精品解析：广东省湛江市第二中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

高二数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1-2章空间向量与立体几何+直线方程. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为， 点关于平面的对称点为点， 所以． 故选：B． 2. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 4. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（    ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 5. 已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得：， 则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动， 所以， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以.最大值为3. 故选：C. 6. ，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案 【详解】 如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 8. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即 ①． 又，所以，即 ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 10. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 11. 定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若，则直线与直线垂直 C. 若，则直线与直线垂直 D. 若，则直线与直线相交 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据有向距离的定义可得直线的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误. 【详解】设， 对于A，即为， 故， 所以直线的方程为：， 因为，直线与直线平行，故A正确； 对于B，设直线，取， 则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误； 此时也成立，故C错误； 对于D，仍取直线，取， 此时，故成立，此时与直线重合，故D错误. 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为______． 【答案】或13 【解析】 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 14. 棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先过作平面的平行面从而确定点的轨迹，再确定三棱锥体积取最大时的位置，进而找到球心所在方位即可求解. 【详解】如图，当点位于的中点时，取中点G，连接， 则由正方体性质有， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又且都在面，所以平面平面， 又面，所以平面， 所以的轨迹是以的中点为端点的线段， 因为， 所以当F点离平面距离最远时三棱锥体积最大， 此时，点与的中点重合， 取中点O，连接，则由正方体性质可得平面， 所以三棱锥的外接球球心在所在直线上， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，球心为， 则 于是，， 所以外接球半径为， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． （1）求直线的方程； （2）若点在直线上，且，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围. 【小问1详解】 因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则的倾斜角为，可知的斜率， 所以的方程为，即； 【小问2详解】 表示与点连线的斜率， 又是直线在部分上的动点，如下图示： 则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. 16. 如图，在几何体中，平面平面，，，，，∥. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取中点，连接，，则为的中位线. ， 又 且.  四边形为平行四边形. 又平面，平面 ∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形得到，再利用线面平行的判定定理即可证得结论； （2）法一：延长，交于，连接，由此作出二面角的平面角.并证明，再求的余弦值即可. 法二：先证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 法一：延长，交于，连接 是等边三角形，为的中点, 又且. 为的中位线,为的中点 又为的中点，为的中位线， ， . ∵平面平面，平面平面，平面 平面. 平面，. 因此，二面角的平面角为. 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 法二：∵平面平面，平面平面， 平面. 平面. 又等边三角形，为的中点 所以两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系. 因为， 所以，， ， 设为平面的一个法向量， 则 即 令，解得 设为平面的一个法向量 易得. 设平面与平面夹角为， . 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． 【小问2详解】 由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 18. 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． （1）求该圆台的侧面积； （2）若是线段的中点，求证：直线平面； （3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：取中点，连接，如图， 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （3） 【解析】 【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解； （2）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明； （3）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可. 【小问1详解】 因为， 所以圆台的侧面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长交于点，作直线， 因为两点分别在平面与平面内， 所以直线即为直线， 又平面， 所以点，即为点， ，则， 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则有：， 令，则， 当时，，此时， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为. 19. 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列问题：在三棱锥中，若，则称这样的三棱锥为完美三棱锥. （1）在三棱锥中，，求证：该三棱锥是完美三棱锥； （2）已知三棱锥中，为正三角形，. ①若，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由； ②若，且该三棱锥为完美三棱锥，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 由题意结合空间向量的线性运算化简得 ， ， 因为，所以， 即， 故该三棱锥是完美三棱锥， （2）①不是，证明如下： 为正三角形，，故，，又， 得到，由勾股定理逆定理得， 即，同理可得， 所以， 则该三棱锥不是完美三棱锥. ② 【解析】 【分析】（1）根据空间性向量基本定理，以为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到，再结合向量垂直的性质得到证明等式即可. （2）①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可. ②由棱锥为完美三棱锥可得长，由两点间距离公式求得点坐标，进而求出关键平面的法向量，最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， 因为，由余弦定理得， 所以，， 因为该三棱锥为完美三棱锥， 所以， ， 解得，由余弦定理得，解得， 设，，解得， 即，向量， 则，则， 不妨取，则， 设平面的一个法向量， 则，则， 不妨取，则， 则， 由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1-2章空间向量与立体几何+直线方程. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 4. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（    ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. ，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）． A. B. C. D. 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 11. 定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若，则直线与直线垂直 C. 若，则直线与直线垂直 D. 若，则直线与直线相交 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为______． 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 14. 棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． （1）求直线的方程； （2）若点在直线上，且，求的取值范围． 16. 如图，在几何体中，平面平面，，，，，∥. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 18. 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． （1）求该圆台的侧面积； （2）若是线段的中点，求证：直线平面； （3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 19. 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列问题：在三棱锥中，若，则称这样的三棱锥为完美三棱锥. （1）在三棱锥中，，求证：该三棱锥是完美三棱锥； （2）已知三棱锥中，为正三角形，. ①若，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由； ②若，且该三棱锥为完美三棱锥，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $