4.1 指数与指数函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

4.1 指数与指数函数 目录 考点1 指数运算 0 题型1 根式的化简求值 0 题型2 指数幂的化简求值 0 考点2 指数函数 1 题型3 指数函数图像 1 题型4 指数幂比较大小 5 题型5 指数函数求参 7 题型6 指数函数恒过定点 9 题型7 求指数函数最值 11 题型8 根据指数函数最值求参 13 考点3 指数函数的性质综合 14 题型9 指数函数的单调性的应用 14 题型10 指数函数的奇偶性的应用 18 题型11 指数函数的对称性与周期性的应用 21 题型12 指数函数的综合大题 24 考点4 分段函数 24 题型13 指数函数有关的分段函数 24 考点1 指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： ② 正数的正分数指数幂的意义： ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 题型1 根式的化简求值 1．（25-26高一上·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【详解】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合根式的性质化简求解即可. 【详解】因为， 所以，即，解得， 当时，即， 满足. 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 3．（25-26高一上·陕西·开学考试）先化简：，再从中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】答案见详解 【分析】根据题意求的取值范围，结合因式分解化简整理，代入运算即可. 【详解】令，解得或； 令，解得； 可知的取值范围为. 则， 结合题意只可取，代入得. 4．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 题型2 指数幂的化简求值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则关于的表达式 ． 【答案】4 【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可. 【详解】原式， 故答案为：4. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的化简计算即可. 【详解】 ． 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式和分数指数幂的化简计算即可. 【详解】, 故选:B. 4．（24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案； （2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以， ， 所以. 3．（24-25高一上·江西宜春·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的转化和分数指数幂的运算公式化简计算即得； （2）由条件等式求得和，再代入计算即得. 【详解】（1） ； （2）由两边取平方，，即得， 再两边取平方，可得，即得. 故. 6．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）（1）化简求值：. （2）已知，求的值. 参考公式：立方和公式：；立方差公式： 【答案】（1）7；（2）65 【分析】（1）根据指数的运算法则计算即可； （2）配凑立方和公式求解. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以，所以， 所以. 考点2 指数函数 (1)指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. (2)图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 函数值的变化 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0. 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大. 题型3 指数函数图像 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【详解】设， 当时，， ∴时，单调递增， 由，得， ， ∴选项C，D错误． 当时，， ∴时，单调递增， 由，得，即， ∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 2．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·江西·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性以及特殊值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 因为，，则，则函数在上不单调递增，排除D选项. 故选：C. 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 5．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 题型4 指数幂比较大小 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【详解】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立． 故选：BC． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出，，的图象，移动直线，数形结合确定，，大小的所有可能情况，即可得. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，再作直线， 变换m的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故A，B，C正确，D错误． 故选：ABC 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 5．（25-26高一上·全国·课后作业）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A，C项同底，构造指数函数；B项同指数，构造幂函数；项不同底不同指，借助中间值“1”判断． 【详解】A：函数在上单调递增，故，选项A错误； B：函数在上单调递增，故，选项B正确； C：函数在上单调递减，故，选项C错误； D：∵，∴，选项D正确． 故选：BD． 题型5 指数函数求参 1．（2025高一·全国·专题练习）若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先作出的图象，即可根据函数图象的平移，结合指数函数的图象性质求解. 【详解】作出的图象如图，由图可知，在第一象限内该函数图象无限接近于直线，因此将此函数图象向下平移1个单位长度可得，在轴右侧，函数图象无限接近于直线，不再经过第一象限，满足题意，因此的取值范围为． 故答案为： 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像（红线），同时向下平移一个单位得到（黑线） 结合图象可知：， 故答案为： 3．（24-25高一上·河北邯郸·期末）“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题中条件图象不经过第一象限，求出m的范围，根据此范围来确定与两者关系判断充分必要性． 【详解】由图象不经过第一象限，则，解得， 而，故是图象不经过第一象限的必要不充分条件． 故选：B 4．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的图象过点，根据平移知识可知由此，可得的范围． 【详解】函数的图象过点，至少向下平移个单位才能使图象不过第二象限， 则，即， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 5．（24-25高一上·河北·阶段练习）若函数且的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】要使函数的图象经过第一、二、三象限，则且，解不等式即可得答案. 【详解】根据指数函数的图象可知，要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则且，即且， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 题型6 指数函数恒过定点 1．（25-26高一上·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质即可得答案. 【详解】对于函数，令， 解得，此时， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A 3．（2025高一·全国·专题练习）若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . 【答案】 4 【分析】根据指数函数过定点的性质，即恒成立，即可得到结论． 【详解】由函数的图象恒过点， 则当时，由得，即， 由得； 令，得另一根为，， 故另一个定点是. 故答案为：；4；. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得. 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义及题目条件求得函数 的解析式，再利用“上加下减，左加右减”的图象平移原则进行计算，得到函数的解析式，即可得出结果. 【详解】由指数函数的图象经过点， 得，解得，所以． 将函数的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象， 再向上平移4个单位长度，得到的图象． 令，得，此时，所以的图象过定点. 故答案为：；. 题型7 求指数函数最值 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】AC 【分析】对于A、B选项，利用指数型复合函数的单调性判断即得；对于C、D选项，利用二次函数的值域和指数函数的单调性即可求得最值判断. 【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增． 因为是上的减函数，由同增异减原则，可知的递增区间为，则A正确，B错误． 因为，所以，则C正确，D错误． 故选：AC 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若，其中，则的值域为 ． 【答案】 【分析】先根据求出的值域，再求出的值域即可. 【详解】因，且在上单调递增，则， 因在上单调递增，则， 故的值域为. 故答案为： 4．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，则在区间内的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求得，根据函数的单调性求得最小值. 【详解】当时，，则， 令，则，所以， 则是增函数，在区间内的最小值为． 故选：A 题型8 根据指数函数最值求参 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）若函数有最大值2，则 . 【答案】1 【分析】利用复合函数的单调性及二次函数的性质计算即可. 【详解】令，则. 因为有最大值，所以应有最小值. 由此可得，解得 故答案为： 2．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的范围可求得；分别在、和的情况下求得，利用构造不等式求得结果. 【详解】当时， ①当，即时， ，满足题意 ②当，即时，令, 当时，单调递减；当时，单调递增 又， 若最大值不超过，则，即 ③当，即时， ，解得：（舍） 综上所述：. 故选：C. 【点睛】关键点点睛；关键是能够得到绝对值内的函数的值域，进而通过分类讨论的方式去除绝对值符号，根据单调性求得最值. 3．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 考点3 指数函数的性质综合 题型9 指数函数的单调性的应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求指数型复合函数的单调性主要利用“同增异减”原则． （1）求函数定义域，函数单调递增区间为定义域内二次函数的减区间； （2）根据题意，问题等价于二次函数在上单调递增，考虑其对称轴即可得到答案． 【详解】（1）函数的定义域满足，即． 设， 则根据幂函数和二次函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 又∵指数函数在其定义域内为减函数， ∴由复合函数的单调性可知的单调递增区间为． （2）将原函数拆解为外层函数和内层函数， 其中内层函数为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为 外层函数是增函数， ∵是上的增函数， ∴，即， ∴实数的取值范围为． 故答案为：；． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【详解】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恒成立问题，分离参数求最值即可. 【详解】函数由和复合而成， 因为在区间上单调递减，而单调递增， 所以在区间上单调递减， 因为，如图， 所以 解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 5．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件求出函数及其在上的值域，再借助对勾函数求出函数在上的值域，利用值域的包含关系求出的范围. 【详解】由幂函数在上单调递减，得， 解得，，因此在上的值域为， 当时，令，由函数在上单调递减，在上单调递增， 得，于是函数在上的值域， 而对任意，总存在，使得， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 于是，即，所以. 故答案为： 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 【答案】CD 【分析】明确函数解析式，代入验证可判断A的真假；利用指数函数的单调性，结合复合函数单调性的有关结论，可判断B的真假；明确函数解析式，求函数值域，可判断C的真假；分情况讨论，根据函数的最大值，求参数的值，可判断D的真假. 【详解】对A：当，时，． 将代入可得，， 所以函数的图象不经过点．故A错误； 对B：当时，． 令，二次函数图象的对称轴为，在区间上单调递增，在上单调递减． 又因为指数函数是减函数，所以根据复合函数“同增异减”的原则，可知的单调递增区间为．故B错误； 对C：当时，，令． 因为函数是减函数，所以. 所以函数的值域为．故C正确； 对D：当时，． 若，则，此时函数无最大值． 若，令， 要使有最大值2，则在t取最小值时取最大值，所以． 对于二次函数，其图象的对称轴为， 当时，， 因为的最大值为2，所以，所以，解得．故D正确. 故选：CD 题型10 指数函数的奇偶性的应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，则 ． 【答案】 【分析】法一：由偶函数性质有恒成立，求参数值，进而求函数值；法二：由偶函数得求参数值，注意验证，进而求函数值. 【详解】法一：由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立， 即恒成立，即恒成立， 又不恒为0，所以，则； 法二：，，因为函数是定义域为R的偶函数， 所以，即，解得， 经检验，此时为偶函数，故， 所以． 故答案为： 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出. 【详解】函数定义域为，由是奇函数，得， 则，整理得， 所以. 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的性质得到为奇函数，求出的值，再结合偶函数的定义检验即可. 【详解】令，则的定义域为， 因为，所以函数是奇函数． 因为是偶函数， 所以为奇函数． 则，即． 当时，，定义域为. ， 即函数是偶函数. 所以. 故选：D. 4． （24-25高一上·浙江宁波·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 【答案】AC 【分析】由奇偶性得、，联立求对应函数解析式判断A；根据指数函数的单调性确定函数单调性判断B；由上分析得，令有，结合二次函数性质及其最小值求参数判断C、D. 【详解】A：因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由①②得，，，对； B：因为函数，在R上均为增函数，故在R上单调递增，错； 因为，所以， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，设， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，，解得，不符合题意． 综上，，C对，D错. 故选：AC 题型11 指数函数的对称性与周期性的应用 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】根据图形对称性求解． 【详解】把中的换成即可得到,故与的图象关于轴对称． 故选：A 2．（2025高二·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据，结合奇函数的性质即可求解. 【详解】由可得， 又为奇函数，故， 故答案为： 3．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的奇函数，对，总有成立，当时，．函数，若对，，使得成立，则满足条件的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据条件得出周期以及在上的值域，进而将问题转化为在上有解，再分、讨论即可. 【详解】由任意的，总有成立，即恒成立， 于是得函数的一个周期是4， 又当时，，有， 又是奇函数，则当时，， 又，，从而有， 即时，， 而函数的一个周期是4，于是得函数在上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 则在上有解，当时，显然成立， 当时，在上有解，必有，解得， 则有， 综上得实数的取值范围为． 故答案为： 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是定义在上的以4为周期的函数，对任意整数，区间．当时，．集合在上有两个不相等的实根，则（   ） A． B．是函数的一个对称中心 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A：利用函数周期为4，把转化为，在这个区间有对应表达式，代入求出值为1；对于B：根据是否成立即可判断；对于C：运用周期性和奇偶性判断；对于D：时，，是由平移得到.找到直线过点时的值为，根据两图象有两个不同交点确定的范围. 【详解】已知函数的周期为，则. 当时，，所以，故，选项A正确. 当时，，，所以在上是偶函数， 结合周期性，易知函数图象关于轴对称，即在R上也是偶函数. 又函数的周期为，则，即不是对称中心，选项B错误. 因为函数的周期为，所以，由于是偶函数，所以，选项C正确. 当时，，则. 在上有两个不相等的实根，即与在上有两个不同交点. 当时，，的图象是由向右平移4k个单位得到的. 当直线过点时，，故要使与在上有两个不同交点， 则，即，选项D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数和依次交于三点A，B，C，且满足，则a的值为（    ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】C 【分析】求出函数的对称中心，由给定条件可得点是它们相同的对称中心，由此求出值. 【详解】函数定义域为R，， 因此函数的图象关于点对称；函数的定义域为R， ， 因此函数的图象关于点对称，而函数的图象依次交于三点， 因为，所以点关于点对称，因此函数的图象对称中心相同，且为点，所以. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 题型12 指数函数的综合大题 1．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）由，令，得，分别讨论和，即可求得的值. 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， ， . （2）由（1）可知，设， 则 ， ， ，即， 函数在上单调递增， 则不等式化为：， 可得， 且， . （3）， ， 令，由，则， ， 当时，当时，，解得； 当时，当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，可知. 2．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0 (2)①单调递增，证明见解析；② (3) 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合其定义，即可求得答案； （2）①结合（1）得出的解析式，结合函数单调性的定义可判断并进行证明；②利用函数单调性的定义求解，即得答案； （3）由已知可分离参数，得对恒成立，即可构造函数，求出新函数的最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 即，化简得， 即，所以，解得； （2）①由（1）得， 所以， 所以函数在上单调递增，证明如下： 由于的定义域为R，任取， 则， 因为，所以，，，所以， 所以，所以函数在上单调递增； ②因为是上的奇函数，所以不等式等价于，即， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，所以，即， 因为，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则； 当时，恒成立， 令，， 则，该函数在为减函数， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 4．（2025高一·全国·专题练习）设常数，函数． (1)当时，用定义证明在上是减函数； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若时，不等式在定义域上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】(1)利用单调性的性质证明，即对任意，作差证明即可； (2) 针对参数分等于，等于及其他情况进行讨论 (3)利用(1)和(2)的结论，不等式在定义域上恒成立可以等价为，即恒成立的问题，二次函数恒成立，转化成判别式与作比较即可. 【详解】（1）任取，则 是增函数，，即． 又因为所以，所以， ，即在上是减函数． （2）当时，，定义域为， 此时函数为偶函数； 当时，，定义域为， 此时函数为奇函数； 当且时，，显然既不相等，也不互为相反数，此时既不是奇函数也不是偶函数． （3）当时，由（1）知单调递减，由(2)知为奇函数， 不等式可化为， 则，即恒成立， ，解得，所以的取值范围是. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）是定义在上的奇函数． (1)求的值，判断的单调性，并证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，为上的增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用求出，再利用单调性定义证明函数为上增函数即可； （2）转化为在上恒成立，令，则，求出的最大值可得答案. 【详解】（1）由题意，得，解得， 当时，， 则， 所以函数为奇函数，符合题意，故， 函数为上的增函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，即，又， 所以，即， 所以函数为上的增函数； （2）由（1）得在上单调递增， 所以当时，， 所以对任意恒成立，等价于 在上恒成立， 当时，令，则， 易知在上单调递增， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 考点4 分段函数 题型13 指数函数有关的分段函数 1．（25-26高一上·上海·阶段练习）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】对于， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 2．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断出为减函数，利用函数的单调性，再列不等式组即可得出结果． 【详解】因为对任意的，均有，即，所以在上单调递减． 由单调递减得， 因为指数函数单调递增且恒大于零，则由单调递减可得，故， 解得，故的取值范围是． 故答案为：． 5．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数与指数函数 目录 考点1 指数运算 1 题型1 根式的化简求值 1 题型2 指数幂的化简求值 2 考点2 指数函数 3 题型3 指数函数图像 3 题型4 指数幂比较大小 5 题型5 指数函数求参 6 题型6 指数函数恒过定点 7 题型7 求指数函数最值 7 题型8 根据指数函数最值求参 8 考点3 指数函数的性质综合 9 题型9 指数函数的单调性的应用 9 题型10 指数函数的奇偶性的应用 10 题型11 指数函数的对称性与周期性的应用 10 题型12 指数函数的综合大题 11 考点4 分段函数 12 题型13 指数函数有关的分段函数 12 考点1 指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： ② 正数的正分数指数幂的意义： ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 题型1 根式的化简求值 1．（25-26高一上·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ． 3．（25-26高一上·陕西·开学考试）先化简：，再从中选择一个合适的数代入并求值． 4．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 指数幂的化简求值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则关于的表达式 ． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）方程的解为 ． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 3．（24-25高一上·江西宜春·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 6．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）（1）化简求值：. （2）已知，求的值. 参考公式：立方和公式：；立方差公式： 考点2 指数函数 (1)指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. (2)图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 函数值的变化 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0. 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大. 题型3 指数函数图像 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 题型4 指数幂比较大小 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 题型5 指数函数求参 1．（2025高一·全国·专题练习）若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·河北邯郸·期末）“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·河北·阶段练习）若函数且的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 6．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型6 指数函数恒过定点 1．（25-26高一上·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ． 题型7 求指数函数最值 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若，其中，则的值域为 ． 4．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，则在区间内的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型8 根据指数函数最值求参 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）若函数有最大值2，则 . 2．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点3 指数函数的性质综合 题型9 指数函数的单调性的应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为 ． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 题型10 指数函数的奇偶性的应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，则 ． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．0 4． （24-25高一上·浙江宁波·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 题型11 指数函数的对称性与周期性的应用 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 2．（2025高二·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 ． 3．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的奇函数，对，总有成立，当时，．函数，若对，，使得成立，则满足条件的实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是定义在上的以4为周期的函数，对任意整数，区间．当时，．集合在上有两个不相等的实根，则（   ） A． B．是函数的一个对称中心 C． D．若，则 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数和依次交于三点A，B，C，且满足，则a的值为（    ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 题型12 指数函数的综合大题 1．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 2．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 4．（2025高一·全国·专题练习）设常数，函数． (1)当时，用定义证明在上是减函数； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若时，不等式在定义域上恒成立，求的取值范围． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）是定义在上的奇函数． (1)求的值，判断的单调性，并证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 考点4 分段函数 题型13 指数函数有关的分段函数 1．（25-26高一上·上海·阶段练习）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 . 2．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是 . 5．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $