专题27 正弦函数、余弦函数的性质9种常见考法归类讲义(100题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题27 正弦函数、余弦函数的性质9种常见考法归类(100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1三角函数的定义域问题 考点2三角函数的值域（最值）问题 （一）利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 （二）换元法求值域或最大(小)值 （三）分式型求值域或最大(小)值 （四）根据三角函数的值域求参数 考点3三角函数的周期问题 考点4三角函数的单调性 （一）判断三角函数的单调性 （二）求三角函数的单调区间 考点5根据三角函数单调性求参数 考点6比较三角函数值的大小 考点7三角函数的奇偶性 （一）判断三角函数的奇偶性 （二）根据三角函数的奇偶性求值 （三）根据三角函数的奇偶性求参数 考点8三角函数的对称性 考点9正余弦函数综合应用 知识点1：函数的周期性 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 注：定义是对D中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 三角函数中的周期一般都指最小正周期. 知识点2：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 知识点3：正弦、余弦型函数的常用周期 函数 最小正周期 或（） 或 或（） 无周期 知识点4：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 策略方法 1、三角函数值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)． (3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定． 2、求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 3、判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 4、三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个． 5、求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上． 6、比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 7、已知单调性求参数的范围 子集法 求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 8、正弦函数、余弦函数的对称性 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题，培养直观想象的核心素养． 考点1三角函数的定义域问题 1．（2025高一·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域与值域的交集为 . 【答案】 【分析】先求得的定义域和值域，进而求得所求的交集. 【详解】由，解得， 所以定义域为. 由于，所以， 所以的值域为， 所以定义域与值域的交集为. 故答案为： 2．（2025高一·陕西渭南·阶段练习）求下列函数的定义域． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根号下大于等于0得到不等式，再结合正弦函数性质解出即可， （2）根据根号下大于等于0得到不等式，再结合余弦函数性质解出即可. 【详解】（1）要使得函数有意义，则，即. 解得，. 故函数定义域为 （2）要使得函数有意义，则，即. 解得，. 故函数定义域为 3．（2025高一·江西赣州·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】依题意可得，根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 所以， 所以函数的定义域为. 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 5．（2025高一·内蒙古呼和浩特·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数真数大于0得到， 结合三角函数性质解三角不等式即可. 【详解】由题意得：，即， 则. 故选：C. 6．（2025高一·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 7．（2024高一·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果. 【详解】依题意有，即，且， ∴函数的定义域为． 故选：C． 8．（25-26高一·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 9．（2025高一·天津南开·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】函数定义域满足，求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为： 10．（2025高一·全国·课前预习）求函数的定义域． 【答案】 【分析】由题可得，由同角三角函数的平方关系得，解不等式，再根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】由题可知，，即，解得， 由正弦函数的性质可得， 所以函数的定义域为． 考点2三角函数的值域（最值）问题 （一）利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 11．（2025高一·上海闵行·期中）函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的性质即可求得值域. 【详解】因为，根据正弦函数的性质可知， 即函数的值域为， 故答案为：. 12．（2025高一·上海·课后作业）函数，的值域是 . 【答案】 【分析】根据的范围求出的范围可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 可得的值域为. 故答案为：. 13．（2025高一·全国·课堂例题）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】由余弦函数可得最值 【详解】∵，∴， ∴． ∴，即值域为． 故答案为：． 14．（25-26高三·上海·阶段练习）函数在区间上的值域为 . 【答案】 【分析】由诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求解. 【详解】因为，，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 15．（2025高一·全国·课后作业）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质求解：先确定的范围再得值域． 【详解】， ， ， 故， 即的值域是． 故答案为：． （二）换元法求值域或最大(小)值 16．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用三角函数值域以及二次函数单调性计算可得结果. 【详解】因为，所以， 易知 当时，， 当时，， 可得函数的值域为. 故答案为： 17．（2025高一·广西柳州·期末）函数在上的值域为 . 【答案】 【分析】令，将问题转化成函数的值域来解决． 【详解】 令，又，则， 函数可化为：， 由二次函数的性质可得：当时，，当时，. 所以函数在上的值域为. 故答案为：. 18．（2025高一·浙江湖州·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换结合换元法转化为二次函数在给定区间上的值域问题，再利用二次函数的性质得到单调性，求解最值，得到原函数值域即可. 【详解】因为，所以， 故，令， 得到，由二次函数性质得在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 而，，故，故原函数值域为. 故答案为： 19．（2025高一·北京怀柔·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】由已知可知，，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大与最小值，则值域可得. 【详解】由正弦函数的性质可知，当， 当时，；当或时，，故值域为. 故答案为： 20．（2025高一·全国·专题练习）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】结合同角三角函数的平方关系化简、换元，分类讨论对应二次函数在各区间的值域即可求解. 【详解】由题知 令，则， 则 当时，，对称轴为， 则在上为增函数，在上为减函数 所以， 当时， ，当时， ，所以 即当时， 当时，，对称轴为， 则在上为增函数，在上为减函数 所以， 当时， ，当时， ，所以 即当时， 综上所述，当， 即函数，的值域为. 故答案为：. 21．（2025高一·上海嘉定·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用同角公式，结合关于的二次函数求解作答. 【详解】依题意，函数，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为. 故答案为： 22．（2025高一·北京·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用，将原函数化简为，再令，转化为二次函数，即可求解值域． 【详解】因为，所以， 令，可知，则，， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 当，， 当，，即函数的值域为． 故答案为：. （三）分式型求值域或最大(小)值 23．（2025高一·河南南阳·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】化简已知条件，根据三角函数的值域以及不等式的性质求得正确答案. 【详解】， 由于，所以， ， 所以函数的值域为. 故答案为： 24．（2025高一·安徽·开学考试）设函数，若表示不超过的最大整数（如），则函数的值域是 . 【答案】 【分析】分离常数可得，根据正弦函数的值域求出函数的值域，再根据的定义即可得解. 【详解】， 因为，所以，则， 所以，则， 所以函数的值域是. 故答案为：. 25．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式进行化简，然后根据正弦函数的范围列出不等式，然后求得一元二次不等式的解集即可. 【详解】原式可化为． 由辅助角公式，得， ∴，整理得， 解得. 故选：B． 26．（2025高一·江苏南京·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】令，利用换元法将原函数转化为含未知量的函数，求解出函数的值域即为函数的值域. 【详解】令，则. ，，， ∴， 故函数，的值域为. 故答案为：. （4） 根据三角函数的值域求参数 27．（2025高一·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定函数，结合周期性，在长为一个周期的区间内求的解即可. 【详解】函数的周期为， 由，得， 即，解得， 在长为一个周期的区间上，取，得，当时，， 显然函数在上单调递减，在上单调递增， 由在上的值域为，则当时，， 故， 当时，，于是， 所以的取值范围是. 故答案为： 28．（2025高一·陕西渭南·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的图象即可求解. 【详解】的定义域为，值域为，则， 则观察函数图象可得，的最大值为的最小值为， 故选：D. 29．（2025高一·湖北·阶段练习）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角的范围得出，再结合正弦函数的值域列不等式计算求参. 【详解】当时，，且值域为， 所以，则. 故选：B. 30．（25-26高三·浙江·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可推得.又，结合正弦函数的图象可知，解出不等式即可得出答案. 【详解】因为函数的值域为，所以. 又，所以， 根据正弦函数的图象可知，解得， 又，所以，所以的取值范围是. 故选：A 31．（2025·四川成都·模拟预测）当时，函数的值域是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：画出函数的图象，由的范围求出的范围，根据的值域可得答案； 解法二：由的范围求出的范围，根据的图象性质和的值域可得答案． 【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知， 因为且， 要使的值域是，只要， 即； 解法二：由题，可知， 由的图象性质知，要使的值域是， 则，解之得． 故选：D.    32．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦型函数图象，数形结合可得. 【详解】在上，，在上，， 由题意，函数在两个区间上最值相同，且最小值为，即两区间左端点函数值均为最小值， 所以两区间右端点函数值不能小于，但两区间内最大值相同， 如图的部分图象，数形结合得且，即. 故选：A 考点3三角函数的周期问题 33．（2025高二·云南·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题结合正弦函数最小正周期计算公式可得答案. 【详解】因，则最小正周期为：. 故选：C 34．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正余弦型的三角函数的周期公式求解. 【详解】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，， 故选：D． 35．（2025高二·河南焦作·期末）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型三角函数的最小正周期可得，从而得所求. 【详解】由题意知，得， 所以. 故选：A. 36．（2025高三·山东滨州·期中）若直线，是函数图象的两条相邻的对称轴，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据周期的公式即可求解. 【详解】由于直线，是函数相邻的两条对称轴，故周期为,故， 故选：A 37．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象的两对称中心间的最小距离为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的性质及周期公式求解即可. 【详解】因为函数的图象的两对称中心间的最小距离为， 所以，则， 所以，解得． 故选：A. 38．（2025高一·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据得出，分别为最大值点和最小值点，再结合以及可以得到答案 【详解】，且， ，分别为最大值点和最小值点， 又， ，，整理得， 又， ，，整理得，， 又， 的最小值为4. 故选：B 考点4三角函数的单调性 （一）判断三角函数的单调性 39．（2025高二·湖南娄底·学业考试）下列函数在其定义域内单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦、余弦函数的性质，以及指数函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数在定义域上不是单调函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数在定义域上不是单调函数，所以B不符合题意； 对于C中，由指数函数的性质，可得在上是递增函数，所以C不符合题意； 对于D中，由指数函数的性质，可得在上是递减函数，所以D符合题意. 故选：D. 40．（2025高一·广东深圳·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意； 对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意； 对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意； 对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意. 故选：C. 41．（2025高一·上海·阶段练习）下列函数中，在区间上严格递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的单调性判断即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数在区间上严格递减，A不满足要求； 对于B选项，函数在区间上严格递增，B满足要求； 对于C选项，函数在区间上严格递减，C不满足要求； 对于D选项，函数在区间上不单调，D不满足要求. 故选：B. （二）求三角函数的单调区间 42．（2025高三·全国·专题练习）下列区间中，函数不单调的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质分别求出的递增区间和递减区间，再判断各项对应区间是否单调，即可得. 【详解】由，，得，， 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 由，，得，， 当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为， 所以在区间不单调. 故选：B 43．（25-26高二·湖南永州·开学考试）函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化成分段函数并作出图象，结合图象即可判断. 【详解】函数，其图象如图所示：    由图知：函数在上单调递减. 故选：C 44．（25-26高一·全国·单元测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，确定函数的定义域，结合复合函数单调性可知，的单调递增区间即为的单调递增区间，再利用正弦型函数单调区间整体代入求解即可. 【详解】由题意可得，则， 解得，故的定义域为， 因为单调递增，所以的单调递增区间即为的单调递增区间， 令（），解得， 则的单调递增区间是． 故选：B. 45．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则在上的单调递减区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的单调性求解即可. 【详解】由已知， 令，，则，， 又，∴在上的单调递减区间为． 故选：D. 46．（25-26高二·河南·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】求函数的单调区间，再结合选项进行判断即可. 【详解】由，可得， 则函数的单调递减区间为， 由，可得， 则函数的单调递增区间为， 在上单调递增，上单调递减，故A正确，BCD错误. 故选：A. 47．（25-26高一·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案. 【详解】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 考点5根据三角函数单调性求参数 48．（25-26高三·北京平谷·开学考试）定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意得出即可求出范围，再求出，进而根据范围求出的范围，最后结合正弦函数的性质即可求出. 【详解】由题意可知，，则， 因，则， 又，所以，， 因函数在区间上单调递增， 则结合正弦函数的性质可知， ，得， 故ω的取值范围是. 故答案为： 49．（2025高二·全国·专题练习）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数在区间上单调递减，建立不等式，即可求的取值范围． 【详解】令，则， 函数在区间上单调递减， 所以，解得，， 又因为,所以，可得的取值范围是． 故答案为：． 50．（2025高一·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 51．（2025高一·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由可求出的取值范围，根据余弦函数的单调性得出，即可求出的取值范围，进而可得出的最大值. 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 52．（25-26高一·全国·期末）已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的最值及对称中心得出周期进而得出的关系，再结合单调性得出的范围即可得出最大值. 【详解】因为， 所以时，取得最值,是图象的对称中心，则， 所以， 又因为在区间上单调，所以， 所以当时，取得最大值为． 故答案为：. 53．（25-26高三·河北衡水·阶段练习）函数恒有，且在上单调递增，则 ． 【答案】 【分析】利用函数最值得出，所以，已知在上单调递增，所以，解出.分和，根据在上单调性进行讨论，得出值. 【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即， 所以，所以 已知在上单调递增，所以，即，解得. 当时，因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得，所以， 解得，故. 当时，因为，所以. 取，则，因为， 所以，故在上单调递减，不满足题意. 同理可得，时，也不满足题意. 综上可得：. 故答案为：. 54．（2025高一·四川德阳·阶段练习）函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】求出函数的单调减区间，利用为前者的子集可求的取值范围. 【详解】令，故， 所以函数的减区间为， 因为在上为减函数， 故存在，使得，因为， 所以，所以，故， .则的最大值为. 故选：B. 55．（2025高三·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 【答案】C 【分析】根据函数的对称中心，列式求的集合，再利用代入法求的范围，结合函数的图象，列式求解. 【详解】由条件可知，，得， 当时，， 由条件可知，，得，，且， 综上可知，的最小值为13. 故选：C 56．（2025高一·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值. 【详解】因为在区间上单调，所以，得到， 所以，解得， 又，所以， 则由的图象与性质知， 所以，得到，所以， 当，解得， 又，所以. 故答案为：. 考点6比较三角函数值的大小 57．【多选】（25-26高三·安徽阜阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据指对数及三角函数的性质比较大小即可. 【详解】由， 所以. 故选：ABC 58．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先比较分析a、c的大小，再比较b、c的大小，最后综合即可得到答案． 【详解】因为，，所以，又因为当时，有恒成立，所以，即，所以． 故选：B． 59．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中间值两两比较可得答案. 【详解】由，得，又，则， 又，所以， 所以，所以， 所以． 故选：A 60．（2025高一·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式转换为即可得解. 【详解】，， ， 而，故， 故选：B. 61．（2025高三·全国·专题练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则，求得的值，利用余弦函数的性质，求得的范围，再由指数函数的性质，求得的范围，即可求解. 【详解】由， 因为，所以， 又因为，所以． 故选：A. 62．（2025高一·江苏南通·阶段练习）已知，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数性质结合题意可得答案. 【详解】由图，在单位圆中，设， 则. 因在上单调递减，则. 又，则，从而. 故选：A 63．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期可求，根据最小值点可求，再结合函数的单调性和诱导公式可得正确的选项. 【详解】因为最小正周期为，故，故， 而当时，函数取得最小值，故， 故，故， 又，， ， 而，，故， 而，，因在上为增函数，故， 故， 故选：A. 考点7三角函数的奇偶性 （一）判断三角函数的奇偶性 64．（2025高一·湖北·期中）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的周期公式及奇偶性即可求解． 【详解】设， ，所以为偶函数， 因为的周期为， 所以的周期为， 故选：D． 65．（2025高一·山东潍坊·阶段练习）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．为周期函数 【答案】C 【分析】根据奇函数定义可判断A；举出反例判断B；脱出绝对值符号，结合正弦函数性质判断C；数形结合，结合函数的性质可判断D. 【详解】函数的定义域为， 因为，即为偶函数， 所以，，所以，所以不是奇函数，A错 ， 则，函数的图象不关于直线对称， B错误； 对于C，当时，， 当时，，当时，； 当时，则， 结合为偶函数，可知的值域为，C正确； 由于为偶函数，图象如图示： 可知不是周期函数，故不是周期函数，D错误， 故选：C 66．（2025高一·全国·课堂例题）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用正弦函数的性质求出周期，并判断奇偶性. 【详解】函数的定义域为R， 由，得为奇函数，其周期. 故选：A 67．（2025高一·湖南娄底·期末）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性定义，结合函数图象作出判断 【详解】A选项，定义域为R，， 故为偶函数，A正确； B选项，由指数函数图象知，为非奇非偶函数，B错误； C选项，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，D错误. 故选：A 68．（2025·山东枣庄·模拟预测）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定各选项中函数的奇偶性或单调性即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数的定义域为，不具奇偶性，B不是； 对于C，函数定义域为R，，不是偶函数，C不是； 对于D，函数定义域为， ，是偶函数； 当时，，函数在上单调递增， 则在上单调递增，D是. 故选：D 69．（2025高一·江西萍乡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性与零点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， ，即函数为奇函数，排除BC选项， 由可得或，解得， 故函数有无数个零点，排除A选项. 故选：D. （二）根据三角函数的奇偶性求值 70．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】设，判断函数的奇偶性求解即可. 【详解】设， 的定义域为， ， 是奇函数， ，， ， . 故答案为：. 71．（2025高一·陕西西安·阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【分析】将化成，令，结合奇函数的性质求解即可. 【详解】因为，定义域为， 令，则， 又，所以为奇函数， 所以， 所以. 故答案为：2. 72．（2025高一·山东济宁·期末）函数，（a，b为常实数），若，则 ． 【答案】3 【分析】令，则，然后判断函数的奇偶性，再函数的奇偶性结合已知条件可求得结果. 【详解】令，则，， 因为，所以， 因为， 所以为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：3 73．（2025·新疆·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】3 【分析】先构造函数，利用是奇函数求出，进而求出. 【详解】设，∴，易知是奇函数，， 由，得，∴． 故答案为：3. 74．（2025高二·重庆·期末）已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】在原函数的基础上，构造一个函数，通过构造函数的奇偶性说明最值之间的关系，进而求出原函数的最值之间的关系. 【详解】设函数，易知定义域为， 由，可知为奇函数， 所以在区间的最大值与最小值互为相反数，即， 即， 可得，解得； 故选：D. （三）根据三角函数的奇偶性求参数 75．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数是偶函数，则的最小正值为 ． 【答案】/ 【分析】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当时，，则，.给赋值，即可求得的最小正值. 【详解】由于是偶函数，所以，， 故，，所以当时，取最小正值，最小正值为． 故答案为：. 76．（2025高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】 利用余弦型函数的性质，求出的表达式，再利用诱导公式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，. 故答案为：. 77．（2025高二·上海·阶段练习）函数为奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用正余弦函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数为奇函数，则. 故答案为： 78．（2025高三·全国·专题练习）若函数，为奇函数，其中，则 ． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质有，结合正弦型函数的奇偶性有，求出相关参数值，即可得. 【详解】由奇函数的定义域关于原点对称，得，则， 又为奇函数，则，又，故， 所以. 故答案为：0 79．（2025高一·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 【答案】 【分析】由函数为奇函数，可知即可求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以,即, 又因为，所以令，， 故答案为：. 80．（2025高三·江苏南京·阶段练习）若是偶函数，则 【答案】0或2 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求，再证明为奇函数，由此可得函数为奇函数，结合正弦函数性质可求，由此可得，再求结论即可. 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 81．（2025高二·贵州铜仁·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据奇偶函数的性质可得函数是偶函数，再根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是奇函数，是奇函数， 所以函数是偶函数，则，所以． 故答案为：1． 82．（2025高一·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的定义求解即可. 【详解】函数为奇函数，其定义域为，所以， 所以， 即， 所以，所以. 故答案为： 83．（2025高一·四川成都·阶段练习）已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为 【答案】 【分析】根据给定条件，结合偶函数的性质求出，再求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解. 【详解】由函数是偶函数，得，而，则， 函数，由，得， 依题意，，则，而，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 考点8三角函数的对称性 84．（2025高一·黑龙江牡丹江·期末）函数图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的对称性与最值之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：，，， 均不是最值，故ABC错误； ，为最大值，可知为函数图象的一条对称轴方程，故D正确. 故选：D. 85．（2025·四川雅安·模拟预测）“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的对称性结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则当，可得，为最大值， 所以函数的图象关于直线对称，即充分性成立； 若函数的图象关于直线对称， 则，解得， 不一定成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件. 故选：A. 86．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用整体法求解对称轴方程，即可结合选项求解. 【详解】由题得，解得， 则函数图象对称轴为， 结合选项得为函数图象的一条对称轴． 故选：A 87．（25-26高二·河南驻马店·开学考试）函数的图象在区间内的对称轴条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据三角函数的性质，求得对称轴的方程，令，求得的范围，结合，即可求解. 【详解】由函数，令，解得 再令，解得， 因为，所以，即函数的图象在内有7条对称轴. 故选：D. 88．【多选】（2025高三·福建泉州·开学考试）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】BC 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，再结合正弦函数的性质代值检验判断即可. 【详解】由题意，则，则， 由于， 则函数不关于点对称，故A错误； 由于， 则函数关于点对称，不关于直线对称，故B正确，D错误； 由于， 则函数关于直线对称，故C正确； 故选：BC. 89．（25-26高三·江苏南京·开学考试）已知是函数的图象的一条对称轴，则a的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，解得，由此即可得解. 【详解】已知是函数的图象的一条对称轴， 则，解得， 则a的最小正值为. 故选：D. 90．（2025高一·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 91．（2025高一·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可. 【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8． 故选：C． 92．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据对称性可得，根据单调性，对分类讨论，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】由于函数的图象关于点中心对称，故，故， 当时，时，，显然不符合在上单调递减； 当时，时，，故，解得, 综上. 故选：A 93．（2025高一·全国·课后作业）若函数对任意的x都有，则等于（    ） A．3或0 B．或0 C．0 D．或3 【答案】D 【分析】是的一条对称轴，故而为的最大值或最小值． 【详解】任意实数都有恒成立， 是的一条对称轴，当时，取得最大值3或最小值． 故选：． 考点9正余弦函数综合应用 94．【多选】（2025高一·广东茂名·期末）关于函数有如下四个命题中真命题的序号是（    ） A．的最小正周期为2； B．的图象关于点对称； C．若，则的最小值为； D．的图象与曲线共有4个交点． 【答案】AD 【分析】根据函数的周期公式判断选项A，根据函数的对称性判断BC，结合函数的周期，对称，最值，判断交点个数. 【详解】由图可得：的最小正周期为2，A正确； 所以的图象不关于点对称，B错误； 令，得，离y轴最近的对称轴为，所以若，则函数关于对称，则的最小值为，C错误； 在y轴右边离y最近的对称为，而在上是减函数，因此的图象在第一象限每个周期内与的图象都有两个交点，在区间上有两个交点，在区间上有两个交点，从而在上有4个交点，D正确. 故选：AD． 95．【多选】（2025高三·广东深圳·专题练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的值域为 D．在区间上有3个零点 【答案】AC 【分析】对于A，通过判断是否在时，可取得最值，可判断选项正误； 对于BC，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，当，，然后由正弦函数零点情况可判断选项正误. 【详解】对于A，时，，此时函数取最小值，故为函数图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，时，，而在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，故C正确； 对于D，，，因在上只有两个零点， 且由，即；由，即， 即在区间上有2个零点，故D错误. 故选：AC 96．【多选】（25-26高三·四川内江·阶段练习）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．在上单调递减 【答案】BD 【分析】对A，由偶函数定义判断；对B，由余弦函数对称轴求解判断；对C，由余弦函数值域判断；对D，由余弦函数单调区间求解判断. 【详解】对于A：， 令，则定义域为， 且，A错误； 对于B：由得，当时，，B正确； 对于C：函数的值域是，故的最小值是，C错误； 对于D：由得， 即的单调减区间为， 当时，的单调减区间为，而， 所以在上单调递减，D正确. 故选：BD. 97．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在内单调递增 C．是奇函数 D．的图象关于中心对称 【答案】AD 【分析】对于A，根据三角函数的周期性以及周期性的定义，可得其正误；对于B，利用整体思想，求得三角函数的单调区间，由题意检验，可得其正误；对于C，根据奇函数的必要条件，利用举反例，可得其正误；对于D，根据三角函数的对称中心，整体代入检验，可得其正误. 【详解】由可得是的一个周期，A正确； 令，则， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 所以函数的单调递减区间为，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间内不单调，B错误； ，所以不是奇函数，C错误； 由于，则的图象关于中心对称，D正确． 故选：AD. 98．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．的一个周期为 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】代入验证即可求解ABC，利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解D. 【详解】A项：，则的一个周期为，A正确； B项：，则是偶函数，B正确； C项：令，则，当时，， 则的图象关于直线对称，C正确； D项：当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上不单调递增，D错误． 故选：ABC 99．【多选】（25-26高三·贵州·开学考试）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，即可得到，再根据诱导公式化简判断B；根据正弦函数的性质求解判断CD. 【详解】由题意，，则，即，故A正确； 而，故B正确； 当时，， 因为函数在上先增后减， 则在上先增后减，故C错误； 由， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 100．【多选】（25-26高二·河北·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C． D．若，，，则取最小值时， 【答案】ABD 【分析】A利用偶函数的定义判断；B根据可判断；C先利用复合函数的单调性求证，时的单调性，再根据对称性和周期性即可求出在的单调性，进而求出最值；D将问题转化为，，，分别求出的范围，转化为值域之间的包含关系即可求出. 【详解】对于A：的定义域为， 因为，所以是偶函数，A正确； 对于B：因， 所以的图象关于直线对称，B正确； 对于C：因为， 所以的图象的一个周期为， 当时，，则， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在上单调递增，结合奇偶性可得在上单调递减； 当时，， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以在上单调递减，结合对称性可得在上单调递增； 根据周期性可得在，上单调递减， 在，上单调递增， 因为，，所以，C错误； 对于D：由周期性可知，在、上的值域相同， 则，，， 因， ，， 结合的单调性和周期性可知，时，， 因，结合的单调性可知，当时，， 故，则，即， 结合可得， 所以取最小值时，，D正确． 故选：ABD $【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题27 正弦函数、余弦函数的性质9种常见考法归类(100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1三角函数的定义域问题 考点2三角函数的值域（最值）问题 （一）利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 （二）换元法求值域或最大(小)值 （三）分式型求值域或最大(小)值 （四）根据三角函数的值域求参数 考点3三角函数的周期问题 考点4三角函数的单调性 （一）判断三角函数的单调性 （二）求三角函数的单调区间 考点5根据三角函数单调性求参数 考点6比较三角函数值的大小 考点7三角函数的奇偶性 （一）判断三角函数的奇偶性 （二）根据三角函数的奇偶性求值 （三）根据三角函数的奇偶性求参数 考点8三角函数的对称性 考点9正余弦函数综合应用 知识点1：函数的周期性 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 注：定义是对D中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 三角函数中的周期一般都指最小正周期. 知识点2：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 知识点3：正弦、余弦型函数的常用周期 函数 最小正周期 或（） 或 或（） 无周期 知识点4：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 策略方法 1、三角函数值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)． (3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定． 2、求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 3、判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 4、三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个． 5、求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上． 6、比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 7、已知单调性求参数的范围 子集法 求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 8、正弦函数、余弦函数的对称性 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题，培养直观想象的核心素养． 考点1三角函数的定义域问题 1．（2025高一·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域与值域的交集为 . 2．（2025高一·陕西渭南·阶段练习）求下列函数的定义域． (1)； (2) 3．（2025高一·江西赣州·阶段练习）函数的定义域为 . 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ． 5．（2025高一·内蒙古呼和浩特·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 7．（2024高一·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·天津南开·阶段练习）函数的定义域为 . 10．（2025高一·全国·课前预习）求函数的定义域． 考点2三角函数的值域（最值）问题 （一）利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 11．（2025高一·上海闵行·期中）函数，的值域是 ． 12．（2025高一·上海·课后作业）函数，的值域是 . 13．（2025高一·全国·课堂例题）函数的值域是 ． 14．（25-26高三·上海·阶段练习）函数在区间上的值域为 . 15．（2025高一·全国·课后作业）函数，的值域为 ． （二）换元法求值域或最大(小)值 16．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 17．（2025高一·广西柳州·期末）函数在上的值域为 . 18．（2025高一·浙江湖州·阶段练习）函数的值域为 . 19．（2025高一·北京怀柔·期中）函数的值域为 . 20．（2025高一·全国·专题练习）函数，的值域为 ． 21．（2025高一·上海嘉定·期中）函数的值域为 . 22．（2025高一·北京·期中）函数的值域是 ． （三）分式型求值域或最大(小)值 23．（2025高一·河南南阳·阶段练习）函数的值域为 ． 24．（2025高一·安徽·开学考试）设函数，若表示不超过的最大整数（如），则函数的值域是 . 25．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 26．（2025高一·江苏南京·期中）函数，的值域为 ． （4） 根据三角函数的值域求参数 27．（2025高一·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 28．（2025高一·陕西渭南·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 29．（2025高一·湖北·阶段练习）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高三·浙江·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（2025·四川成都·模拟预测）当时，函数的值域是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点3三角函数的周期问题 33．（2025高二·云南·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 34．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，周期为的是（    ）． A． B． C． D． 35．（2025高二·河南焦作·期末）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B． C． D． 36．（2025高三·山东滨州·期中）若直线，是函数图象的两条相邻的对称轴，则（   ） A．2 B． C．1 D． 37．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象的两对称中心间的最小距离为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（2025高一·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点4三角函数的单调性 （一）判断三角函数的单调性 39．（2025高二·湖南娄底·学业考试）下列函数在其定义域内单调递减的是（   ） A． B． C． D． 40．（2025高一·广东深圳·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 41．（2025高一·上海·阶段练习）下列函数中，在区间上严格递增的函数是（   ） A． B． C． D． （二）求三角函数的单调区间 42．（2025高三·全国·专题练习）下列区间中，函数不单调的区间是（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高二·湖南永州·开学考试）函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一·全国·单元测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 45．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则在上的单调递减区间是（    ）． A． B． C． D． 46．（25-26高二·河南·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 47．（25-26高一·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 考点5根据三角函数单调性求参数 48．（25-26高三·北京平谷·开学考试）定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是 49．（2025高二·全国·专题练习）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． 50．（2025高一·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 51．（2025高一·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 52．（25-26高一·全国·期末）已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 53．（25-26高三·河北衡水·阶段练习）函数恒有，且在上单调递增，则 ． 54．（2025高一·四川德阳·阶段练习）函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 55．（2025高三·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 56．（2025高一·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 考点6比较三角函数值的大小 57．【多选】（25-26高三·安徽阜阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 58．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 59．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 60．（2025高一·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 61．（2025高三·全国·专题练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 62．（2025高一·江苏南通·阶段练习）已知，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 63．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 考点7三角函数的奇偶性 （一）判断三角函数的奇偶性 64．（2025高一·湖北·期中）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 65．（2025高一·山东潍坊·阶段练习）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．为周期函数 66．（2025高一·全国·课堂例题）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 67．（2025高一·湖南娄底·期末）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 68．（2025·山东枣庄·模拟预测）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 69．（2025高一·江西萍乡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． （二）根据三角函数的奇偶性求值 70．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若，则 ． 71．（2025高一·陕西西安·阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则 . 72．（2025高一·山东济宁·期末）函数，（a，b为常实数），若，则 ． 73．（2025·新疆·模拟预测）已知函数，若，则 ． 74．（2025高二·重庆·期末）已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． （三）根据三角函数的奇偶性求参数 75．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数是偶函数，则的最小正值为 ． 76．（2025高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ． 77．（2025高二·上海·阶段练习）函数为奇函数，则 . 78．（2025高三·全国·专题练习）若函数，为奇函数，其中，则 ． 79．（2025高一·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 80．（2025高三·江苏南京·阶段练习）若是偶函数，则 81．（2025高二·贵州铜仁·期末）已知函数是奇函数，则 ． 82．（2025高一·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则 ． 83．（2025高一·四川成都·阶段练习）已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为 考点8三角函数的对称性 84．（2025高一·黑龙江牡丹江·期末）函数图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 85．（2025·四川雅安·模拟预测）“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 86．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 87．（25-26高二·河南驻马店·开学考试）函数的图象在区间内的对称轴条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 88．【多选】（2025高三·福建泉州·开学考试）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 89．（25-26高三·江苏南京·开学考试）已知是函数的图象的一条对称轴，则a的最小正值为（   ） A． B． C． D． 90．（2025高一·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 91．（2025高一·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 92．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．1 93．（2025高一·全国·课后作业）若函数对任意的x都有，则等于（    ） A．3或0 B．或0 C．0 D．或3 考点9正余弦函数综合应用 94．【多选】（2025高一·广东茂名·期末）关于函数有如下四个命题中真命题的序号是（    ） A．的最小正周期为2； B．的图象关于点对称； C．若，则的最小值为； D．的图象与曲线共有4个交点． 95．【多选】（2025高三·广东深圳·专题练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的值域为 D．在区间上有3个零点 96．【多选】（25-26高三·四川内江·阶段练习）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．在上单调递减 97．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在内单调递增 C．是奇函数 D．的图象关于中心对称 98．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．的一个周期为 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 99．【多选】（25-26高三·贵州·开学考试）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的图象关于直线对称 100．【多选】（25-26高二·河北·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C． D．若，，，则取最小值时， $