2.1有理数的加减法 讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

有理数的加减法讲义2025-2026学年人教版七年级上册 【知识梳理】 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤： (1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)． (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点二：有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如： 知识点三：有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题与巩固练习】 类型一：有理数的加法运算 【典型例题】 例1.计算下列各题： (1)；(2)；(3)；(4)． 【巩固训练】 1.计算：的结果是(　 　). A．2 B．10 C． D． 2.下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3.计算： （1）（﹣8）+（﹣15）；（2）（﹣20）+15；（3）16+（﹣25）；（4）2.7+（﹣3.8）； 【典型例题】 例2.计算： (1)；(2)． 【巩固训练】 1.这个运算中运用了(　　) A．加法的交换律B．加法的结合律C．加法的交换律和结合律D．以上均不对 2.下列变形，运用加法运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 3.计算： (1)(2) 类型二：有理数的减法运算 【典型例题】 例3.计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【巩固训练】 1.计算的结果是（    ） A． B． C．8 D．2 2.下列计算中错误的是（    ） A． B． C． D． 3.计算的正确过程是（　　） A． B． C． D． 类型三：有理数的加减混合运算 【典型例题】 例4.计算： (1)；(2)； 【巩固训练】 1.把统一为加法运算，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3.计算： (1)；(2)； 类型三：有理数的加减混合运算在实际中的运用 【典型例题】 例5.一天，某出租车被安排以A地为出发地，只在东西方向道路上营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10．假设该出租车每次乘客下车后，都在停车地等待下一个乘客，直到下一个乘客上车再出发．将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地何处？ 【巩固训练】 1.为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？ （2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？ 2.下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 【综合训练】 1.两数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个数（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正数一负数 D．一个为0，一个为负数 2.下列运算中，错误的是（   ） A． B．C． D． 3.将式子统一为加法运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 4.计算，所得的结果是(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 5.若，且，则 ． 6.计算： (1)；(2)． 7．计算下列各式： (1)(2) (3)(4)． 8.某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，这一周的生产量情况如下表（星期一的生产量与计划每日生产量相比，星期二开始，实际每日生产量与上一天的生产量相比，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 (1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？ (2)本周总的生产量是多少辆？ 【答案】 有理数的加减法讲义2025-2026学年人教版七年级上册 【知识梳理】 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤： (1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)． (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点二：有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如： 知识点三：有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题与巩固练习】 类型一：有理数的加法运算 【典型例题】 例1.计算下列各题： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)0(4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【巩固训练】 1.计算：的结果是(　 　). A．2 B．10 C． D． 【答案】C 2.下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 3.计算： （1）（﹣8）+（﹣15）；（2）（﹣20）+15；（3）16+（﹣25）；（4）2.7+（﹣3.8）； 【答案】解：（1）（﹣8）+（﹣15）＝﹣23； （2）（﹣20）+15＝﹣5； （3）16+（﹣25）＝﹣9； （4）2.7+（﹣3.8）＝﹣1.1； 【典型例题】 例2.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)1． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【巩固训练】 1.这个运算中运用了(　　) A．加法的交换律B．加法的结合律C．加法的交换律和结合律D．以上均不对 【答案】C 2.下列变形，运用加法运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.计算： (1)(2) 【答案】(1)0(2) 【详解】（1） = = = =0； （2） = = = = 类型二：有理数的减法运算 【典型例题】 例3.计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【巩固训练】 1.计算的结果是（    ） A． B． C．8 D．2 【答案】D 2.下列计算中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.计算的正确过程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 类型三：有理数的加减混合运算 【典型例题】 例4.计算： (1)；(2)； 【答案】(1)16(2)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【巩固训练】 1.把统一为加法运算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.计算： (1)；(2)； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 类型三：有理数的加减混合运算在实际中的运用 【典型例题】 例5.一天，某出租车被安排以A地为出发地，只在东西方向道路上营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10．假设该出租车每次乘客下车后，都在停车地等待下一个乘客，直到下一个乘客上车再出发．将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地何处？ 【答案】在A地西边，距离A地4km 【详解】解：∵行车里程依先后次序记录：+9、-3、-5、+4、-8、+6、-7、-6、-4、+10， ∴将最后一名乘客送到目的地出租车在A地位置： （+9）+（-3）+（-5）+（+4）+（-8）+（+6）+（-7）+（-6）+（-4）+（+10）=-4， ∴出租车在A地的西边，距离A地4km． 【巩固训练】 1.为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？ （2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？ 【答案】（1）+14+（﹣9）+（+8）+（﹣7）+（+13）+（﹣6）+（+12）+（﹣5）＝20（千米）， 答：交警最后所在地在A地的东方20千米处． （2）14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12+|﹣5|+20＝94（千米）， 94×0.2＝18.8（升）， 答：这次巡逻（含返回）共耗油18.8升． 2.下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 【答案】解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值． 本周水位最高的为周五， 周一：+0.2， 周二：+0.2+0.8＝+1， 周三：+1﹣0.4＝+0.6， 周四：+0.6+0.2＝+0.8， 周五：+0.8+0.3＝1.1， 1.1+33＝34.1（m）， 34.1﹣33＝1.1（m） 故本周五水位最高，高于警戒水位1.1m． （2）通过表格可得+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.2＝0.9m， 故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9m． 【综合训练】 1.两数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个数（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正数一负数 D．一个为0，一个为负数 【答案】B 2.下列运算中，错误的是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 3.将式子统一为加法运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 4.计算，所得的结果是(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 【答案】C 5.若，且，则 ． 【答案】或 6.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．计算下列各式： (1)(2) (3) (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 8.某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，这一周的生产量情况如下表（星期一的生产量与计划每日生产量相比，星期二开始，实际每日生产量与上一天的生产量相比，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 (1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？ (2)本周总的生产量是多少辆？ 【答案】(1)150辆(2)880辆 【详解】（1）解：周一的生产量为；周二的生产量为； 周三的生产量为；周四的生产量为； 周五的生产量为；周六的生产量为； 周日的生产量为， （辆）； （2）（辆）， 答：本周总生产量是880辆． 学科网（北京）股份有限公司 $