精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

巴楚县第一中学2025-2026学年第一学期 高二年级月考 数学学科 时间：90分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在四面体PABC中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的计算法则计算即可. 【详解】由题可知 故选：A 2. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】应用空间向量线性运算及模的坐标表示求向量的模长. 【详解】由题设， 所以. 故选：B 3. 空间中，若向量共面，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共面定理有，，结合向量的坐标表示列方程求参数值，即可得. 【详解】由向量共面知，，则， 所以，可得. 故选：C 4. 在长方体中，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示求解 【详解】因为， 所以，所以， 故选：B 5. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量，由，得，取，得， 又， 点到平面的距离为， 故选：D． 7. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案. 【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， ，， 设得：， 所以， ， 由， 所以，当时，等号成立， 则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为. 故选：C. 8. 已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（ ）． A B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】过点，分别向作垂线，垂足分别为，，由，平方后结合长度和垂直关系可得解. 【详解】 过点，分别向作垂线，垂足分别为，， 则可得，，，，． 由于， 所以 ， 所以． 故选:A． 【点睛】本题主要考查了空间向量数量积的应用，属于基础题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间共面向量定理和空间向量基底的定义逐一验证即可. 【详解】对于A：设，则，由无解， 故不存在，使得，所以，，不共面，故A正确； 对于B：，所以，，共面，故B错误； 对于C：，所以，，共面，故C错误； 对于D：设，则，由无解， 故不存在，使得，所以，，不共面，故D正确. 故选：AD. 10. 已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设点B的坐标为,根据空间两点间距离公式列式求解. 【详解】设点B的坐标为, 由空间两点间距离公式可得，解得或10 所以B点的坐标为或. 故选：AC. 11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离. 【详解】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________． 【答案】. 【解析】 【详解】. 13. 在空间四边形中，，，，，则______． 【答案】22 【解析】 【分析】由，可得，化简可得，然后结合可得答案. 【详解】因，则， ， 则， 整理得，因此． . 故答案：22 14. 若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ=__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式即可得出． 【详解】∵向量（1，λ，2），（﹣2，1，1）， ∴2+λ+2＝λ，，． 又，夹角的余弦值为， ∴，可知λ＞0． 解得λ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了数量积运算、向量夹角公式，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知空间向量. （1）求； （2）若向量与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求解向量的模长即可； （2）根据空间向量垂直的坐标运算列方程即可得实数的值. 【小问1详解】 因为空间向量， 所以， 所以； 【小问2详解】 由题得， 由向量与垂直，则， 则，解得：. 16. 如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量． 【答案】， 【解析】 【分析】由于轴垂直于平面，则该平面法向量易得，根据法向量的性质列方程组求平面的法向量即可. 【详解】由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示， 因此是平面的一个法向量； 设是平面的法向量． 由已知得，， 因而 取，得，则是平面的一个法向量． 17. 如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝ ，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 【答案】. 【解析】 【分析】由题设，写出点C、A、B、D、V的坐标，进而得到、坐标，利用向量数量积的坐标表示求的余弦值，即可确定异面直线AC与VD所成角的余弦值． 【详解】∵AC＝BC＝2，D是AB的中点， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 在Rt△VCD中，，故． ∴，． ∴. ∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 18. 如图，在平行六面体中，是的中点，求证：//面． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】选定为基底，用表示向量，即可用向量法证明线面垂直. 【详解】设，则 ， 若存在实数，使得成立， 则 因为不共面，故，即， 则故为共面向量， 且不在所确定的平面内，故//面. 19. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【小问1详解】 记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 【小问2详解】 ，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴楚县第一中学2025-2026学年第一学期 高二年级月考 数学学科 时间：90分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在四面体PABC中，（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 空间中，若向量共面，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 在长方体中，，则=（ ） A. B. C. D. 5. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（ ）． A. B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________． 13. 在空间四边形中，，，，，则______． 14. 若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ=__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15 已知空间向量. （1）求； （2）若向量与垂直，求实数的值. 16. 如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量． 17. 如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝ ，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 18. 如图，在平行六面体中，是的中点，求证：//面． 19. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $