2.6利用三角函数测高同步练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

2.6利用三角函数测高 同步练习 课标考点 【考点1】测量底部可以到达的物体高度 1.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B处测得树顶A点的仰角∠ABO=α,则树OA的高度为( ) A. B.30sinα C.30tanα D.30cosα 2.如图，小明为测量水面的宽度AB,从C点分别测得A,B两点的俯角分别为60°,30°,C点到水面的距离CD=8m,则水面的宽度AB=( ) A.m Bm C.m D.8m 【考点2】测量底部不可以到达的物体高度 3.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度.将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上.测角仪的高度是1.5m,测得教学楼顶部A处的仰角为30°,则教学楼AB的高度是( ) A.55.5m B.54 m C.19.5m D.18m 4.在课外活动中，一个小组要测量建筑物AB的高度.如图，在距离建筑物底部B点8m的C点竖直放置一根高为1.6m的标杆CD.当从标杆顶部D看建筑物顶部A点时，仰角是35°,那么建筑物AB的高度大约是( )(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 35°≈0.5736,cos 35°≈0.8192,tan 35°≈0.7002) A.6.6m B.6.8m C.7m D.7.2 m 典例解析 例1 已知某校综合实践小组开展了测量建筑物AB高度的活动.如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一条水平线上.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到A点(此时∠AEB=∠FED),在F处分别测得A点的仰角为40°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.5m.那么,建筑物AB的高度大约为多少米?(结果保留整数.参考数据：tan 40°≈0.84,tan 50°≈1.19,tan 85°≈11.4) 【点拨】在Rt△AEF中求解AE,Rt△AEB中求解AB. 【解】由题意可得∠FED=45°.在Rt△DEF中， ∵∠FDE=90°,∠FED=45°, ∴DE=DF=1.5m, EF=DE=m ∵∠AEB=∠FED=45°, ∴∠AEF=90°. 在Rt△AEF中， ∠AFE=40°+45°=85°. ∴AE=EF·tan ∠AFE≈24.18(m). 在Rt△ABE中， ∵∠ABE=90°,∠AEB=45°, ∴AB=AE·sin ∠AEB≈17(m). ∴建筑物AB的高度大约为17m. 例2 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度.小刚在D处用高1.5m的测角仪CD,测得教学楼顶端A的仰角为30°,然后向教学楼前进40m到达E处，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼的高度. 【点拨】用AG的长分别表示CG,FG,再通过二者之差为40,求AG. 【解】在Rt△AFG中， FG= 在Rt△ACG中，CG=. ∴=40. ∴AG=203m. ∴AB=AG+GB=(20+1.5)m. ∴这幢教学楼的高度为(20+1.5)m. 同步训练--------◎基础巩固 1.如图，沿AC的方向开山修路.为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工.从AC上取一点B,使∠ABD=145°,BD=500 m,∠D=55°.要使A,C,E成一条直线，那么开挖点E到点D的距离是( ) A.500sin55° B.500cos55° C.500tan55° D. 2.如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务.当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向.海监船继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向.海监船保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( ) A.40海里 B.60海里 C.20海里 D.40海里 3.如图，某人站在楼顶C处观测对面的楼房AB.若观测点C到楼房AB的距离CE=8m,测得楼房顶部A的仰角为30°,楼房底部B的俯角为45°,则楼房AB的高度是( ) A.(8+24)m B.(8+8)m C.(8+24)m D.(8+8)m 4.9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处.从A,B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东30°方向，则在B处船与小岛M之间的距离是____海里. 5.如图，为测量某观光塔CD的高度，一人先在附近一楼房的底端A处测得观光塔顶端C的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B处测得观光塔底部D的俯角是30°.已知该楼房高45m,则观光塔CD的高度为 m. 6.如图，为了测量电视塔AB的高度，在D处用高为1m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°,求电视塔AB的高度. 7.如图，为了测量山顶上塔ED的高度，某人在山下的A处测得塔尖D点的仰角为45°,再沿AC方向前进60 m到达山脚B处，测得塔尖D点的仰角为60°,塔底E点的仰角为30°,求塔ED的高度.(结果保留根号) ◎提高训练 8.某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB.如图，为了测量雕塑AB的高度，小明在二楼找到一点C,利用三角尺测得雕塑顶端A点的仰角为30°,底部B点的俯角为45°.小华在五楼找到一点D,利用三角尺测得A点的俯角为60°.已知CD=10m,求雕塑AB的高度.(结果精确到0.1 m.参考数据：≈1.73). 9.某岛东西长约3650 m.如图，某海警船巡航到点D处时，测得该岛最西端(点A处)的方向角为北偏西67.5°,最东端(点B处)的方向角为北偏西30°.已知此时海警船到直线AB的距离是2000 m.由以上数据，求该岛东西长度AB,并算出你的计算结果与实际长度的误差.(结果精确到1m.参考数据：sin 67.5°≈0.924, cos 67.5°≈0.383,tan 67.5°≈2.414,≈1.732) 参考答案： 【课标考点】 1.C 2.C 3.C 4.D 【同步训练】 1.B 2.D 3.D 4.20(+1) 5.135 6.解：∵∠ACE=30°,∠AEG=60° ∴AE=CE=DF=100 m, ∴AG=50m. ∵BG=CD=1m, ∴AB=AG+BG=(50+1)m. 7.解：由题意知∠DBC=60°,∠EBC=30°, ∴∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°-30°=30°. ∵∠BCD=90° ∴∠BDC=90°-∠DBC=30°, ∴∠DBE=∠BDE ∴BE=DE. 设EC=xm,则DE=BE=2EC=2x m, DC=EC+DE=x+2x=3x m, BC=xm. 由题意可知∠DAC=45°,∠DCA=90°,AB=60 m ∴△ACD为等腰直角三角形， ∴AC=DC,即x+60=3x. 解得x=30+10,则2x=60+20. ∴塔ED的高度为(60+20)m. 8.解：如图，过点C作CE⊥AB于点E. ∵∠D=90-60°=30°, ∠ACD=90°-30°=60°, ∴∠CAD=90°. ∵CD=10m, AC=CD=×10=5(m). 在Rt△ACE中， AE=AC·sin∠ACE=5·sin 30°=2.5(m), CE=AC·cos∠ACE=5·cos 30°=(m) 在Rt△BCE中，∵∠BCE=45°, ∴BE=CE·tan 45°=·tan 45° =(m). ∴AB=AE+BE≈6.8(m). ∴雕塑AB的高度约为6.8m. 9.解：由题意得 ∠ADC=67.5°,∠BDC=30°,CD=2000m. 在Rt△ADC中，AC=2000×tan67.5°≈4828(m). 在Rt△BDC中，BC=2000×tan30°≈1155(m). ∴AB=AC-BC≈4828-1155=3673(m). 误差为3673-3650=23(m). 学科网（北京）股份有限公司 $