圆锥曲线：椭圆为背景的中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：椭圆为背景的中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练 圆锥曲线：椭圆为背景的中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练 考点目录 椭圆为背景的中点弦问题 椭圆为背景的向量问题 椭圆为背景的斜率问题 考点一 椭圆为背景的中点弦问题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故选：A 3．（24-25高二上·天津和平·期末）已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然在椭圆内， 当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，， 此时不是线段的中点， 所以直线的斜率存在，设，， 则，两式相减并化简得， 又，，代入得， 解得， 故选：D. 5．（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 6．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆方程为， 易知直线的斜率为； 设，则，所以，； 易知，两式相减可得； 即，可得， 又，可得，所以； 即椭圆的方程为. 故选：A 7．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，且椭圆的上顶点为，则椭圆的方程为 【答案】 【详解】 如图设，则， 由整理可得，（*）， 因为弦的中点，且直线的斜率为， 则， 则由（*）可得，，即， 由题意，，则，故椭圆的方程为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·广西柳州·期中）已知一条直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求， 故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故答案为： 9．（23-24高二上·重庆江北·阶段练习）若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为 . 【答案】/ 【详解】由于，所以点在椭圆内部， 设，，由已知，， 由题意，，两式相减得， . 故答案为：. 10．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距 . 【答案】 【详解】设，，因为在椭圆上， 所以. 两式相减得，即. 因为点是线段的中点，所以，. 斜率，得，即,解得. 当时，椭圆方程为，可得，所以. 故答案为：. 11．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则由题意可得， 化简得，故的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 故设直线，， ，得， 则， 则， 因线段的中点坐标为， 则，， 解得，经检验，满足， 则直线的方程为. 12．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设，， 因为线段的中点为，所以， 又，两式相减可得， 即， 所以， 又点在椭圆内部，所以，解得， 所以，即的取值范围为. 13．（24-25高三下·湖北随州·阶段练习）已知椭圆. (1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; (2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】(1)（）. (2)（）. (3). 【详解】（1）设弦的两端点为，线段的中点为， 则有，. 两式作差，得. 因为，，， 代入后求得　①. 所以，所以. 联立可得，或 故所求的轨迹方程为（） （2）由①式，得. 又因为，所以-. 整理得， 联立可得或， 故所求的轨迹方程为（）. （3）由①式，得弦所在的直线的斜率， 又，所以 所以其方程为，即. 14．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 15．（22-23高二上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为，，故， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而，所以． 由题设得，，， 设点，则有，化简可得， 又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在， 设弦的两端点分别为， 则①，②， 由①②，可得， 依题意，，代入上式，， 故有， 故以为中点的弦所在的直线方程为，即. 16．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为.点是椭圆上一点，且 (1)求的面积； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法1： 方法2： 根据椭圆可知：， （2）    设，代入椭圆方程得：， 两式相减得：， 又根据题意知：，代入可得：， 所以的斜率， 故的方程为，即. 考点二 椭圆为背景的向量问题 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知椭圆的右焦点，则直线l的方程为代入椭圆方程可得， 所以，由上方程，不妨令，则，， 所以． 故选：C 2．（24-25高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】椭圆的右顶点，上顶点， 设，则， 由可得，解得，即， 又由，则， 将代入椭圆方程，得， 即，解得或（舍），所以. 故选：A. 3．（2025·新疆喀什·模拟预测）直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的半焦距为，则， 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为， 过作的垂线，则为的中点， ，，则， 又，所以是的中点， 所以直线的斜率， ，则， . 故选：D.    4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意得，， ∴椭圆的离心率为. 设直线的倾斜角为，根据焦比定理得， 由得，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，即直线的斜率为. 故选：D. 5．（24-25高二下·山西吕梁·期中·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 【答案】ACD 【详解】由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距，，， 对于A，由椭圆定义知：， （当且仅当，即为短轴端点时取等号）， 的最大值为，A正确； 对于B，， 即的最小值为，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，设，，， ， ，，， 椭圆上存在点，使得，D正确. 故选：ACD. 6．（25-26高三上·山东济南·开学考试·多选）已知平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，满足，点满足，记的轨迹为，则（    ） A． B．的方程为 C．当直线与相切时， D．存在线段，使得内心在外部 【答案】AC 【详解】由题意可设， 而，故， 由，得，则可得， 所以，故，即， 故的方程为，B错误； 由，得， 故，当且仅当时等号成立，A正确； 当直线与相切时，设直线的方程为， 联立，得， 则，即得， 又因为在直线上，故， 代入，得，联立， 解得， 由，得，则，C正确； 由椭圆的对称性，不妨取内心在第一象限内情况， 为直角三角形，设其内切圆半径为r，则内切圆圆心为， 若内心在外部，则需满足，即； 又，则， 由于，设，由于考虑的是第一象限情况（可包含坐标轴）， 故，则， 设，则， 则， 由于，故与矛盾， 即不存在线段，使得内心在外部，D错误， 故选：AC 7．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是 . 【答案】 【详解】由椭圆方程得，，，设， 则：，； 由得：  （1）； 又点在椭圆上，可得（2）； （1）（2）联立消去得，；即； 故点到轴的距离是． 故答案为：． 8．（2024·上海闵行·一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ． 【答案】 【详解】椭圆，则、， 设，因为，即， 即，又，解得，不妨取， 则的方程为，由，解得或， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，点满足，若上存在点使得，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设点，易知点，由题意可得， 所以，，即点， 由，得， 整理可得， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 又因为点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点， ， 当时，即当时，当时，； 故有，可得，解得； 当时，即当时，当时，， 故有，即，矛盾. 综上所述，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海普陀·期中）已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的，两点． (1)当且的斜率为1时，求； (2)当时，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得对于任意的直线，都不是直角．若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）椭圆的右焦点，当时，直线，不妨令点在第一象限， 由，解得，，所以. （2）当斜率为时，，，则； 当斜率不存在时，，，则； 当斜率存在时，设直线方程为，， 由消去整理得， ，，而， 则 ， 令，得且，则， 所以的取值范围为. （3）设直线的方程为，点， 由消去并整理得， ，， 设， 而，， 于是 ， 对于任意的直线，都不是直角，则恒成立， 因此方程无解，即无解， 则，解得，又，于是或， 所以实数的取值范围为. 11．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得 ：且， 解得：， 所以椭圆的方程为； （2）如图所示： 由题意，可设直线的方程为 ，， 联立方程组消去得方程：， ，所以， 所以直线的方程为：， 令，则， 故直线过定点； （3）①当直线与轴重合时，， ②当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立，消去得方程， 可知，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 综上可知，的取值范围是． 12．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆过点，离心率为，过点的直线l与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，且，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆C：； （2）由题知直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得，故， 且，，    故， 解得，所以， 若，则，，解得或， 因为，所以， 若，则，若，则， 若，同理可得或， 综上，或. 13．（24-25高二下·重庆·期末）已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 14．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，动点分别在轴和轴上，满足，点满足的轨迹记为． (1)求的方程； (2)已知点，过点且斜率不为0的直线与交于两点． （i）证明：； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）设，，，则， ，，联立可得， 的方程为． （2）（i）设直线， 联立，得，， 由韦达定理，得， 则直线与的斜率之积为， ， ． （ii）由（i）知得， 且， 则的面积为， 令，则， 由于函数在上单调递增，则， 则， 面积的最大值． 15．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积. 【答案】(1). (2)， 【详解】（1）由题可知原点到直线距离.因为椭圆的离心率为，所以，所以. 所以椭圆C的方程为：. （2）过定点斜率为的直线方程为：.设. 由，得.所以. 因为，所以，所以， 整理得：，所以. 所以.所以， 所以的面积. 考点三 椭圆为背景的斜率问题 1．（25-26高二上·重庆·开学考试·多选）已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆方程为 C．若，分别是直线，的斜率，则有 D．当直线的斜率时，点落在轴上 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可得， 即，故A正确； 对于B，由题意可得，，，， 所以椭圆方程为，故B错误； 对于C，设直线， 联立，可得，从而， 则，则， 则，所以，故C正确； 对于D，若，则， 联立，可得，所以，，，则， 由，可得，， 联立，解得，所以当直线的斜率时，点落在轴上，故D正确. 故选：ACD.    2．（24-25高二上·四川内江·期末·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（    ） A．当时，四边形的周长为定值8 B．当为直角三角形时， C．当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为 D．当直线与的斜率之差为2时， 【答案】ACD 【详解】 对于A：因为椭圆，所以，，，即，， 则四边形的周长为，正确； 对于B：当时，设， 因为点P在椭圆上，解得，取，则，错误； 对于C：因为直线交椭圆C于A，B两点，所以A，B两点关于原点对称， 设，，， 因为，两式相减并整理得， 因为，，所以，正确； 对于D：易知，， 所以，整理得， 因为点P在椭圆上，所以，解得， 则，正确． 故选：ACD 3．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知椭圆C的下顶点为，右焦点为为坐标原点，是等腰直角三角形，是上一动点，且的最大值为. (1)求的方程； (2)已知点满足是椭圆上异于顶点的点，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设的焦距为，因为是等腰直角三角形，所以，从而. 又因为的最大值为，所以. 由解得 所以的方程为. （2）由（1）知，因为，所以. 显然直线的斜率存在，设直线，联立方程组 消去得，解得或，可得. 因为为线段的中点，所以， 所以直线的斜率为. 由，整理得，解得或.    4．（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程． (2)直线与椭圆交于点． ①求； ②记直线的斜率分别为，求． 【答案】(1) (2)①；②0 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以． 又椭圆的离心率为，且，解得， 所以椭圆的方程为． （2）    ①设． 联立得，则， 故． ②， ． 又 ， 所以． 5．（2025·河北保定·一模）已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为； 当外切矩形四边所在切线斜率都存在时， 则可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 由题可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 所以由对称性可得矩形面积为， 令，当且仅当即等号成立时， 所以， 则， 综上，矩形面积的取值范围为. （3）证明：设切线， 联立， 则 ， 此时，所以斜率， 同理可得，所以为定值. 6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为椭圆上一点，的离心率为． (1)求的方程； (2)已知，若过点的直线交于另一点，且． （ⅰ）若在第一象限，求直线的斜率； （ⅱ）求的方程． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）由点在椭圆上，得， 由的离心率为，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线的倾斜角为，则， ，解得， 所以直线的斜率为. （ⅱ）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得：，则点， 由，得，解得， ，， 而， 则，整理得，解得， 所以直线的方程为. 7．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点、， 依题意得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意可得直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，设点、， 由得，，可得， 由韦达定理可得， ， 已知，则，同理可得， 所以 . 8．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值. (3)已知为坐标原点，点，、是上异于的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)1 【详解】（1）设，由题可知， 整理得，即的方程为. （2）因为是与轴的交点，是上异于的一点， 由（1）可知，不妨设， 则. 又在上，所以， 所以， 故为定值，定值为. （3）若直线的斜率不存在，设， 因为直线与的斜率之和为， 则， 解得，不符合题意. 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，整理得， 则，. 所以 ， 整理得. 若，则直线经过点，不符合题意. 若，则，得. 又，点到的距离， 所以的面积 . 由，得， 令，则，， 则当时，取得最大值， 所以， 故的面积的最大值为1. 9．（25-26高三上·福建·开学考试）已知椭圆E: 的离心率为 短轴长为2. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若不与坐标轴平行的直线l与椭圆E相切于点 P，证明：直线OP与直线l的斜率之积为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意得， 又，解得，， 所以椭圆：． （2） 设点，由（1）知椭圆：， 所以，， 由题意，设直线的斜率为(存在且)， 方程为：，则， 由，消去，得①， 因为直线与椭圆相切，所以方程①， 得， 所以②， 其中． 所以关于的方程②有两相等实根，所以， 所以为定值． 10．（2025·天津河西·二模）已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，则， 所以椭圆的方程为， 由消去，得， 因为椭圆与直线相切， 所以令，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，设点、，的中点为， 联立消去，得， ， 由韦达定理得，， 所以，代入，解得， 故线段的中点的坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 令，解得，即， 因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形， 要使四边形为正方形，需满足， 所以 , 即，解得，则的值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：椭圆为背景的中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练 圆锥曲线：椭圆为背景的中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练 考点目录 椭圆为背景的中点弦问题 椭圆为背景的向量问题 椭圆为背景的斜率问题 考点一 椭圆为背景的中点弦问题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津和平·期末）已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，且椭圆的上顶点为，则椭圆的方程为 8．（24-25高二上·广西柳州·期中）已知一条直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，则直线的方程为 . 9．（23-24高二上·重庆江北·阶段练习）若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为 . 10．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距 . 11．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 12．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 13．（24-25高三下·湖北随州·阶段练习）已知椭圆. (1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; (2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 14．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 15．（22-23高二上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 16．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为.点是椭圆上一点，且 (1)求的面积； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 考点二 椭圆为背景的向量问题 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（2025·新疆喀什·模拟预测）直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山西吕梁·期中·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 6．（25-26高三上·山东济南·开学考试·多选）已知平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，满足，点满足，记的轨迹为，则（    ） A． B．的方程为 C．当直线与相切时， D．存在线段，使得内心在外部 7．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是 . 8．（2024·上海闵行·一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ． 9．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，点满足，若上存在点使得，则的离心率的取值范围为 ． 10．（24-25高二下·上海普陀·期中）已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的，两点． (1)当且的斜率为1时，求； (2)当时，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得对于任意的直线，都不是直角．若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由． 11．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 12．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆过点，离心率为，过点的直线l与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，且，求实数的值． 13．（24-25高二下·重庆·期末）已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 14．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，动点分别在轴和轴上，满足，点满足的轨迹记为． (1)求的方程； (2)已知点，过点且斜率不为0的直线与交于两点． （i）证明：； （ii）求面积的最大值． 15．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积. 考点三 椭圆为背景的斜率问题 1．（25-26高二上·重庆·开学考试·多选）已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆方程为 C．若，分别是直线，的斜率，则有 D．当直线的斜率时，点落在轴上 2．（24-25高二上·四川内江·期末·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（    ） A．当时，四边形的周长为定值8 B．当为直角三角形时， C．当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为 D．当直线与的斜率之差为2时， 3．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知椭圆C的下顶点为，右焦点为为坐标原点，是等腰直角三角形，是上一动点，且的最大值为. (1)求的方程； (2)已知点满足是椭圆上异于顶点的点，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，求直线的斜率. 4．（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程． (2)直线与椭圆交于点． ①求； ②记直线的斜率分别为，求． 5．（2025·河北保定·一模）已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为椭圆上一点，的离心率为． (1)求的方程； (2)已知，若过点的直线交于另一点，且． （ⅰ）若在第一象限，求直线的斜率； （ⅱ）求的方程． 7．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积． 8．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值. (3)已知为坐标原点，点，、是上异于的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值. 9．（25-26高三上·福建·开学考试）已知椭圆E: 的离心率为 短轴长为2. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若不与坐标轴平行的直线l与椭圆E相切于点 P，证明：直线OP与直线l的斜率之积为定值； 10．（2025·天津河西·二模）已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $