第2章 一元二次函数、方程和不等式 综合检测(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

第二章　综合检测 限时60分钟；满分100分 一、单项选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.“|x|<3”是“x2<x”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知4a2+b2=6,则ab的最大值为(　　) A. B. C. D.3 3.关于x的不等式-x2+mx+n>0的解集为{x|-1<x<2},则m+n的值为　(　　) A.- B.- C. D. 4.当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m<8} B.{m|m≤8} C.{m|m≥8} D.{m|m>6} 5.某连锁酒店共有500间客房,若每间客房每天的定价是200元,则客房均可被租出;若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10,x∈Z),则被租出的客房会减少15x套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106 600元,则该连锁酒店每间客房每天的定价应为(　　) A.250元 B.260元 C.270元 D.280元 6.已知a>b>0,则2a++的最小值为(　　) A.4 B.6 C.3 D.10 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 7.下列说法正确的是(　　) A.函数y=x+的最小值为2 B.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件 C.若a,b,m为正实数,a>b,则< D.“>”是“a<b”的充分不必要条件 8.关于x的不等式ax2+bx+1>0,下列关于此不等式的解集结论正确的是(　　) A.解集可以为{x|x>1} B.解集可以为R C.解集可以为⌀ D.解集可以为{x|-1<x<1} 9.已知正实数x,y满足2x+y=xy,则(　　) A.xy≥8 B.x+y≥6 C.+≥4 D.2x2y+y2≥48 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 10.若a>0,b>0,且a≠b,试比较大小:a3+b3　 　a2b+ab2(填“<”或“>”).  11.已知关于x的方程x2+(m-2)x+m=0有两个不相等的正根,则实数m的取值范围是　　　　.  12.已知a>0,若关于x的不等式(x-1)2>(ax)2的解集中的整数恰有2个,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共4小题,共37分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13.(8分)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1. (1)证明:ab+bc+ca<0; (2)若a>b,证明a3>b3. 14.(9分)(1)求不等式-x2+6x+7≤0的解集; (2)已知0<x<2,求x(2-x)的最大值; (3)已知x>,求x+的最小值. 15.(10分)(1)若关于x的不等式ax2+(1-2a)x+1>x对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围; (2)解关于x的不等式ax2+(1-2a)x+1>3(a<0). 16.(10分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为80,最多为110.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为120元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理 1吨厨余垃圾处于亏损、盈利还是持平状态? (2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种: 方案一:每日进行定额财政补贴,金额为2 300元; 方案二:根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元. 如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案? 第二章　综合检测 1.B　由|x|<3,解得-3<x<3;由x2<x,解得0<x<1. 因为{x|0<x<1}是{x|-3<x<3}的真子集,所以“|x|<3”是“x2<x”的必要不充分条件.故选B. 2.B　因为6=4a2+b2≥2×2a·b,当且仅当2a=b=±时取等号,所以ab≤.故选B. 3.C　因为关于x的不等式-x2+mx+n>0的解集为{x|-1<x<2}, 所以-1,2是关于x的方程-x2+mx+n=0的两个实根, 所以解得所以m+n=.故选C. 4.A　当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立, 则m<=x+,x>0恒成立,只需m<(x>0)即可. 易知当x>0时,由基本不等式可得x+≥2=8,当且仅当x=4时取等号. 所以当x>0时,=8,即m<8,所以实数m的取值范围是{m|m<8}.故选A. 5.C　依题意知,每天有(500-15x)间客房被租出, 则该连锁酒店每天租赁客房的收入为(500-15x)(200+10x)=-150x2+2 000x+100 000(元). 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106 600元,所以-150x2+2 000x+100 000>106 600,即3x2-40x+132<0,解得6<x<. 又因为1≤x≤10且x∈Z,所以x=7,即该连锁酒店每间客房每天的定价应为270元.故选C. 6.D　∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0, ∴2a++=a+b++a-b+≥2+2=6+4=10, 当且仅当a=,b=时取等号, ∴2a++的最小值为10.故选D. 7.BC　对于A,当x取负值时显然不成立,故A错误. 对于B,若a,b∈R,由a2+b2≠0,可知a,b不同时为0,由|a|+|b|≠0,可知a,b不同时为0, 所以“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件,故B正确. 对于C,-==<0, 所以<,故C正确. 对于D,若>,则当a>0,b>0时,0<a<b;当a<0,b<0时,a<b<0;当a,b异号时,a>0>b. 若a<b,则当a,b同号时,>;当a,b异号时,a<0<b,则<. 所以“>”是“a<b”的既不充分也不必要条件,故D错误.故选BC. 8.BD　对于选项A,假设结论成立,则解得则不等式为-x+1>0,解得x<1,与解集为{x|x>1}矛盾,故选项A中的结论错误; 对于选项B,当a=1,b=0时,不等式x2+1>0恒成立,则解集是R,故选项B中的结论正确; 对于选项C,当x=0时,ax2+bx+1=1>0,故不等式ax2+bx+1>0的解集不可能为⌀,故选项C中的结论错误; 对于选项D,假设结论成立,则解得经检验符合题意,故选项D中的结论正确. 故选BD. 9.AD　正实数x,y满足xy=2x+y≥2,当且仅当2x=y时取等号,解得xy≥8,故A正确; 由题意得+=1, 所以x+y=(x+y)=3++≥3+2,当且仅当y=x时取等号,故B错误; 易知y≠2,x≠1,又因为2x+y=xy,所以x=, 所以====-1, 所以+=+-1≥2-1=3,当且仅当x=2,y=4时取等号,故C错误; 由对选项A的分析知xy≥8, 则2x2y+y2=2x·xy+y2=2x(2x+y)+y2=4x2+2xy+y2=4x2+4x+2y+y2=(2x+1)2+(y+1)2-2≥2(2x+1)(y+1)-2=4xy+4x+2y=6xy≥48, 当且仅当2x+1=y+1,且2x+y=xy(x>0,y>0),即x=2,y=4时取等号,故D正确.故选AD. 10.答案　> 解题思路　因为a>0,b>0,且a≠b, 所以a3+b3-a2b-ab2=(a-b)2(a+b)>0, 则a3+b3>a2b+ab2. 11.答案　{m|0<m<1} 解题思路　因为关于x的方程x2+(m-2)x+m=0有两个不相等的正根,即x2+4(m-2)x+4m=0有两个不相等的正根, 所以解得0<m<1. 所以实数m的取值范围是{m|0<m<1}. 12.答案　 解题思路　原不等式可转化为(a2-1)x2+2x-1<0(a>0), 由题意知a2-1>0,即a>1,令(a2-1)x2+2x-1=0, 此时Δ=4+4(a2-1)=4a2>0, 易知原不等式可转化为[(a+1)x-1]·[(a-1)x+1]<0, 此时解集为, 当a>1时,0<<,-<0, ∴原不等式解集中的2个整数分别为-1,0, ∴-2≤-<-1,解得≤a<2. ∴实数a的取值范围是. 13.解题思路　证明:(1)易知(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,(2分) ∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).(3分) 由于a,b,c不同时为0,故a2+b2+c2>0, ∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.(4分) (2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).(6分) a2+ab+b2=+b2≥0,取等号的条件为a=b=0,而a>b,∴等号无法取得, 故a2+ab+b2=+b2>0,(7分) ∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0,∴a3>b3.(8分) 14.解题思路　(1)由-x2+6x+7≤0,得x2-6x-7=(x-7)·(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥7,(2分) 所以原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥7}.(3分) (2)因为0<x<2,所以2-x>0, 则x(2-x)≤=1,(5分) 当且仅当x=1时取到等号,所以x(2-x)的最大值为1.(6分) (3)因为x>,所以2x-3>0, 令t=2x-3,则x=+,t>0, 所以x+=++≥2+=2+, 当且仅当t=2,即x=+时取到等号,(8分) 所以x+的最小值为2+.(9分) 15.解题思路　(1)由题意知不等式ax2-2ax+1>0对一切实数x恒成立, 当a=0时,ax2-2ax+1>0即1>0,满足题意;(1分) 当a≠0时,需满足解得0<a<1.(3分) 故实数a的取值范围为{a|0≤a<1}.(4分) (2)由ax2+(1-2a)x+1>3(a<0),可得ax2+(1-2a)x-2>0(a<0),即(x-2)(ax+1)>0(a<0),即(x-2)<0(a<0),(6分) 当-<2,即a<-时,(x-2)<0的解集为;(7分) 当-=2,即a=-时,(x-2)<0的解集为⌀;(8分) 当->2,即-<a<0时,(x-2)<0的解集为.(9分) 综上,当a<-时,原不等式的解集为;当a=-时,原不等式的解集为⌀;当-<a<0时,原不等式的解集为.(10分) 16.解题思路　(1)由题意可知日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本(单位:元)为=++40,80≤x≤110, 易知++40≥2+40=120,当且仅当x=80时等号成立,(3分) 故当该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低, ∵120=120,∴此时该企业处理1吨厨余垃圾处于持平状态.(5分) (2)若该企业采用方案一,设该企业每日获利为y1元, 则y1=120x-+2 300=-x2+80x-900=-(x-80)2+2 300,又80≤x≤110, ∴当x=80时,企业获得最大日利润,为2 300元;(7分) 若该企业采用方案二,设该企业每日获利为y2元, 则y2=120x+30x-=-x2+110x-3 200=-(x-110)2+2 850,又80≤x≤110, ∴当x=110时,企业获得最大日利润,为2 850元.(9分) 由于2 850>2 300,故为了获得最大利润,应选择方案二.(10分) 学科网（北京）股份有限公司 $