达标测试(六) 立体几何初步-【创新教程】2026年山东省普通高中学业水平合格考数学模拟检测

山东省普通高中学业水平合格考试达标测试（六） ) (立体几何初步) 满分100分，考试限定用时90分钟 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共 6.已知直线a,b与平面a,3,Y,下列能使a⊥3成 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 立的条件是 () 合题目要求的) A.a⊥Y,B⊥Y B.a∩B=a,b⊥a,bC3 1.若平面a外有两点A,B,它们到平面a的距 C.a∥B,a∥a D.a∥a,a⊥3 吧 离都是a,则直线AB和平面a的位置关系 7.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的 定是 两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该 ( 球的表面积为 () A.平行 B.相交 A.4元 B.6π C.平行或相交 D.ABCa C.8π D.10π 2.观察图中四个几何体，其中判断正确的是( 8.(2025·天津卷，4)已知m,n为两条直线，a,B 为两个平面，则下列结论中正确的是() A.若m∥a,nCa,则m∥n 苏 ② ③ B.若m⊥a,m⊥B,则a⊥B A.①是棱台 B.②是圆台 C.若m∥a,m⊥3，则&⊥3 C.③是棱锥 D.④不是棱柱 D.若mCa,a⊥B,则m⊥3 3.一个水平放置的平面图形 9.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为 的斜二测直观图是直角梯 () 形（如图所示），∠ABC= A.3:π B.2:π C.1:2π D.1:3π 45°，AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面 的面积为 与六个对角面（面AA1C1C、面ABC1D1、面 阳 A+9 2+号 ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面 A1B1CD)所在平面中，与棱AA1平行的平 c+9 D.+/ 面共有 () 2 A.2个 B.3个 4.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a C.4个 D.5个 和c的位置关系是 11.已知△ABC的平面直观图△A'B'C是边长 A.平行 为a的等边三角形，那么△ABC的面积为 B.异面 ( C.相交 A. B. D.平行、相交或异面 5.已知圆锥的侧面积（单位：cm2)为2π，且它的 C D.6a2 侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面 12.若斜线段AB的长是它在平面a上的射影长 半径（单位：cm)是 ( 的2倍，则AB与平面&所成的角是() A.1 B.2 A.60 B.45 C.3 D.4 C.30 D.120° 6-1 13.一个正三棱锥的底面边长为3，高为√6，则它 19.(2024·天津卷，6)若m,n为两条直线，a为 的侧棱长为 ( 一个平面，则下列结论中正确的是（) A.2 B.2√3 A.若m∥a,n∥a,则m⊥n C.3 D.4 B.若m∥a,n∥a,则m∥n 14.如图，已知PD垂直于正方 C.若m∥a,n⊥a,则m⊥n 形ABCD所在的平面，连接 D.若m∥a,n⊥a,则m与n相交 PB、PC、PA,AC、BD,则 20.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体 定互相垂直的平面有( 积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等，且 A.8对 B.7对 () C.6对 D.5对 15.若l,m,n表示不重合的直线，a表示平面，则 下列说法中正确的个数为 A ( ①若l∥m,m∥n,l⊥a,则n⊥a; c n ②若1∥m,m⊥a,n⊥a,则l∥n; 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） ③若m⊥a,nCa,则m⊥n. 21.利用斜二测画法得到： A.0 B.1 ①三角形的直观图是三角形； C.2 D.3 ②平行四边形的直观图是平行四边形； 16.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相 ③正方形的直观图是正方形： 等，且它们的高均为√3，则圆锥的体积为 ④菱形的直观图是菱形， ( 以上结论中，正确的是 (填序号). A.2√3π B.3√3π 22.（2025·全国二卷，14)一个底面半径为4 C.6√3π D.9√5π cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚 17.已知l,m是两条不同的直线，a为平面，mC 度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则 α，下列说法中正确的是 () 铁球半径的最大值为 cm. A.若1与a不平行，则1与m一定是异面 23.已知a,b表示不同的直线，a,B,y表示不重 直线 合的平面 B.若l∥a,则l与m可能垂直 C.若1∩a=A,且A任m,则l与m可能平行 ①若a∩B=a,bCa,a⊥b,则a⊥B; D.若l∩a=A,且l与a不垂直，则l与m一 ②若aCa,a垂直于B内任意一条直线，则a 定不垂直 ⊥B; 18.如图，在正方体EFGH一E1F1G1H1中，下 ③若&⊥B,a∩B=a,a∩y=b,则a⊥b: 列四对截面，彼此平行的一对是 () ④若a⊥a,b⊥B,a∥b,则a∥B. 上述命题中，正确命题的序号是 24.已知正六棱柱的高为5cm,最长的对角线为 13cm,则它的侧面积为 cm2. 25.在三棱锥P一ABC中，PA A.平面E1FG1与平面EGH1 =PB=AC=BC=2,PC= B.平面FHG1与平面F1H1G 1,AB=2√3，则二面角 C.平面F1H1H与平面FHE PABC的大小为 D.平面E1HG1与平面EH1G 6-2 三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应 27.(8分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱 写出文字说明，证明过程或演算步骤) 与底面垂直，AC=9,BC=12,AB=15,AA1 26.(8分)如图，在圆锥SO =12,点D是AB的中点. 中，AB,CD为底面圆的 两条直径，AB∩CD= O,SO=OB=2,P为SB 的中点 (1)求证：SA∥平面PCD; (2)求圆锥SO的表面积. A (1)求证：AC⊥B1C (2)求证：AC1∥平面CDB1. 6-3 28.(9分)如图，四棱锥P一 (2)求四棱锥P一ABCD的体积. ABCD的底面ABCD为 直角梯形，AB∥DC,D4 形 ∠ABC=90°，∠PAB=120°，DC=PC=2, PA=AB=BC=1. (1)证明：平面PAB⊥平面PBC; 脚 6-428解折：由题意可格-侣9别 (2+3i)(2-3i) 52+13i=4+i. 13 答案：4十i 24.解析：由a十b=2a-b,得a2=2a·b: 由a-bl=√3，得a2-2a·b+b2=3,即b2=3, |b=5. 答案：√3 25.解析：A:B=1:2,即B=2A,∴.B>A,.AC> BC. :∠ACB的平分线CD把三角形ABC的面积分成5 :3的两部分，∴.由角平分线定理得BC:AC=BD :AD=3:5,在△ABC中，由正弦定理得BC sin A 即品合号丝理得出清 sin A sin B' sin 2A 2sin A cos A 是则6osA=名 5. 答案： 26.解：因为x=1,所以之·之=1， 所以之2一之十1=之2-之十之之=x(心十之-1)， 所以|之2-之十1=之（之十之一1）川=之·|之十之-1 =x+之-1. 设之=x+yi(x,y∈R),那么之十之-1|=|2.x-1|, 又因为x=1,所以x2+y2=1. 所以一1x1,所以一32x一11， 则02x一13. 所以|之2一之十1的最小值为0，最大值为3. 27.解：(1)因为(2b-c)cosA=acos C, 由正弦定理，得(2sinB-sinC)cosA=sin Acos C, Ep 2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 即2 sin Bcos A=sinB. 因为在△ABC中，sinB≠0，所以osA=子又周为 0<A<π，所以A=T 3 (2)因为△ABC的面积为，，所以7aX1=,得a =2√5. 由宁c血A=,即宁cX号-原，所以k= 、2 由余弦定理，得a2=b2十c2-2 bccos A.即12=b2十 c2-bc,化简得(b+c)2=3bc+12, 所以(b+c)2=24,即b+c=2√，所以△ABC的周长 为a+b+c=2√6+2√5. 28.解：(1)m2=1,|n2=(√2-sinA)2+cos2A=3 2sin A m·n=cosA(√2-sinA)+sin Acos A=√2cosA ∴.m+n2=m2+2m·n+n2=4+2√2cosA 2√2sinA=4+2√2(cosA-sinA). ,m+n=2,∴.4+2√2(cosA-sinA)=4,∴.tanA =1.:0<A<,A=至 卷答 (2)由余弦定理， a2=P+2-2 heeos A,又由b=4E,c=2a,A=T 得a2=32+2a2-2×42×2a., 2 即a2-8√2a十32=0，解得a=4√2，.c=8, ∴SAAIC=2 -besin A=7×42X8 X sin=16. 山东省善通高中学业水平合格考试达标测试（六） 1.C结合图形可知选项C正确. B 2.C结合柱、锥、台、球的定义可知③是棱锥，④是棱 柱，故选C. 3.B将直观图ABCD还原后为Y 直角梯形A'BCD',其中A'B=A D 2AB=2,BC=1+号，AD AD=1. 所以平面图形的面积S=号X 2 (1+1+号)×2=2+9 B(O) 21 4.D结合长方体，易知a和c可以平行、相交或异面. 5.A设该圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个半圆 S=2x,所以22=2，则1=2，所以该半同的孤长为 2π.设该圆锥底面半径为R,则2πR=2π，R=1. 6.D由a∥a知a内必有直线l与a平行.又a⊥B, .l⊥3，∴.a⊥. 7.CR=√12+12=√2，S=4πR2=8π. 8.C本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与 平面的位置关系.A中，m∥a,nCa,m与n可能平行 或异面，故A错误；B中，m⊥a,m⊥3，则a∥B,故B错 误；D:mCa,a⊥B,则m不一定垂直于B,故D错误. 9.B设正方体的棱长为a,则球的直径为2R=√3a,所 以R=3 a,正方体的表面积为6a.球的表面积为 4πR2=4x· 5)2 =3πa2,所以它们的表面积之比 为6a2:3ra2=2:π. 10.B结合图形（图略）可知AA1∥平面BC1,AA1∥平 面DC1,AA1∥平面BB1D1D. 11.C如图①为直观图，图②为实际图形，取B'C'所在 直线为x'轴，过B'C中点O'与O'x'成45°的直线为 y轴，过点A'作A'N'∥Ox',交y轴于点N′，过点 A'作A'M∥Oy',交x轴交于点M', -8 ① MB0C衣 ② 对在R△AOMr中，国为0A'=,∠AM0= 45,所以M0'=A0=N-,故AMr=e, 2a. 在平面直角坐标系中，于x轴上方y轴左侧取到距x 轴6题)轴写。的点A,则△ABC为所求三角形. 显然Sae=7a·6a-。 1 12.A斜线段、垂线段以及射影构成 直角三角形.如图所示，∠ABO即是 斜线AB与平面a所成的角.因为 AB=2B0,所以coS∠AB0=OB AB BL 0 号，所以∠AB0=0,故选入 13.C连接底面中心与底面三角形的一个顶，点，则长度 为3×语-店，附花长为1一+(= 14.B依题意可知，平面PAD,平面PBD,平面PCD 都垂直于平面ABCD,平面PAD⊥平面PCD,平面 PAD⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PBC,平面PAC ⊥平面PBD,共7对， 15.D①正确，，l∥m,m∥n,.l∥n.又l⊥a,.n⊥a. ②正确，，l∥m,m⊥a,.l⊥a.又n⊥a,∴.l∥n.③正 确，由线面垂直的性质1可知其正确.故选D. 16.B由题意，侧面积相等，则圆锥的母线长是圆柱高 的2倍，即2√3，故其底面半径为3，所以圆锥的体积 为了×xX3×=3元，故选择：B 17.B对于选项A:若1与a不平行，则l与a的位置关 系有：相交或直线在平面内，又mCa,则l与m的位 置关系有：平行、相交或异面，故A错误：对于选项 B:若l∥a,则1与m可能垂 C 直，平行或异面，故B正确：对 B 于选项C:若l∩a=A,且A m,mCa,则l与m异面，故C 错误；对于选项D:若l∩a= A,且1与a不垂直，则1与m 可能垂直，如图，取a为平面 B ABCD,l=AD1,m=AB,且l⊥m,故D错误. 18.A正方体中，E1F∥H1G,EF中平面EGH1,H1G C平面EGH1,从而可得E1F∥平面EGH1.EG∥ EG,E1G1丈平面EGH1,EGC平面EGH1,从而可得 E1G∥平面EGH1.因为E1F∩EG1=E1,所以平 面E1FG1∥平面EGH1. 19.C对于A,B,若m∥a,n∥a,则m与n可能平行、相 交或异面，故A,B错误；对于C,D,若m∥a,n⊥a,则 m⊥，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D 错误， 卷答 20.B设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1, @由=号，得=9工=马 号4 r221 由圆柱的侧面积相等，得2xr1h1=2πr2h2; 即r1h1=r2h2. 出染子 21.解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相 交、相对线线平行关系不会玫变，因此三角形的直观 图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形. 答案：①② 22.解析：设铁球半径为r,根据题意， 有4r2=(9-2r)2+(8-2r)2, 即4r2-68r2+145=0, 即(2r-29)(2x-5)=0, 解得号翌（合 答案：2 23.解析：对①可举反例，如图，需b⊥3才 能推出a⊥B;对③可举反例说明，当Y 不与a,B的交线垂直时，即可知a,b 不垂直：根据面面、线面垂直的定义 与判定知②④正确 答案：②④ 24.解析：设正六棱柱的底面边长为acm, 则底面上最长对角线长为2acm, 所以由√/52+(2a)2=13,解得a=6, 所以侧面积为5×6a=5×6×6=180cm2. 答案：180 25.解析：取AB的中点M,连接PM, MC, 则PM⊥AB,CM⊥AB, 所以∠PMC就是二面角PABC 的平面角.在△PAB中，PM= √22-（√3）2=1，同理MC=PC= 1,则△PMC是等边三角形，所以 ∠PMC=60°. 答案：60° 26.解：(1)连接PO, .P,O分别为SB,AB的中点，PO∥SA. 又POC平面PCD,SA达平面PCD, .SA∥平面PCD. (2)设母线长为1，底面圆的半径 为r, 则r=2,l=SB=2√2， .S底=2=4π，S侧=rl=4V2π， .S表=S底十S侧=4(W2+1)元. 27.证明：(1)，CC⊥平面ABC,∴.CC⊥AC ,AC=9,BC=12,AB=15, ..AC2+BC2=AB2,.'.ACLBC. 又BC∩CC=C,∴.AC⊥平面BCCB1, 而B1CC平面BCC1B1,.AC⊥B1C. (2)连接BC1交B1C于O点，连接OD. 如图，O,D分别为BC1,AB的中点，∴.OD∥AC1. 又ODC平面CDB1,AC丈平面CDB1, ∴.AC1∥平面CDB1. -9 28.解：(1)证明：在△PAB中，由PA= AB=1, ∠PAB=120°，得PB=√5， 因为PC=2,BC=1, 所以PB2+BC2=PC2,即BC⊥PB. 因为∠ABC=90°， 所以BC⊥AB,又PB∩AB=B, 所以BC⊥平面PAB,又BCC平面 PBC, 所以平面PAB⊥平面PBC. (2)在平面PAB内，过点 P作PE⊥AB,交BA的延 长线于点E,如图所示，由 E (1)知BC⊥平面PAB, 因为BCC平面ABCD, D 所以平面PAB⊥平面 ABCD, 又平面PAB∩平面ABCD=AB,PE⊥AB. 所以PE⊥平面ABCD, 因为在Rt△PEA中，PA=1,∠PAE=60°， 所以PF=号 因为底面ABCD是直角梯形， 所以四棱锥P一ABCD的体积 V=号×号×1+2)×1x5=项 241 山东省普通高中学业水平合格考试达标测试（七） 1.D由题意，知该中学共有女生2000×200103 200 970(名).故选D. 2.A由概率的意义，可得北京今天一定降雨，而上海一 定不降雨，不正确.故选A 3.A事件N包含两种结果：向上的面都是正面或向上 的面是一正一反，则当事件M发生时，事件N一定发 生.则有M二N. 4.C“中国天眼”主要是通过观察获取数据 5.C“出现的点数为奇数”与“出现的点数为5”两事件 可能同时发生，不是互斥事件，故选C. 6.C由题意可设A={1,2},B={2,3},则A∩B={2}, AUB={1,2,3,所以AUB表示向上的，点数是1或2 或3，故选C 7.B样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1一5× (0.04+0.1)]=30. 8.D因为8×70%=5.6，故70%分位数是第六项数据23. 9.C所求众数的估计值为40十60=50（分钟）. 2 10.C记“没有人排队”为事件A,“1人排队”为事件B, “2人排队”为事件C,A、B、C彼此互斥.记“至多有2 人排队”为事件E,则P(E)=P(A十B十C)=P(A) +P(B)+P(C)=0.11+0.16+0.3=0.57. 11.C因为得85分的人数最多，为4人，所以众数为 85,中位数为85，平均数为0(100+95+90×2+ 85×4+80+75)=87. 12.D由平均数为1可得+0+1+2+3=1，解得a 5 一1.所以样本的方差2 (-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2 5 =2,故选D】 卷答 13.B将测量过某项指标的3只兔子分别记为A1,A2, A3,剩下的记为B1,B2,共有5只. 从这5只兔子中任取3只包含的基本事件总数n= 10,基本事件为(A1,A2,A3),(A,A2,B1),(A1A2, B2),(A1A3,B1),(A1,A3,B2),(A2,A3,B1),(A2 A3,B2),(A1,B1,B2),(A2,B1,B2),(A3,B1,B2). 记M为“恰有2只免子测量过该指标”，则事件M发 生所包含的基本事件数m=6,即(A1A2,B1),(A1, A2,B2),(A1,A3,B1),(A1,A3,B2),(A2,A3,B1), (A2A3,B2). 所以所求概率P=四=6=3 n10=5 A因为频率=组距X频重，所以成绩小于7清 学生人数占全班总人数的百分比x=0.02×1十0.18 ×1+0.36×1十0.34×1=0.9，成绩大于或等于15 秒且小于17秒的学生人数y=50×(0.36×1+0.34 ×1)=35,故选A. 15.A设A表示：“第一个圆盘的指针落在奇数所在区域”， 则P(A)=3: .2 B表示：“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”， 则P(B)=子 尉PAB=P(AP(P=号X号-号 16.B由题意得a+b+c=3M,a+b=2N,N+c=2P, M=+g+,N=生.P=生9 3 2 又.'a>b>c,∴.a+b>2c. .M-P=Q十b+c_N+c 3 2 atbtc =a+b+c_2 3 2 =a十b-2c>0,M>P.故选B. 12 17.A由题意，P(A)=子P(B)=,PAB)=子， ∴.P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立 则A与B也相互独立，∴.P(AB)=P(A)P(B)= Pa1-P(B)=合-名×含-子 18.C列出基本事件如下：（红黄、白紫），（红白，黄紫）， (红紫，黄白)，（白紫，红黄），（黄紫，红白），（黄白，红 紫)，共有6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛 的有4种，所以所求的概率为合=号，故选C 2 19.C对于A,根据频数分布表可知，6十12十18=36<50， 所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误： 对于B,亩产量低于1100kg的稻田所占比例为 6+12+18+30×100%=66%,故B不正确： 100 对于C,稻田亩产量的极差最大为1200一900=300， 最小为1150一950=200，故C正确： 对于D,由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100] 的频数为100一(6+12+18+24+10)=30， 所以平均值为00×(6×925+12×975+18X1025 +30×1075+24×1125+10×1175)=1067,故D 错误 -10山东省普通高中学业水平合格考试达标测试（六》 (数学)答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）口 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 错误填涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 O 事 涂写要工整、清晰。 3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 】0三 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题（共20小题，每小题3分，共60分） 正确填涂 在 1ABCD 6ABCD 11ABCD 16ABCD 2ABCD 7ABCD 12ABCD 17ABCD 的 3ABCD 8ABCD 13ABCD 18ABC☑D 4ABCD 9ABCD 14ABCD 19ABCD 内 5ABCD 10ABCD 15 ABCD 20ABCD 超 边 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 答 21. 22. 23. 24. 25. 三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 26.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡达标测试（六）第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 27.(8分) 1 28.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡达标测试（六）第2页（共2页）