2.2有理数的乘除法 讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数乘除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正异号得负，绝对值相乘）、乘法法则推广（负因数个数定符号）、乘法运算律（交换律、结合律、分配律），衔接除法（倒数意义、除法法则），进而过渡到乘除混合运算顺序及加减乘除混合运算规则，构建从单一运算到综合运算的学习支架。 资料以“知识梳理+典型例题+巩固训练”分层设计，通过类型化例题（如含绝对值化简的分类讨论）培养推理意识，结合简便运算实例强化运算能力与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过多样化练习查漏补缺，提升数学思维与解题技能。

有理数的乘除法讲义2025-2026学年人教版七年级上册 【知识梳理】 知识点一：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 知识点二：有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点三：有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 知识点四：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【典型例题与巩固练习】 类型一：有理数的乘法运算 【典型例题】 例1.计算： (1)；(2)． 【巩固训练】 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．6 2.若，则必有（    ） A．， B．， C．， D．，或者， 3.已知，，且，则的值等于　　 A．9或 B．9或 C．1或 D．或 【典型例题】 例2.计算： (1)(2) 【巩固训练】 1.下列各式中，计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2.若，则下列选项正确的是（　　） A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0 3.________． 类型二：有理数的除法运算 【典型例题】 例3.计算： (1)(2)(3)(4) 【巩固训练】 1.计算的结果是　　 A．3 B． C． D． 2.下列运算，结果正确的是　　 A． B． C． D． 3.计算： (1)(2)(3)(8) 类型三：有理数的乘除混合运算 【典型例题】 例4.计算： (1)；(2)． 【巩固训练】 1.下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.计算：． 3.计算：． 类型三：有理数的简便运算 【典型例题】 例5.利用运算律做较简便的计算： (1)；(2)； (3)． 【巩固训练】 1.在算式1.25××（－8）＝1.25×（－8）×＝[1.25×（－8）]×中，应用了（　 　） A．分配律B．分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律D．乘法交换律和分配律 2.利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 3.计算． 类型四：含绝对值的化简 【典型例题】 例6.已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗? 【巩固训练】 1.计算的取值. 【综合训练】 1.计算的结果是　　 A． B． C． D．6 2.下列各组的两个数互为倒数的是　　 A．和 B．和7 C．和 D．和0.5 3．计算：　　 A．2 B． C．32 D． 4．计算：的结果是　　 A． B． C．3 D．9 5．计算：__________． 6.若，，都是有理数，且，，则的值是 　 　． 7.计算：． 8.脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③④ 【答案】 有理数的乘除法讲义2025-2026学年人教版七年级上册 【知识梳理】 知识点一：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 知识点二：有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点三：有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 知识点四：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【典型例题与巩固练习】 类型一：有理数的乘法运算 【典型例题】 例1.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）； （2）； 【巩固训练】 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 2.若，则必有（    ） A．， B．， C．， D．，或者， 【答案】D 3.已知，，且，则的值等于　　 A．9或 B．9或 C．1或 D．或 【答案】． 【典型例题】 例2.计算： (1)(2) 【答案】(1)(2)−200 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【巩固训练】 1.下列各式中，计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.若，则下列选项正确的是（　　） A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0 【答案】C 3.________． 【答案】 类型二：有理数的除法运算 【典型例题】 例3.计算： (1)(2)(3)(4) 【答案】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【巩固训练】 1.计算的结果是　　 A．3 B． C． D． 【答案】． 2.下列运算，结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】． 3.计算： (1)(2)(3)(8) 【答案】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 类型三：有理数的乘除混合运算 【典型例题】 例4.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【巩固训练】 1.下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 2.计算：． 【答案】解：原式 ． 3.计算：． 【答案】解：原式 ． 类型三：有理数的简便运算 【典型例题】 例5.利用运算律做较简便的计算： (1)；(2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3)0 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 【巩固训练】 1.在算式1.25××（－8）＝1.25×（－8）×＝[1.25×（－8）]×中，应用了（　 　） A．分配律B．分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律D．乘法交换律和分配律 【答案】C 2.利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.计算． 【答案】解： ． 类型四：含绝对值的化简 【典型例题】 例6.已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗? 【答案】 解：分四种情况： (1)当a、b、c三个数都为正数时，； (2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数， ； (3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数， ； (4)当a、b、c三个数都为负数时， 综上，的值为： 【巩固训练】 1.计算的取值. 【答案】(1)当a＞0、b＞0时，； (2)当a＜0、b＜0时，； (3)当a＞0，b＜0时，； (4)当a＜0，b＞0时，． 综上，的值为： 【综合训练】 1.计算的结果是　　 A． B． C． D．6 【答案】． 2.下列各组的两个数互为倒数的是　　 A．和 B．和7 C．和 D．和0.5 【答案】． 3．计算：　　 A．2 B． C．32 D． 【答案】． 4．计算：的结果是　　 A． B． C．3 D．9 【答案】． 5．计算：__________． 【答案】 6.若，，都是有理数，且，，则的值是 　 　． 【答案】3或． 7.计算：． 【答案】解： ． 8.脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③④ 【答案】①；②；③；④． 【详解】解：① ； ② ． ③ ； ④ ． 学科网（北京）股份有限公司 $