圆锥曲线：椭圆的定义与方程、离心率问题、弦长问题、面积问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：椭圆的定义与方程、离心率问题、弦长问题、面积问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的定义与方程、离心率问题、弦长问题、面积问题专项训练 考点目录 椭圆的定义与方程 以椭圆为背景的离心率问题 以椭圆为背景的弦长问题 以椭圆为背景的面积问题 考点一 椭圆的定义与方程 1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 2．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆经过点，则椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆经过点，所以，解得， 故椭圆的标准方程为， 所以，，则， 椭圆的焦点坐标为. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆方程， 上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 故选：D. 4．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B 5．（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知椭圆 的一个焦点为，则（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题意知焦点在轴上， 由题意知：，解得：. 故选：C. 6．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 【答案】D 【详解】方程变形可得， 因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：D 7．（24-25高二上·福建莆田·开学考试·多选）若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 【答案】AB 【详解】因为焦点坐标为，所以，解得或， 所以椭圆C的方程为； 短轴长为； 代入椭圆方程可得点在椭圆上； 离心率； 焦半径． 故选：AB． 8．（2025·广东茂名·模拟预测·多选）已知椭圆，两个焦点分别为，则（   ） A．a的取值范围为 B．椭圆C与双曲线有相同的焦点，则该双曲线的虚轴的长为2 C．若，则C的焦距为6 D．若，则C的离心率为 【答案】BCD 【详解】对于A：由题意可知，可得，故A错误； 对于B：由，则，虚轴长为2，故B 正确； 对于C：若，则C的焦距为，故C正确； 若，则C的离心率为，故D正确． 故选：BCD. 9．（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）过点且与双曲线有相同的焦点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】因为双曲线的焦点坐标为. 设椭圆方程为， 则：. 所以所求椭圆的标准方程为：. 故答案为： 10．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若表示椭圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】将原方程变形： ， 依题意，需满足： ， 解得：. 故答案为： 11．（25-26高二上·重庆·开学考试）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足， . 【答案】 【详解】由椭圆可知，， 所以，， 又，， 解得， 所以， 所以，即， 故答案为： 12．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 【答案】 【详解】因为，而， 所以， 则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点）， 其中，得， 得， 由于椭圆的焦点在轴上， 则椭圆的标准方程为：， 故答案为： 13．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）根据下列条件求椭圆的标准方程. (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)一个焦点为，过点； (3)短轴长为2，离心率. 【答案】(1) (2). (3)或. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为， 因为椭圆过点，离心率， 则有， 解得， 故椭圆的标准方程为. （2）因椭圆的一个焦点在轴上，且， 可设椭圆的标准方程为， 由点在椭圆上，代入可得 又，联立解得， 故椭圆的标准方程为. （3）由题意知，联立解得 故当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为， 故椭圆的标准方程为或. 14．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)过两点、的椭圆． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，椭圆的焦点在轴上，且半焦距为， 设椭圆方程为， 由椭圆过点，则，又，建立解得， 故所求椭圆的标准方程为. （2）设所求圆的一般方程为， 将已知三点的坐标代入，即得方程组，解得， 故所求圆的方程为，即. （3）设所求椭圆的方程为， 将两点坐标代入，可得，解得， 故所求椭圆的标准方程为. 考点二 以椭圆为背景的离心率问题 1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 2．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的取值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点坐标为， 而椭圆的焦点在轴. 当焦点坐标为，右顶点的坐标为时，，，离心率. 当焦点坐标为，上顶点的坐标为时，，，那么，离心率. 当焦点坐标为，上顶点的坐标为时，，，那么，离心率. 故选：B 3．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，设，则，由椭圆的定义，得， 因为是直角，所以在中，由勾股定理，得， 即，所以椭圆的离心率. 故选：B 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将 代入椭圆方程得， 整理得， 由 ，得 ，代入上式， ， 因此，点 和 的坐标分别为 和 ， 弦长 为， 由已知 ，有， ， 离心率 ，其中 ，代入 ， 因此：. 故选：B    5．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为，则，设， 由，得，于是，， 而，则，由三点共线，得， 于是，解得，此时或符合题意， 所以椭圆的离心率为. 故选：B    6．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由可得，由图知，， 则的面积为， 解得，则椭圆的离心率为. 故选：A. 7．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方， 因，则， 又是等腰直角三角形，所以直角只能是或. ①如图1，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得，解得（舍去）. ②如图2，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得， 解得（舍去），故. 故选：BD. 8．（25-26高三上·江西·阶段练习·多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【详解】由椭圆，可得，且，则， 对于A中，若，可得， 又由椭圆的定义，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，可得， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 对于B中，若，因为，可得， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以B正确； 对于C中，若，可得 由椭圆的定义， 且， 所以，可得，所以， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以C不正确； 对于D中，若，设，则， 由勾股定理，可得，即， 解得，即，， 由，且三点共线，可得， 代入椭圆的方程，可得，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【答案】 【详解】由化简为，圆心．如图，    因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4. 设，由，得 ①，又在上 ② 联立①②消去，化简得， 即，因在上，则有，得， 故，即在上成立(*). 令，因，则函数在上单调递减. 故，由（*）可得，解得，故. 所以，即， 即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意知，直线与坐标轴的交点坐标为. 因为椭圆，即. 所以，可知， 所以，所以. 所以该椭圆的离心率为. 故答案为：. 11．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 【答案】 【详解】不妨设，，， 由可知，直线、斜率均存在且不为0， ∵， 且， ∴，∴直线的倾斜角为, ∴， 设为C的左焦点，连接， 根据椭圆的对称性得：,则， ∵,∴，， 由椭圆的定义得：， ∴C的离心率. 12．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 因为为等腰三角形，且为钝角，则， 设点，则，， 则，可得，又因为，故， 所以 ， 所以，化简得出. 故答案为：. 考点三 以椭圆为背景的弦长问题 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为和，即， 且， ，解得， ，， 椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率，其方程为， 联立可得， 设， 根据韦达定理，则有， . 所以. 2．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得， 故的方程为. （2）联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 3．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知椭圆的短轴长为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 【答案】(1)椭圆的标准方程为： (2) 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以短半轴长。 所以椭圆的标准方程为：，又因为点在椭圆上， 所以，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为：； （2）设直线与椭圆的交点为 和 的坐标分别为。 由，可得， 整理得，，解得， 所以， 因为，所以， 所以，所以 整理得，解得或（舍去）， 所以. 4．（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． （2），又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 5．（24-25高二下·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 6．（2025·云南昆明·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点. (1)若直线过椭圆的左焦点，求； (2)设线段的垂直平分线与轴交于点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，，左焦点， 则直线的方程为：，设， 联立方程得， 所以， 所以. （2）设的中点， 联立方程得， 所以， 所以， 因为线段的垂直平分线与轴交于点， 所以线段的垂直平分线方程为：， 所以，解得（满足）， 所以， 所以.    7．（2025·山东菏泽·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为为第一象限内上的一点，直线与的另一个交点为，且. (1)证明：； (2)若求直线被截得的弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 由椭圆的定义得①， 由题意，②， 将②代入①可得：，故得. （2） 若，则， 所以则. 由（1），，即点为曲线的下顶点. 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理， ，则. 设曲线的半焦距为，则， 所以曲线的方程为. 又，所以，解得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 联立得0（*）. 设方程（*）.的两个实数根分别为， 则， 故直线被曲线截得的弦长为： 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上.    (1)建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）根据题意，以椭圆的长轴所在直线为轴，以椭圆的短轴所在直线为轴建系.    伞面是以半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为. 伞面与地面所成夹角为；且伞面直径为. 又光线与地面所成夹角也为. 伞面与地面长轴围成底角为的等腰三角形； 由余弦定理可得：；解得：. .. 椭圆的标准方程为：. （2）由知：,得.所以右焦点坐标为. 设直线的方程为：；设. 联立，可得. ，. . 考点四 以椭圆为背景的面积问题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积. 【答案】(1). (2)， 【详解】（1）由题可知原点到直线距离.因为椭圆的离心率为，所以，所以. 所以椭圆C的方程为：. （2）过定点斜率为的直线方程为：.设. 由，得.所以. 因为，所以，所以， 整理得：，所以. 所以.所以， 所以的面积. 2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. （2）设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为，    则，解得或，满足， 则或. 3．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由右焦点为，得，所以， 又点在上，所以，即， 联立，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 因为，，所以， 因为，所以， 故直线的方程为，即， 联立并整理得， 设，则， 所以， 所以的面积， 令，则，， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 4．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆的离心率为，经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的右顶点，过点的直线交于两点，若为的中点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题知，由，则， 所以椭圆的方程为． （2） 由题意可知直线的斜率存在， 设的方程为， 由消去得，， 因为为的中点，所以，解得， 从而，的方程为， 所以， 而，所以点到直线的距离， 所以的面积． 5．（25-26高三上·河南·开学考试）已知椭圆的焦距为2，短轴长为为在第一象限上的一点，过点且与相切的直线分别交轴､轴于两点，为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设点，求的最小值； (3)证明：的面积不小于. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题可得，， 则，从而椭圆方程为：； （2）由（1）设，，又， 则 ，当且仅当，即时取等号. （3）在第一象限，由椭圆方程可得，. 设，则在A处的切线斜率为：，又， 则，，则. 则切线方程为：. 令，得，, 令，得，. 又由（2），设，，则，. 则，因，则， 从而，则，即的面积不小于. 6．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意可知，，则， 又，则，所以，解得，， 故椭圆的方程为； （2）（i）当直线的斜率不存在或为零时，圆内切于正方形， 四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意， 此时四边形为菱形； 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，， 由得， 则， ，， 所以， 因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为， 则，整理得， 所以， 则，此时平行四边形为菱形. 综上可知，四边形为菱形. （ii）由（i）知，当四边形为正方形时，； 当四边形不为正方形，而为菱形时， 因为， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 当，即时，取得最大值. 因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为， 因为，所以菱形的面积最大为. 7．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为 ，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)设A(4，0)，B(0，2)，点 P 是椭圆上且在第三象限内的一点. （Ⅰ）当 的面积取最大值时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）记直线PA与y轴交于点M，直线 PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值. 【答案】(1)； (2)；. 【详解】（1）已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为， ，离心率为 ，，又，解得，， 椭圆的方程为. （2）（Ⅰ）设直线的直线方程为：， 代入，得到，解得， 直线的直线方程为， 点是椭圆上且在第三象限内的一点， 过作直线且与椭圆相切，切点为，此时的面积取最大值. 设过的直线的方程为， 直线与椭圆联立方程组， 消去，得到关于的一元二次方程， 直线与椭圆相切，，，， 是第三象限的点，， 此时的解为， 代入直线方程为，得到， . （Ⅱ）设， 是第三象限的点，， 将代入椭圆中得到，整理得. ，，，直线的方程为， 令，解得，. ，，，直线的方程为， 令，解得，. ，，设四边形面积为，， 设，，， ， 设，，， ，当时，， 即时，也即，时， 四边形的面积的最大值为.    8．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，动点分别在轴和轴上，满足，点满足的轨迹记为． (1)求的方程； (2)已知点，过点且斜率不为0的直线与交于两点． （i）证明：； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）设，，，则， ，，联立可得， 的方程为． （2）（i）设直线， 联立，得，， 由韦达定理，得， 则直线与的斜率之积为， ， ． （ii）由（i）知得， 且， 则的面积为， 令，则， 由于函数在上单调递增，则， 则， 面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：椭圆的定义与方程、离心率问题、弦长问题、面积问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的定义与方程、离心率问题、弦长问题、面积问题专项训练 考点目录 椭圆的定义与方程 以椭圆为背景的离心率问题 以椭圆为背景的弦长问题 以椭圆为背景的面积问题 考点一 椭圆的定义与方程 1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆经过点，则椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知椭圆 的一个焦点为，则（   ） A． B． C．5 D．6 6．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 7．（24-25高二上·福建莆田·开学考试·多选）若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 8．（2025·广东茂名·模拟预测·多选）已知椭圆，两个焦点分别为，则（   ） A．a的取值范围为 B．椭圆C与双曲线有相同的焦点，则该双曲线的虚轴的长为2 C．若，则C的焦距为6 D．若，则C的离心率为 9．（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）过点且与双曲线有相同的焦点的椭圆的标准方程为 . 10．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若表示椭圆，则实数的取值范围为 . 11．（25-26高二上·重庆·开学考试）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足， . 12．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 13．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）根据下列条件求椭圆的标准方程. (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)一个焦点为，过点； (3)短轴长为2，离心率. 14．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)过两点、的椭圆． 考点二 以椭圆为背景的离心率问题 1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的取值不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江西·阶段练习·多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 9．（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 10．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 . 11．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 12．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 考点三 以椭圆为背景的弦长问题 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 2．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 3．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知椭圆的短轴长为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 4．（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 5．（24-25高二下·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 6．（2025·云南昆明·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点. (1)若直线过椭圆的左焦点，求； (2)设线段的垂直平分线与轴交于点，求. 7．（2025·山东菏泽·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为为第一象限内上的一点，直线与的另一个交点为，且. (1)证明：； (2)若求直线被截得的弦长. 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上.    (1)建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 考点四 以椭圆为背景的面积问题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积. 2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 3．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 4．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆的离心率为，经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的右顶点，过点的直线交于两点，若为的中点，求的面积． 5．（25-26高三上·河南·开学考试）已知椭圆的焦距为2，短轴长为为在第一象限上的一点，过点且与相切的直线分别交轴､轴于两点，为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设点，求的最小值； (3)证明：的面积不小于. 6．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 7．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为 ，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)设A(4，0)，B(0，2)，点 P 是椭圆上且在第三象限内的一点. （Ⅰ）当 的面积取最大值时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）记直线PA与y轴交于点M，直线 PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值. 8．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，动点分别在轴和轴上，满足，点满足的轨迹记为． (1)求的方程； (2)已知点，过点且斜率不为0的直线与交于两点． （i）证明：； （ii）求面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $