5.3.3函数的最值与导数课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.3 函数的最值与导数 第一课时 函数的最值及应用 人教A版选择性必修第二册第五章 课时目标 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(重点). 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值(重点). 3.能根据函数极值求参数的值或取值范围(难点). 1.函数的最值与导数 【问题1】如图是函数的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 是函数的极小值， ，，是函数的极大值. 1.函数的最值与导数 【追问1】进一步地，你能找出函数在区间上的最小值、最大值吗？ 函数在区间上的最小值是，最大值是. 1.函数的最值与导数 【追问2】在图（1），图（2）中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗？如果有，分别是什么？ 函数在区间上的最小值是，最大值是. 函数在区间上的最小值是，最大值是. 1.函数的最值与导数 【追问3】综合上述例子，若在闭区间[a，b]上函数f(x)图像是一条连续不断的曲线，那么它在[a，b]上是否一定有最大(小)值？如果有，会在哪些位置取得. （如果在闭区间[a，b]上函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线） 1.函数最值 对于函数f(x)，给定区间I. （1）最大值：若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值； （2）最小值：若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值. （3）连续函数f(x)在[a，b]上必有最大(小)值； （4）连续函数f(x)的最值点只能是极值点或端点. 【追问4】函数f(x)图像在开区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么它在(a，b)上是否一定有最大(小)值？ 1.函数的最值与导数 图（3） 图（4） 2.如果在开区间(a，b)上函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则： (1)函数f(x)在(a，b)上不一定有最大(小)值； (2)若函数f(x)在(a，b)上有唯一极值必为最值. 1.函数的最值与导数 【追问5】函数的最值与极值的区别与联系是什么？ ①极值是对某一点附近（局部）而言，最值是对函数的整个定义区间而言. ②在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个. ③函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. ④对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得. 【例1.1】(1)(课本例6)求函数f(x)=x3-4x+4在区间[0，3]上的最大值与最小值. (2)求函数f(x)=x+sin x，x∈[0，2π]的最值. 【答案】(1)函数f(x)=x3-4x+4在区间[0，3]上的最大值是4， 最小值是-. (2) 当x=0时，f(x)有最小值f(0)=0； 当x=2π时，f(x)有最大值f(2π)=π. 1.求函数的最值 1.求函数的最值 【例1.2】设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f ′(x)的最小值为－12. (1)求a，b，c的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1，3]上的最大值和最小值. 1.求函数的最值 (1)求在(a，b)内方程f'(x)=0的所有根； (2)计算(1)中所有根对应的函数值； (3)把(2)中计算的函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 反 思 感 悟 求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 2.求含参函数的最值 【例2】已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0，+∞)上的最小值. 【解析】f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a)，令f'(x)=0，得x1=-，x2=a. ①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(a)=-a3. ②当a=0时，f'(x)=3x2≥0，f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(0)=0. ③当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增,所以f(x)min=f=a3. 综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为-a3； 当a=0时，f(x)的最小值为0； 当a<0时，f(x)的最小值为a3. 2.求含参函数的最值 【变式】当a>0时，求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a，2a]上的最值. 【解析】f'(x)=(3x+a)(x-a)(a>0)，令f'(x)=0，得x1=-，x2=a. 所以f(x)在上单调递增， 在上单调递减，在[a，2a]上单调递增. 因为f (-a)=-a3，f=a3，f (a)=-a3，f (2a)=2a3. 所以f(x)max=f(2a)=2a3. f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3. 2.求含参函数的最值 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 含参数的函数最值问题的两类情况 反 思 感 悟 【练习】已知函数f(x)=(x-k-1)ex(k∈R). (1)当k=1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)讨论f(x)在区间[0，3]上的最小值. 2.求含参函数的最值 【解析】当k=1时，f(x)=(x-2)ex，f(0)=-2，则f'(x)=(x-1)ex，所以f'(0)=-1， 则f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=-x-2，即x+y+2=0， 所以当k=1时，函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为x+y+2=0. 函数f(x)=(x-k-1)ex，则f'(x)=(x-k)ex， 当x>k时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增； 当x<k时，f'(x)<0，此时f(x)单调递减， 当k>3时，函数在[0，3]上单调递减，故f(x)min=f(3)=(2-k)e3； 当k<0时，函数在[0，3]上单调递增，故f(x)min=f(0)=-1-k； 当0≤k≤3时，f(x)min=f(k)=-ek. 综上可得f(x)min= 3.根据最值求参数的值或范围 【例3】已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，x∈[-1，2]的最大值为3，最小值为-29，求a，b的值. 【解析】由题设知a≠0，否则f(x)=b为常数函数，与题设矛盾. 求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)，令f'(x)=0，得x1=0，x2=4(舍去). ①当a>0，且当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表： 由表可知，当x=0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[-1，2]上的最大值， ∴f(0)=b=3.又f(-1)=-7a+3，f(2)=-16a+3<f(-1)， ∴f(2)=-16a+3=-29，解得a=2. ②当a<0时，同理可得，当x=0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[-1，2]上的最小值， ∴f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29，f(2)=-16a-29>f(-1)，∴f(2)=-16a-29=3，解得a=-2. 综上可得，a=2，b=3或a=-2，b=-29. x -1 (-1，0) 0 (0，2) 2 f '(x)   + 0 -   f(x) -7a+b 单调递增 b 单调递减 -16a+b 3.根据最值求参数的值或范围 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 反 思 感 悟 3.根据最值求参数的值或范围 【练习】已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 【解析】∵h(x)=x3+3x2-9x+1，∴h'(x)=3x2+6x-9. 令h'(x)=0，得x1=-3，x2=1， 当x变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如表： ∴当x=-3时，h(x)取极大值28； 当x=1时，h(x)取极小值-4.而h(2)=3<h(-3)=28， ∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28， 则k≤-3.∴k的取值范围为(-∞，-3]. x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) 单调递增 28 单调递减 -4 单调递增 求函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[𝑎，𝑏]上的最大值与最小值的步骤 课堂小结 ①求函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎，𝑏)内的极值； ②将函数𝑦=𝑓(𝑥)的各极值与端点处的函数值𝑓(𝑎)，𝑓(𝑏)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 随堂练习 1.已知是的极值点，则在上的最大值是（ ） A． B． C． D． 2.函数在上有最大值，则实数的取值范围是 . A 5.3.3 函数的最值与导数 第一课时 函数导数的综合应用 人教A版选择性必修第二册第五章 1.利用导数研究函数的零点或方程的解 【例1】给定函数. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数. 解析：（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增.当时，有极小值. （3）当 时，解为个； 当 或 时，解为个； 当 时，解为个. (1)求出函数的定义域. (2)求导数f'(x)及函数f'(x)的零点. (3)用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值. (4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势. (5)画出f(x)的大致图象. 反 思 感 悟 判断零点的个数问题的思路 1.利用导数研究函数的零点或方程的解 1.利用导数研究函数的零点或方程的解 【练习】给定函数f(x)＝ex－x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]上的根的个数. 【解析】（1）函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex－1，令f'(x)＝0，解得x＝0. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增. 当x＝0时，f(x)取极小值f(0)＝1，也是最小值， 故函数f(x)的值域为[1，＋∞). （2）由(1)可知，函数的最小值为1. 函数的图象经过特殊点f(－1)＝＋1， f(2)＝e2－2，f(0)＝1， 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f'(x)→＋∞； 当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示. x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f '(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 1 单调递增 1.利用导数研究函数的零点或方程的解 （3）截取函数f(x)在区间[－1，2]上的图象如图所示. 由图象知， 当f(0)<m≤f(－1)， 即当m∈时， f(x)的图象与直线y＝m恰有两个不同的交点，即当m∈时，方程f(x)＝m在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根；同理，当m＝1或＋1<m≤e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1，2]上有唯一的实根；当m<1或m>e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1，2]上无实根. 1.利用导数研究函数的零点或方程的解 【练习】（1）方程(x+1)ex=a(a>0)解的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】设f(x)=(x+1)ex，所以f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex， 当x>-2时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x<-2时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以f(x)min=f(-2)=-e-2=-<0，当x→-∞时，f(x)→0-， 当x→+∞时，f(x)>0.函数f(x)的大致图象如图所示， 因为a>0，所以方程(x+1)ex=a(a>0)的解的个数为1. C 1.利用导数研究函数的零点或方程的解 【练习】（2）已知函数，画出函数的大致图象. 1.利用导数研究函数的零点或方程的解 2.利用导数证明不等式 【例2】证明不等式ln x≤x－1. 【证明】由题意知x>0，令f(x)＝x－1－ln x， 所以f'(x)＝1－， 所以当x>1时，f'(x)>0；当0<x<1时，f'(x)<0， 故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有最小值f(1)＝0， 故有f(x)＝x－1－ln x≥f(1)＝0， 即ln x≤x－1成立. 【变式1】 证明不等式ln(x＋1)≤x. 2.利用导数证明不等式 【证明】由题意知x>－1，令f(x)＝ln(x＋1)－x，所以f'(x)＝－1＝， 所以当－1<x<0时，f'(x)>0； 当x>0时，f'(x)<0，故f(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)有最大值f(0)＝0， 故有f(x)＝ln(x＋1)－x≤f(0)＝0， 即ln(x＋1)≤x成立. 【变式2】已知x>0，求证：<ln(1＋x). 2.利用导数证明不等式 【证明】方法一　令g(x)＝ln(1＋x)－， 当x>0时，g'(x)＝＝>0. 即当x>0时，函数g(x)单调递增. 即g(x)>g(0)＝0. 故g(x)＝ln(1＋x)－>0，即<ln(1＋x). 方法二　∵ln x≤x－1，当且仅当x＝1时等号成立. ∴当x>0时，ln<－1， 即ln<，∴<ln(x＋1). (1)与ln x有关的常用不等式 ①≤ln x≤x－1(x>0，当且仅当x＝1时，等号成立). ②ln x≤(x>0，当且仅当x＝e时，等号成立). ③ln x≤(0<x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立). ④ln x≥(x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立). ⑤ln x≥(0<x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立). ⑥ln x≤(x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立). (2)与ex有关的常用不等式 ①ex≥1＋x(x∈R). ②ex≥ex(x∈R). 反 思 感 悟 2.利用导数证明不等式 【练习】已知函数. （1）讨论的单调性. （2）当时，证明. 解析：（1）的的定义域为， 若，则当时，，故在上单调递增. 若，则当时，；当时，. 故在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：由（1）知，若时，在处取得最大值， 最大值为.所以 等价于 ， 即 .设，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 故当时，取得最大值，最大值为. 所以当时，.从而当时，，即 2.利用导数证明不等式 2.利用导数证明不等式 3.导数在解决实际问题中的应用 【引言】饮料瓶大小对饮料公司利润的影响. （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【例3】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售mL的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为cm. （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 3.导数在解决实际问题中的应用 3.导数在解决实际问题中的应用 【解析】由题意可知，每瓶饮料的利润是 ， 所以 令，解得. 当时，；当时，. 因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低. （1）半径为cm时，利润最大. （2）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值. 3.导数在解决实际问题中的应用 【问题1】换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图象上观察，你有什么发现？ 【例3】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售mL的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为cm. （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 3.导数在解决实际问题中的应用 从图象上容易看出， 当时，，即瓶子的半径是cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等； 时，利润才为正值. 当时，半径越来越大，成本增加的速度大于获利增加的速度，且成本大于利润，因此，利润不断减少. 3.导数在解决实际问题中的应用 【问题2】由上述例子能否概括一下利用导数解决实际问题的一般步骤呢？ ①抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式； ②求函数的导数，并解方程，即求函数可能的极值点； ③比较函数在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大小，得出函数的最大值或最小值； ④根据实际问题的意义给出答案. 【练习】对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本y(单位：万元)和销售收入z(单位：万元)都是产量x(单位：t)的函数，分别为y＝x3－24x2＋225x＋10，z＝180x. (1)试写出该企业获得的利润w(单位：万元)与产量x之间的函数关系式； (2)当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？ 3.导数在解决实际问题中的应用 【解析】因为利润＝销售收入－生产成本，即w＝z－y， 所以w＝w(x)＝180x－(x3－24x2＋225x＋10)， 即w＝－x3＋24x2－45x－10(x≥0). 由(1)可得w'(x)＝－3x2＋48x－45＝－3(x－1)(x－15)， 解方程w'(x)＝0，得x1＝1，x2＝15， 当0≤x<1或x>15时，w'(x)<0，当1<x<15时，w'(x)>0， 所以函数w＝w(x)在[0，1)和(15，＋∞)上单调递减，在(1，15)上单调递增. 所以函数w＝w(x)在x＝15处取得极大值，也是最大值，最大值为w(15)＝1 340， 即该企业的产量为15 t时，可获得最大利润，最大利润为1 340万元. 3.导数在解决实际问题中的应用 解决最优问题应从以下几个方面入手 (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域. (2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点. 反 思 感 悟 3.导数在解决实际问题中的应用 画函数大致图象的一般步骤 课堂小结 ①求出函数的定义域； ②求导数及函数的零点； ③用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出 的单调性与极值； ④ 确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； ⑤ 画出的大致图象. 利用导数解决实际问题的一般步骤 课堂小结 ①抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式； ②求函数的导数，并解方程，即求函数可能的极值点； ③比较函数在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大小，得出函数的最大值或最小值； ④根据实际问题的意义给出答案. 课堂练习 1.已知m∈N*，若关于x的不等式－mx－>0的解集中有且仅有一个正整数，则m等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 【解析】令f(x)＝，f'(x)＝，当0<x<1时，f'(x)>0，当x>1时，f'(x)<0， 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝.令g(x)＝mx＋， 由对勾函数的性质知g(x)＝mx＋在(0，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2m. 因为不等式解集中有且仅有一个正整数， 故所以1.6<m<2.4，即m＝2. 课堂练习 2.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________.  (-2，2) 解析：令y＝f(x)＝x3－3x， 则f'(x)＝3x2－3，令f'(x)＝0，得x＝1或x＝－1. 因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f'(x)>0， 当x∈(－1，1)时，f'(x)<0， 所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2. 函数f(x)＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2. 解　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0. ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴a＞0，b＝－12. 又直线x－6y－7＝0的斜率为eq \f(1,6)，因此f′(1)＝3a＋b＝－6，故a＝2，b＝－12，c＝0. (2)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq \r(2))(x－eq \r(2))，列表如下： x (－∞，－eq \r(2)) －eq \r(2) (－eq \r(2)，eq \r(2)) eq \r(2) (eq \r(2)，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq \r(2))，(eq \r(2)，＋∞). ∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f(eq \r(2))＝－8eq \r(2)，f(－eq \r(2))＝－f(eq \r(2))＝8eq \r(2)， ∴当x＝eq \r(2)时，f(x)取得最小值为－8eq \r(2)；当x＝3时，f(x)取得最大值为18. 【思考1】已知函数f (x)=ex-eq \f(1,2)ax2有两个极值点x1，x2. 求证：(1)a>e， (2)x1+x2<2lna， (3)x1+x2>2， (4) x1x2<1． 【思考2】已知函数f(x)=eq \f(1,2)x2-aex有两个极值点x1，x2. 求证：(1)0<a<eq \f(1,e)， (2)x1+x2<-2lna， (3)x1+x2>2， (4) x1x2<1． $