第四单元 第4讲 全等三角形-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考集训本

∴△BDH2△CDH(HL),∴BH= HC=2BC=1,即DH是BC的垂直 平分线.AB=AC,BD=CD,.点 A,D,H在同一直线上，∴.DH= B VBD-BH=1.AH=VAB-BH=3...AD= AH-DH=√3-1. 6.√⑥或2或2√5【解析】分三种情况讨论，如图所示. 在正方形ABCD中， AE=2BE=2. ∴.BE=1. ∴.AB=AE+BE=3. ①当点P在AD边上时，PA=EA =2: ②当点P'在CD边上时，过点P'作 P'F⊥AB于点F,则四边形AFP'D是矩形， :.P'F=AD=AB=3. P'A=P'E, AF-EF-TAE-1. ∴P'A=√PF+AF=√3+1下=√0： ③当点P”在BC边上时，P"E=AE=2, ∴.p"B=√PE-BE=√2-I下=5， ∴P"A=√PB+AB=√(5)+3=25. 综上所述，AP的长为√10或2或2√. 7.解：(1)：△ABC是等边三角形， .∠ACB=60 :D是AB的中点， ∠DCB=∠DCA=∠ACB=30: CE⊥BC, .∠BCE=90°， ∴.∠DCE=∠BCE-∠DCB=60° (2)证明：由平移可知，CD∥EF, ∴.∠EAC=∠DCA=30. 又：∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， ∴.∠EAC=∠ECA, .AE=CE,∠AEC=120° 又AB=CB, ∴BE垂直平分AC 1 ∠GEC=z∠AEC=60' 由(1)知，∠GCE=60°， .∠EGC=60°， ∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC ∴△CEG是等边三角形 课题2直角三角形 1.B2.C3.2.44.45.1+1o 6.B【解析】，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°， ÷∠c-180'120-30 2 :D是AC的中点， ∴.设AC=2x,则CD=x. :ED⊥AC, ∴.△EDC是直角三角形，且∠C=30°， ∴.EC=2DE. DE=√5，则EC=25. 在R1△EDC中，根据勾股定理得，EC=DE+CD ∴.(25)=(5)2+x2, 解得x=3(负值已合去)，∴.AC=2x=6. 7.168°或52或20°【解析】BE平分 ∠ABC,∠ABC=64°.∴.∠ABE= ∠CBE=32.:∠AEB=70°， ·∠BEC=110°.当△BEF为直角三BD片BC 角形时，∠EBF不可能是90°.分情况讨论如下：①当 ∠BFE=90°，且点F在AB上时，如图，过点E作 EF,⊥AB于点F,.∠ABE=32°，∴∠F,EB=58, ∴∠CEF,=∠F,EB+∠BEC=58°+110°=168°： ②当∠BFE=90°，且点F在BC上时，如图，过点E 作EF:⊥BC于点F:.同理，得∠F:EB=58, ∠CEF:=∠BEC-∠F:EB=110°-58°=52°： ③当∠BEF=90°时，点F在BC上，如图，过点E作 EF:⊥BE交BC于点F,∴∠CEF,=∠BEC- ∠F,EB=110°-90°=20°.综上所述，∠CEF的度数 为168°或52或20 8.解：(1)24 (2)任取两个正整数m和n(m>n), 则a=m2一n2,b=2m,c=m2十n2为勾股数.证明 如下： a+b2=(m2-n)2+(2mm)2=m-2m2n*+n+ 4m2n2=m+2m2n+n1=(m2+n)=c2, a,b,c为勾股数. 第4讲全等三角形 1.A2.B (AD=BC. 3.证明：在△ABD和△BAC中，{∠DAB=∠CBA. AB=BA. .△ABD≌△BAC(SAS), ..AC=BD. 4.证明：：AC平分∠BAD,∠BAC=∠DAC. AB=AD.AC=AC. ∴△BAC2△DAC(SAS). ∴∠B=∠D 5.解：(1)证明：：AB∥DE, ∴.∠B=∠E. :AC=DF,∠A=∠D, ∴△ABC2△DEF(AAS). (2)由(1)知△ABC2△DEF, ∴.BC=EF, ..BF+FC=CE+FC. 参考答案 67 BF=4,FC=3. .3+4=CE+3, 解得CE=4, ∴.BE=BF+FC+CE=4+3+4=11. 6.证明：(1)：∠BAF=∠EAD, ∴∠BAC=∠FAD. AC=AD,∠ACB=∠ADB .△ABC2△AFD(ASA). (2)由(1)知△ABC2△AFD ∴.AB=AF BE=FE. .AE⊥BF,即AC⊥BD. 7.D 8.C【解析】：∠EAD=∠BAC, ∴.∠EAD-∠CAE=∠BAC-∠CAE,即∠CAD =∠BAE. 在△BAE和△CAD中， (AB=AC. ∠BAE=∠CAD. AE=AD. ∴.△BAE2△CAD(SAS), ∴∠ABE=∠ACD. 如图所示，设AC,BD交于点O. :∠AOB+∠ABO+∠BAO=180° ∠COD+∠DC0+∠CD0=180°. ∠AOB=∠COD, ∴.∠BAO=∠CDO=56. B AB=AC,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， :∠ABC=∠ACB=180'-∠BAC=180-56 2 2 =62° 9.B【解析】如图，根据题意找到点C,连接AB, AC.BC. 由作图可得，OA=OB,AC=BCM =AB. ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB=60° .C=0C. ∴.△OAC2△OBC(SSS), 1 ∴∠1=∠2=2∠ACB=2×60=30.∠3=∠4= 2∠A0B=2×100°=50， .∠04C=180°-∠1-∠3=180°-30°-50°=100° 10.解：(1)证明：：AB∥CD, ∴.∠A=∠DCF AF=CE. ∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF 在△ABE和△CDF中， (AB=CD. ∠A=∠DCF AE=CF. 68 。己026江西数学 .△ABE2△CDF(SAS). (2)△ABE2△CDF,∴.∠AEB=∠CFD=80. ∠BCE=25°，∴.∠CBE=∠AEB-∠BCE=80° -25°=55°. 11.解：(1)SSS全等三角形的对应角相等 (2)证明：：∠AED=∠AOB, ∴.ED∥OB. ∴∠EPO=∠BOP .EP=EO. ∴.∠EPO=∠EOP, ∴.∠BOP=∠EOP, ∴.OP平分∠AOB. 第5讲相似三角形 1.C2.B3.A4.B5.1:36.7.87.195 8.4【解析】：将线段AD绕点A逆时针旋转60°得 到AE, ∴△ADE为等边三角形. ∴∠ADE=∠AED=60°，AD=AE=DE=2, .∠B+∠BAD=60°，∠BDA=∠AEC=120 ∠BAC=120° ∴.∠B+∠C=60°， ∴.∠BAD=∠C. ∴△ABDn△CAE, 架-0 ∴.CE=4. 9.解：(1)证明：：BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE. :DEBC.∴∠DEB=∠CBE, ∴∠ABE=∠DEB,BD=DE :DE∥BC,∴.△ADE∽△ABC. -股能-肥 即AE·BC=BD·AC. 器-品-0-是 :△ADE∽△ABC, 器常- :DE=6,.BC=10. 10.解：(1)证明：'CD=CE ∴∠CDE=∠CED. :∠ADB=180°-∠CDE,∠AEC=180°-∠CED, ∴∠ADB=∠AEC. :∠DAC=∠B, ∴.△ACE∽△BAD. (2).由(1)知△ACED△BAD, 器需 .CD=3.BD=4.AE=2.CD=CE. ÷AD=BD:CE-4X3=6. AE 2 ∴.ED=AD-AE=6-2=4第4讲全等三角形 (建议用时：50分钟满分：50分) 夯实墨@]（第1~4题各3分，第5~6题各6分， 5.(2025内江)如下图，点B,F,C,E在同一条直线 共24分)】 上，AC=DF,∠A=∠D,ABDE 1.(2025萍乡二模)如图，已知AB=AD,那么添加下 (1)求证：△ABC≌△DEF 列一个条件后，不能判定△ABC≌△ADC的是 (2)若BF=4,FC=3,求BE ( 的长 A.∠BCA=∠DCA B.∠B=∠D=90 C.CB=CD D.∠BAC=∠DAC D……yC 第1题图 第2题图 2.(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的木条 AC,BD的中点连在一起，记中点为O,即AO= CO,BO=DO.测得C,D两点之间的距离后，利用 全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A,B两点之 间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是 ( A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 3.(2025新疆)如右图，AD=BC, 6.(2025河北)如下图，四边形ABCD的对角线AC, ∠DAB=∠CBA.求证：AC BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F =BD. 在ED上，∠BAF=∠EAD. (1)求证：△ABC≌△AFD. (2)若BE=FE,求证：AC⊥BD, 4.(2025湖北)如右图，AB=AD,AC 平分∠BAD.求证：∠B=∠D. 集训本 195 Γ提升能力（第7~9题各3分，第10题8分，第1111.(2025达州）开启作角平分线的智慧之窗 题9分，共26分) 问题：作∠AOB的平分线OP 7.(2025威海)我们把两组邻边分 别相等的四边形称之为“筝 形”，在四边形ABCD中，对角 线AC,BD交于点O.下列条 第7题图 甲同 乙同学 件中，不能判断四边形ABCD 15A 是筝形的是 A.BO=DO,AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC,AD=AB C.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA 两同学 工人师傅 D.∠ADC=∠ABC,BO=DO 作法：甲同学用尺规作出了角平分线：乙同学用 8.(2025凉山)如图，AB=AC,AE=AD,点E在 圆规和直角三角板作出了角平分线：丙同学也用 BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°，则∠ABC 尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角 的度数为 () 弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边 A.56 B.60° C.62 D.64° 上.即得OP为∠AOB的平分线， 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不 疑.认为判断角平分线的依据是利用三角形全 等，其判定全等的方法是 B 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定的 第8题图 第9题图 判定依据：①三角形全等，AAS,ASA或HL: 9.(2025北京)如图，∠MON=100°，点A在射线OM ② 上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON 对丙同学的作法陷入了沉思 于点B.若分别以点A,B为圆心，AB长为半径画 任务： 弧，两弧在∠MON内部交于点C,连接AC,则 (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整， ∠OAC的大小为 (2)完成对丙同学作法的验证. A.80° B.100° C.110°D.120 已知∠AED=∠AOB,EP=EO,求证：OP平 10.如下图，已知AB=DC,AB∥CD,E,F是AC上 分∠AOB. 的两点，且AF=CE (1)求证：△ABE≌△CDF (2)连接BC,若∠CFD=80°，∠BCE=25°，求 ∠CBE的度数 196A。2026江西数学