圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的定点问题 以椭圆为背景的定值问题 以椭圆为背景的定直线问题 考点一 以椭圆为背景的定点问题 1．（25-26高三上·天津西青·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，直线l与椭圆交于A，B两点（异于点），直线与的斜率之积恒为.求证：直线l过定点. 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；点 为椭圆 上的两个不同动点， 面积的最大值为 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为 . （i）若 在 轴上方，且 ，求证: 直线过定点; （ii）点在运动过程中，是否存在某些位置使得 且 ? 若存在，求出此时点 的坐标; 若不存在，请说明理由. 4．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，在圆上任取一点P，过P作x轴的垂线段PH，H为垂足，当P点在圆上运动时，线段PH的中点M的轨迹记为曲线C，当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合. (1)求曲线C的标准方程； (2)设曲线C的右顶点为D，若直线l（不过D点）与曲线C交于A，B两点，满足，证明：直线l过定点. 5．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 6．（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 7．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 8．（25-26高三上·贵州·开学考试）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的标准方程. (2)设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且. （i）若点的坐标为，求； （ii）证明：直线过定点. 考点二 以椭圆为背景的定值问题 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的焦距为，且与直线相切.直线与交于两点，为坐标原点，是上的点（异于），直线的斜率分别为. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的值； (3)是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 2．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线、的斜率分别为、，求两直线斜率的值. 3．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 4．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程. (2)已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值. 5．（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 6．（24-25高二下·河南开封·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点A在C上，垂直于x轴，且． (1)求C的方程； (2)若B为椭圆C的右顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，且． （i）求证：直线与直线的斜率之和为定值； （ii）过M与x轴垂直的直线交直线于点H，求中点的轨迹方程． 7．（24-25高二下·海南·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设的左焦点为，左顶点为，过原点且不与轴重合的直线与交于P，Q两点，直线QF与交于另一点，设直线MP和MR的斜率分别为和，证明：为定值． 8．（24-25高二下·北京顺义·期中）在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． (1)求椭圆E的长轴长及离心率； (2)证明：M，N两点横坐标之和为． 考点三 以椭圆为背景的定直线问题 1．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 2．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点. (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上. 4．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 5．（24-25高三下·安徽·阶段练习）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数的取值范围； ②证明：点在定直线上． 6．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4. (1)求的方程； (2)若斜率均为1的直线分别经过的左顶点和右焦点，与交于两点，与交于两点，求这四点围成的四边形的面积； (3)若过点的直线与交于两点，直线的斜率不为为的右焦点，证明：的内心在定直线上. 7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 8．（24-25高二上·吉林·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的定点问题 以椭圆为背景的定值问题 以椭圆为背景的定直线问题 考点一 以椭圆为背景的定点问题 1．（25-26高三上·天津西青·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，直线l与椭圆交于A，B两点（异于点），直线与的斜率之积恒为.求证：直线l过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）令的半焦距为， 由离心率为，得，解得，， 由点在椭圆上，则，则，，， 所以的方程是； （2）法一：点，设直线的方程为，，， 由，消去得，且， 则，， 直线与的斜率分别为，， 于是 ， 整理得，解得或， 当时，直线过点Q，不符合， 因此，直线恒过定点. 法二：设，，， 则，消去得， ，则，， ，，则， ∴，整理得， ∴， ∴，可得或， 因为直线不过Q点，所以，故， 所以，恒过定点. 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以， 且， 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍），所以直线过定点． 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；点 为椭圆 上的两个不同动点， 面积的最大值为 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为 . （i）若 在 轴上方，且 ，求证: 直线过定点; （ii）点在运动过程中，是否存在某些位置使得 且 ? 若存在，求出此时点 的坐标; 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意，即， 当点位于短轴端点时， 面积的最大值，得： ，即， 又， 所以，即 解得：， 故椭圆的标准方程为 （2）    （i）设直线方程为：， 由得：， ， 因为，所以， 即 所以， 整理得：， 代入韦达定理， 化简得： 所以直线方程为：，恒过定点； （ii）设，显然， 则直线斜率为，直线的斜率为. 因为， 所以直线斜率为，直线的斜率为. 所以直线的方程为： 直线的方程为：， 两方程联立解得：，即， 因为点在椭圆上，所以， 即或， 又点在椭圆上，， 联立无解， 联立，解得：， 所以符合条件的点得坐标为. 4．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，在圆上任取一点P，过P作x轴的垂线段PH，H为垂足，当P点在圆上运动时，线段PH的中点M的轨迹记为曲线C，当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.    (1)求曲线C的标准方程； (2)设曲线C的右顶点为D，若直线l（不过D点）与曲线C交于A，B两点，满足，证明：直线l过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，，则， 因点是线段的中点，则得，即， 因为点在圆上，则有， 所以把代入上述方程，可得， 即曲线的标准方程是. （2）由（1）知，设则， 将两边平方，可得，即， 代入坐标得，即（*），    ①如图，当直线垂直于轴时，且， 则将上式代入（*）化简得：，解得（舍）， 此时方程为，显然经过点；    ②如图，当直线的斜率存在时，设， 联立方程可得， 由， 可得，且，， 由（*），， 可得， 即 将，代入上式，整理得， 即，解得或， 当时，直线过点，不符合题意； 所以，此时直线的方程为恒经过点. 综上所述，直线过定点. 5．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）依题意可得，则，因为焦点，则， 所以椭圆方程为. （2）（i）当直线的斜率为时，则直线方程为， 与椭圆方程联立，解得， 不妨设点，， 则， 设椭圆的左焦点为， 由椭圆的性质可得， 所以的周长为， 又， 所以的周长为， 所以当直线的斜率为1时，求的周长为. （ii）依题意可设直线， 与椭圆方程联立可得，整理可得， 设， 则， 设直线，与椭圆方程联立可得， 整理可得， 设， 则， 又，所以， 同理可得， 由题意与关于原点对称，所以， 即， 整理可得， 即， ， 将代入上式可得， 又不恒为，故， 所以直线恒过点. 6．（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【详解】（1）由顶点为可知， 又离心率为，即，可得， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示： 联立，整理可得， 显然，即，可得； 且， 则直线与直线的斜率分别为； 即可得 ， 所以可得，所以； 解得或； 当时，直线为，此时直线恒过点， 当时直线为，恒过，与点重合，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨取， 则， 解得，即直线为，恒过点， 当时，直线过点，不合题意； 综上可知，直线过定点. 7．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)①，；②证明见解析 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. （2）①设坐标原点到直线的距离为， 联立， 得， 可得， 设，， 则， 所以此时 当，即时， 三角形面积有最大值 ②联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 8．（25-26高三上·贵州·开学考试）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的标准方程. (2)设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且. （i）若点的坐标为，求； （ii）证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）;（ii）证明见解析 【详解】（1） 由题意，，解得， 则的标准方程为. （2）（i）设，由（1）可得，因， 则，由可得， 代入，整理得：，解得（不合题意，舍去）或， 故得，则. （ii）因，直线的斜率不能为0，可设其方程为：， 代入，整理得：， 则， 设，则（*）， 则，化简得， 因，代入整理得：， 将（*）代入，可得，去分母可得： ， 化简得：，解得或. 当时，直线的方程为，直线经过定点， 此时由解得，则， 因，符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点，该点恰与点重合，不合题意，舍去. 故直线过定点. 考点二 以椭圆为背景的定值问题 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的焦距为，且与直线相切.直线与交于两点，为坐标原点，是上的点（异于），直线的斜率分别为. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的值； (3)是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【详解】（1）因为的焦距为，所以， 由得， 则， 得，则，则的方程为； （2）设， 由，得. ，. 设与y轴交于T，则的面积为： . 整理得，得或，则或. （3）设，则 由（2）知，，，则. 假设为定值，则， 要使方程恒成立，则，解得或， 且，故存在定点或，使得为定值0. 2．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线、的斜率分别为、，求两直线斜率的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）设，， 联立，消去得， ，解得， ，， 则、， ， 故两直线斜率.    3．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii），理由见解析 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. （ii）设， 由，得， 因，设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 4．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程. (2)已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值. 【答案】(1)+=1 (2)证明见解析 【详解】（1）设动点P的坐标为， 因为动点P到点的距离与到定直线的距离之比为， 所以， 两边同时平方可得， ， ，即. 所以轨迹C的方程为. （2）证明：设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，如下图：    由题知，， 因为， 所以，即， 利用对称性，同理可得， 于是. 因为，所以， 所以===， 所以， 同理可得， 所以 （定值）. 5．（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的标准方程是. （2）当点不是椭圆的顶点时，由，得点不是椭圆的顶点， 设直线方程为，点，则直线方程为， 由得，，同理， 面积， 而，因此，当且仅当时取等号， 点是椭圆的顶点时，点也是椭圆的顶点，， 所以面积的取值范围是. （3）依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或，则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 则，即，设， 由消去并整理得：， ，， 则 ， 所以为定值. 6．（24-25高二下·河南开封·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点A在C上，垂直于x轴，且． (1)求C的方程； (2)若B为椭圆C的右顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，且． （i）求证：直线与直线的斜率之和为定值； （ii）过M与x轴垂直的直线交直线于点H，求中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意有，解得，又，解得， 又由， 所以椭圆的方程为； （2）（i）由题意可设过的直线的方程为， 所以，消去化简整理有， 所以，解得， 所以， 又， 所以 ； （ii）设中点为，，则，又直线的方程为， 令有，所以， 所以 ， 又因为 ， 所以， 又过点的直线与椭圆的切点分别为， 所以中点的轨迹为除去两端点的线段，轨迹方程为. 7．（24-25高二下·海南·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设的左焦点为，左顶点为，过原点且不与轴重合的直线与交于P，Q两点，直线QF与交于另一点，设直线MP和MR的斜率分别为和，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【详解】（1）因为点在上，所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以有， 因此的方程为； （2）由（1）可知：， 当直线方程为时，此时不妨设， 直线QF的方程为：， 由，或，即， ， 当直线存在斜率且不为零时， 设直线QF的方程为：，与椭圆方程联立，得 ， 则， 设，则， ，把， ， 综上所述：为定值. 8．（24-25高二下·北京顺义·期中）在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． (1)求椭圆E的长轴长及离心率； (2)证明：M，N两点横坐标之和为． 【答案】(1)长轴长为6，离心率为． (2)证明见解析 【详解】（1）由椭圆方程得，，； 所以， 所以，； 所以椭圆长轴长为6，离心率为． （2）设点，，，， 设直线，联立方程 ， 消去y可得： 则；； 椭圆上顶点A坐标为， 所以直线；直线； 将，分别代入直线AB、AC 解得；； 所以 所以 将、代入 解得，得证． 考点三 以椭圆为背景的定直线问题 1．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.    (1)求椭圆的方程； (2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）1 【详解】（1）依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 椭圆方程为 （2）（i）证明：由（1）知可设直线方程为， 联立和， 得，直线l过椭圆焦点，必有， ， ，直线方程为， 直线方程为， 联立两方程得， ，即点在定直线上； （ii）依（i）有.设，若， 则，则， . 故当时，的最大值为1. 2．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得， ，整理得：， 由于直线与两直线的斜率一定存在，则， 所以点的轨迹为的方程为：. （2）    设斜率为的直线与曲线相交于两个交点， 则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 而， 设中点，则， 从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上. 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点. (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设，则， 则由两式相减可得，即， 所以 为定值. （2）由题意可得，解得，所以椭圆方程为， 则， 联立方程可得， 则，得， 故， 直线的方程为，① 直线的方程为，② 设直线与直线的交点， 则由①②两式相减可得，代入①可得， ，即. 所以点在定直线上. 4．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【详解】（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为． ②由①知， 则直线，直线， 由，整理得． 由①知，得， 所以， 即，解得， 所以点在直线上．    5．（24-25高三下·安徽·阶段练习）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数的取值范围； ②证明：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）由题设，则，整理得； （2）①联立与，整理得， 所以，则，所以； ②由①知，，则， 所以的中点为，显然点在定直线上，得证. 6．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4. (1)求的方程； (2)若斜率均为1的直线分别经过的左顶点和右焦点，与交于两点，与交于两点，求这四点围成的四边形的面积； (3)若过点的直线与交于两点，直线的斜率不为为的右焦点，证明：的内心在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【详解】（1）由题意，，则，所以椭圆方程为， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题，如图椭圆的左顶点为，则直线， 右焦点为，则直线， 将直线与椭圆方程联立，化简整理得， 解得，，即点， ， 同理，可求得，又， 所以四边形为梯形，梯形的高即两平行线与间的距离， ， 所以四边形的面积为. （3）如图，设直线，，，的内切圆的圆心为， 则，，， 由奔驰定理可得，， 即， 可得， 联立，化简整理得， ，，且， 又， 同理，， ， 又 ， 则，即， 所以， 所以的内心在定直线上. 7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 8．（24-25高二上·吉林·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)在 【详解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    2 学科网（北京）股份有限公司 $