专题9 利用导数研究函数的单调性 讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题9：利用导数研究函数的单调性 知识点一 函数的单调性的概念 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 知识点二 导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 一、已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 (5)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)⇔(a，b)＝增区间⇔＞0的解集是(a，b)； 函数y＝f(x)的减区间是(a，b)⇔(a，b)＝减区间⇔＜0的解集是(a，b)； · 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则. 二、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 三、常见的导函数与原函数混合构造类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 考点一 不含参函数的单调性 【例1】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】函数的定义域为.，则.令，解得.故选：D 【变式1】已知函数,则函数的单调递减区间是 . 【答案】【解析】函数定义域为,由于函数, 所以,得,所以函数的单调递减区间是. 考点二 含参函数的单调性 【例2】已知函数，.讨论的单调性. 【解析】因为，故可得，令，可得或； 当时，，此时在上单调递增；当时，当时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增.综上所述：当时， 在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在和单调递增，在单调递减. 【变式2-1】已知函数，若，讨论的单调性. 【解析】， ，，且， ①当时，，或时，，单调递增， 时，，单调递减； ②当时，，或时，，单调递增， 时，，单调递减； ③当时，，时，，单调递减，，，单调递增； 综上，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减. 【变式2-2】若函数，，讨论f (x)的单调性． 【解析】因为，所以，当时，， 令，解得，且时，，时，， 所以当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 又，所以当或时，，当时，， 所以当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 又，所以当或时，，当时，， 所以当时，在，上单调递减，在上单调递增； 综上得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增； 考点三 已知函数单调性求参 【例3】已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A． B．e C． D． 【答案】C【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 【变式3-1】若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A【解析】由，由已知递减区间，则得：，故，1是的两根，，，故选：A 【变式3-2】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D．m>1 【答案】B【解析】函数的定义域为，且， 令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：，故选：B. 【变式3-3】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】函数的定义域为 ，且其导数为． 由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即， 所以实数的取值范围是 ．故选:B． 考点四 原函数与导函数图象问题 【例4】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A．   B． C．   D． 【答案】D【解析】解法一：因为在和上，在和上， 所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，观察各选项知，只有D符合题意.解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于，所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.故选：D. 【变式4】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由导函数图象知，，恒成立，即函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，在上单调递减，因此在上，函数的变化率逐渐增大， 即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD不满足，在上，函数的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓，选项C不满足，选项B符合题意.故选：B. 考点五 构造函数比较大小 【例5】设则a，b，c之间的大小关系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】，构造函数，得，由得时，知在区间上是增函数，于是，即.故选：B． 【变式5】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】令，则.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减. 而，，所以在上有.所以在上单调递减.所以，即.故.故选：D. 考点六 构造函数解不等式 【例6】设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，，且，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当x<0时，，所以F(x)在上单调递增．又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，所以F(x)是定义在R上的奇函数，从而F(x)在上单调递增．而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0，当时，f(x)g(x)>0的解为；当时，f(x)g(x)>0的解为； 综上可知不等式f(x)g(x)>0的解集为.故选：A. 【变式6-1】已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为 . 【答案】【解析】令，则 ， 由于，所以，故在上单调递减，又是定义在上的偶函数且，故，所以，等价于，因此，故的解集为，故答案为： 【变式6-2】已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为 ． 【答案】 【解析】当时，因为，所以，所以，所以在上为增函数，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，且的定义域为，关于原点对称，所以也是定义在上的奇函数，且，又因为在上为增函数，所以在上为增函数， 由，得，所以，因为在上为增函数，所以，即. 所以的解集为.故答案为： 1.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ D ） 2.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】，构造函数1），则，当时，在上单调递增，所以，所以.故选:D. 3.已知是上的奇函数，是在上无零点的偶函数，，当时，，则使得的解集是________ 令，则，当时，，故在上单调递减，又是奇函数，是偶函数，故是奇函数，在上单调递减，又，可得，故在上小于0，由，得或，解得或.故答案为：. 4.设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=___-1_____；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_____a≤0______． 【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立， 则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是. 5.已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，a∈R. (1)当a＝1时，求f(x)的单调性； (2)讨论f(x)的单调性． 【解析】　 (1)当a＝1时，f(x)＝lnx－x＋1，f′(x)＝－1＝，令f′(x)＝0，得x＝1，列表如下： x (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 增 极大值 减 f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)． (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.若a≤0，则上式恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，列表如下： x (0，) f′(x) ＋ 0 － f(x) 增 极大值 减 综上：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减． 6.设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (1)求b，c的值； (2)设函数g(x)＝f(x)＋2x. ①若g(x)在区间(2，3)上单调递增，求实数a的取值范围； ②若g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减的区间，求实数a的取值范围． 【解析】　(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得：解得 (2)①∵g(x)在区间(2，3)上单调递增，∴g′(x)＝x2－ax＋2≥0在(2，3)上恒成立， 转化到：a≤x＋在(2，3)上恒成立，令h(x)＝x＋，求得h′(x)＝1－＝≥0在(2，3)上恒成立， ∴h(x)在(2，3)递增，h(x)>h(2)＝3，∴实数a的取值范围为a≤3； ②由题意得g′(x)＝x2－ax＋2<0在(－2，－1)上有解，∴a<x＋在(－2，－1)上有解， 又∵x＋＝－(－x－)≤－2，当且仅当－x＝－，即x＝－时取等号．∴实数a的取值范围为(－∞，－2)． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题9：利用导数研究函数的单调性 知识点一 函数的单调性的概念 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 知识点二 导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 一、已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 (5)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)⇔(a，b)＝增区间⇔＞0的解集是(a，b)； 函数y＝f(x)的减区间是(a，b)⇔(a，b)＝减区间⇔＜0的解集是(a，b)； · 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则. 二、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 三、常见的导函数与原函数混合构造类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 考点一 不含参函数的单调性 【例1】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数,则函数的单调递减区间是 . 考点二 含参函数的单调性 【例2】已知函数，.讨论的单调性. 【变式2】若函数，，讨论f (x)的单调性． 考点三 已知函数单调性求参 【例3】已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A． B．e C． D． 【变式3-1】若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ） A．1 B． C．3 D． 【变式3-2】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D．m>1 【变式3-3】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点四 原函数与导函数图象问题 【例4】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A．   B． C．   D． 【变式4】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 考点五 构造函数比较大小 【例5】设则a，b，c之间的大小关系式是（ ） A． B． C． D． 【变式5】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点六 构造函数解不等式 【例6】设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，，且，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为 . 【变式6-2】已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为 ． 1.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ ） 2.已知，则（ ） A． B． C． D． 3.已知是上的奇函数，是在上无零点的偶函数，，当时，，则使得的解集是________ 4.设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 5.已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，a∈R. (1)当a＝1时，求f(x)的单调性； (2)讨论f(x)的单调性． 6.设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (1)求b，c的值； (2)设函数g(x)＝f(x)＋2x. ①若g(x)在区间(2，3)上单调递增，求实数a的取值范围； ②若g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减的区间，求实数a的取值范围． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $