+i=2+。 所以+后+= a=-3 ,解得 b=4 所以==-3+4i.故选：A b=4 重点题型专练 【29】C 解析：由三=a+(1-a)i在复平面内对应的点在第一象限，所以 h-a>0→0<a<1,故选：C a>0 【30】B 解析：因为复数==1+m)+(2-)i对应的点在第二象限内，所以 2-m>0,解得m<L,故选：B. 1+m<0 【31】B 解析：因为复数s=2sin日+icos(日∈R)对应的点在第四象限，则 他0。因比角9是第金限角放选B 【32】(1)m=-1或m=2:(2)(-3,-1) 解析：(1)因为=(2+m-6)+(m2-m-2i,=是实数，则m2-m-2=0, 解得m=-1或m=2: 2)若：对应的点在第二象果则仁网0解得-3m<1, 即m的取值范围为(3，-1) 【33】A 解析：由已知得，A(13),B(2,-1),C(-3,1),设D(x,), 因为AB=(1,4),DC=(-3-x,1-y), 四边形ABCD是复平面内的平行四边形， 所i解阳 y=5' 所以点D对应的复数为-4+5i.故选：A 【34】C 解析：依题意可得A1-1),B(-1,2),O=(1,2), 由图知，向量0元与向量可A=1,-)关于x轴对称.0正=(1,1)， 0C+0丽=(1)+(L2)=(0,3),所以0C+©丽对应的复数为3i.故 选：C 【35】A 解析：如图，由题意可知0z=(1),0z与x轴夹角为子， 绕点0逆时针方向旋转妥后z到达x轴上乙点。 又回园=2，所以乙，的坐标为（√2,0）， 所以OZ对应的复数为-√五.故选：A 【36】-1+2i 解析：因为复数1+i对应的点的坐标为(1,1) 所以点A的坐标为(2,1)，即向量OA=(2,1), 所以向量0丽=(-1,2)，即点B的坐标为（12)， 所以点B对应的复数为-1+2i, 故答案为：-1+2i。 【37】A 解析：因为52=-8+6i=(3+4i)2i,即52=52i, 所以复数，=3+4i对应的向量为O2,复平面内对应的点为(3,4)，按逆 时针旋转三，得到对应的点为(4，)，对应复数为4+31，再拉伸2倍得 到点(-8,6)，即得到OZ.故选：A 【38】(1)x=4或x=-3:(2)当m=-1时，最小值为√5 解析：(1)由m=1,得==3+41，二=3-4， 则由月=下+(6-，得√3+(4=V+(-,整理得 x2-x-12=0, 解得x=4或x=-3: (2)月=0+2m°+[-(3+m)]=5m2+10m+10=V5(m++5≥5， 当且仅当m=-1时，目取得最小值，最小值为√5 【39】1- 解析：依题意，0Z=(W5,),设0Z=(x,y), 由0Z10Z得：oZ.0z=V5x+y=0,由lpz=pz得：x2+y2=4。 联立解得 x=1 y=5或5，即oz=0,-B)或0z=(L5), 所以，=1-√5i或=-1+V5i.故答案为：1-V3i或-1+5i 【40】C 解析：由2-H+3=0,解得日=：或3. 当日；时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为 台的圆 当日=3时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为3 的圆.故选：C 【41】A 解析：日-3-4=0， (0日-4+=0 日=4（日=-1舍去）， .复数二对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的一个圆. 故选：A 【e1①s:e)( 解折：(1)解法1：设=a+bi(a,beR),则非a2+6 代入方程得a+bi+Va2+b2=2+8i, 所a++-4解行 ,a=-15 b=8 所以三=-15+8i. 解法2：原式可化为s=2-=+8,于是=卡V2-1=)+82, 即1==68-4|=+1=，所以=卡17， 代入=2-+8i,得=-15+8i (2)因为=+x2+1=+,且>， 所以x4+x2+1>(x2+a,即1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立 当1-2a=0,即a=时，1-子>0恒成立： 1-2a>0 当1-2a≠0时， l△=-40-2a0-a)<0 解得-1<a<分 综上实数：的取位疱是( 综合巩固提升 1.【答案】C (2a-1=6,解得/=3 解折：由题得a+(2a-归=b-2+bi,所以0三6-2 6=5,所以 A∩B={3+5i.故选：C 2.【答案】C 解析：因为2r+5<0≤2r+20(kez),所以 4m+r<20≤4x+4红，(keZ）,所以cos20<0,sm20<0 所以e2a=cos20+isim20对应点位于复平面的第三象限.故选：C 3.【答案】AC 解折：因为5宁 i,52=cos0+isim0,且OZ,⊥0Z, 2 即.) (2之a80=0,所以5o0+9m9-0, 2 即cos0=-√3sim6,又sim20+cos20=1 1 1 2 sine=- 则 2 或 2 2 所以=5+或=5.故选：AC 2+2 22 4.【答案】（-3,3 解析：因为s=4+ai 所以1=卡√42+a2=V16+a2<5, 所以16+a2<25,即a2<9,解得，-3<a<3.故答案为：(-3,3) 5.【答案】[10，+∞) 解析：5，=52.asin0=m2+12sin0+4=2m, 4 .asin0=sin0+4sin0+5,a=sin+- r8e(0,x).0<sin8≤1，令t=sm8∈(0,1， 根据对勾函数单调性可知函数a=t+4+5在(0,1]上严格单调递减 ∴a=1++5=10,所以a的范围为[0，+m).故答案为：0，+. 6【答笑】当实数a=山时，实数根为2：当实数a=时，实数根为 五 解析：设方程的实数根为=m,则3m-受m-1-0-m-2m 根据复数相等的充要条件得： 3-号m-10 10-m-2m2=0 5 「m=2 = 解得： 2 a或 :当实数a=时，实数根为2：当实数。=号时实数根为号 .【答笑】牙 解析：复数3+4i对应向量的坐标为(3,4)， 复数-1+7i对应向量的坐标为(-1,7）， 设复数3+4i与复数-1+7i在复平面上所对应的两个向量的夹角为6 则o0=B401)）252 a4175x55之，由于0≤0≤m,所以0=F