专题10 利用导数研究函数的极值、最值（知识梳理+满分技巧+考点突破+课后巩固）讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题10：利用导数研究函数的极值、最值 知识点一 函数的极值 1、函数的极小值： 若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值． 2、函数的极大值： 若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值． 极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点二 函数的最值 求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值． 一、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 二、等式恒成立问题常见的转化策略 (1)a＞f (x)恒成立⇔a＞f (x)max，a＜f (x)恒成立⇔a＜f (x)min. (2)f (x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f (x)－g(x)]min. (3)f (x)＞g(x)恒成立⇔f (x)min＞g(x)max. 考点一 求函数的极值或极值点 【例1】函数的极小值点是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】求下列函数的极值． （1）； （2）； （3）． 【变式1-2】已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值． 考点二 由极值与极值点求参数 【例2】已知函数，当时函数的极值为，则__________． 【变式2-1】若函数在区间[1，2]上无极值点，则实数的取值范围是 . 【变式2-2】已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________. 考点三 求函数的最值（不含参） 【例3】已知函数. （1）求的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【变式3】设函数， （1）求、的值； （2）求在上的最值． 1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（       ） A． B． C． D． 2.已知，函数的极小值为，则（       ） A． B．1 C． D． 3.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4.（多选题）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ） A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点 5.（多选题）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（       ） A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1 6.（多选题）已知．则下列说法正确的有（       ） A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值 D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是 7.已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为 ． 8.已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题10：利用导数研究函数的极值、最值 知识点一 函数的极值 1、函数的极小值： 若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值． 2、函数的极大值： 若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值． 极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点二 函数的最值 求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值． 一、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 二、等式恒成立问题常见的转化策略 (1)a＞f (x)恒成立⇔a＞f (x)max，a＜f (x)恒成立⇔a＜f (x)min. (2)f (x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f (x)－g(x)]min. (3)f (x)＞g(x)恒成立⇔f (x)min＞g(x)max. 考点一 求函数的极值或极值点 【例1】函数的极小值点是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B【解析】定义域为，所以， 所以当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，.故选：B 【变式1-1】求下列函数的极值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）极大值，极小值；（2）极大值，极小值；（3）极小值为，无极大值． 【详解】 （1）因为，所以， 令，即，解得或， 当变化时，、的变化情况如下表： 3 0 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 故当时，函数有极大值，， 当时，函数有极小值，． （2）因为，定义域为， 所以， 令，解得或， 当变化时，、的变化情况如下表： 0 0 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 故当时，函数有极小值，， 当时，函数有极大值，． （3）因为， 所以，函数的定义域为， 令，解得或（舍去）， 当时，， 当时，， 故当时，函数有极小值，，无极大值. 【变式1-2】已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值． 【解析】　∵f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0， ∴f ′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)， 令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝. ①当a＞0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝； 当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝0. ②当a＜0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝0； 当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝. 综上，当a＞0时，函数f (x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0； 当a＜0时，函数f (x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值. 考点二 由极值与极值点求参数 【例2】已知函数，当时函数的极值为，则__________． 【答案】 【详解】 解：已知函数,所以 , 由题意知 ， ，即解得或 当时, 此时函数在上是增函数,函数没有极值,不合题意; 当时, 令,解得, 当或时, ; 当时, ; 所以函数在和上是增函数, 函数在上是减函数, 当时取得极大值,符合题意, 所以,所以 【变式2-1】若函数在区间[1，2]上无极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由得，由于在区间[1,2]上无极值点，所以在[1,2]上单调，当单调递增时，故，即恒成立， 故，而在[1,2]上单调递增，故当单调递减时，故，即恒成立，故，而在[1,2]上单调递增，故，综上可知：在区间[1，2]上无极值点，则实数的取值范围或，故答案为： 【变式2-2】已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________. 【答案】或 【详解】 由题可知：， 因为函数在上存在极值点，所以有解 所以，则或 当或时，函数与轴只有一个交点，即 所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去 所以或，即或 故答案为：或 考点三 求函数的最值（不含参） 【例3】已知函数. （1）求的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；. 【详解】 1函数的定义域是R， ， 令，解得 令，解得或， 所以的单调递增区间为， 单调减区间为和； 2由在单调递减， 在单调递增， 所以， 而，， 故最大值是. 【变式3】设函数， （1）求、的值； （2）求在上的最值． 【答案】（1），；（2）， 【解析】（1）因为，所以，取，则有，即；所以，取，则有，即．故，． （2）由（1）知，，则， 所以、与，的关系如下表： 0 1 2 0 单调递增 极大值 单调递减 故，． 1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 2.已知，函数的极小值为，则（       ） A． B．1 C． D． ，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．故选：C 3.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 由函数，可得，且在区间上存在最小值，即在区间上存在，使得且，，设，即满足，且，可得，解得，即实数的取值范围是.故选：D. 4.（多选题）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ） A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点 【答案】AC 【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确. 在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC 5.（多选题）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（       ） A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1 定义域为R，，令得：或1，当时，，当时，，如下表： 0 1 - 0 + 0 - 递减 极小值1 递增 极大值 递减 从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，BC正确， 由于恒成立，所以函数无零点，A错误，当时，，故函数无最小值，D错误；.故选：BC 6.（多选题）已知．则下列说法正确的有（       ） A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值 D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是 【详解】由得：，即，故函数有唯一零点由题可知： 设，，则，由得：；由得；；故在上单调递增﹐在上单调递减， 作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下： 观察图象可得函数的单调递减区间为，，B错，函数在时有极大值，C对，方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是，D对，故选：ACD. 7.已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为 ． 【答案】【解析】因为，所以， 为二次函数，且对称轴为，所以函数在单调递增，则函数在单调递增，因为函数在上有极值， 所以在有解，根据零点的存在性定理可知，即，解得， 故答案为：. 8.已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值是，无极大值.(2). (1)当时，，的定义域为，，则. 令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得极小值且为，无极大值. (2)对任意的恒成立，则对任意的恒成立， 令，，所以，则在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，则，则. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $