第2章 一元二次函数、方程和不等式 本章常见误区汇总(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

本章常见误区汇总 限时20分钟 常见误区1　误用不等式的性质致误 不等式两边同乘一个负数时注意不等式要变号;同向不等式可以相加,异向不等式可以相减,但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减;左右同正的同向不等式可以相乘,但不能相除;左右同正的不等式两边可以同时乘方或开方. 1.(多选)下列不等式正确的是(　　) A.若a>b,则a2>b2 B.若ac2>bc2,则a>b C.(x+3)(x+5)>(x+2)(x+6) D.若a>b,则< 2.已知三个不等式:①ab>0,②>,③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可组成　　　　个正确命题.  常见误区2　不等价变形导致所求代数式范围扩大致误 同向(异向)不等式的两边可以相加(减),但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围,所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎,必要时改换求解的思路和方法. 3.若1<a<3,-4<b<2,那么a-|b|的范围是(　　) A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5 C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4 4.(多选)已知-1≤a≤3,1≤b≤2,则以下命题正确的是(　　) A.-1≤ab≤6 B.0≤a+b≤5 C.-2≤a-b≤1 D.(a+1)(b-1)≤4 5.(多选)已知-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8,则(　　) A.-1≤a≤4 B.0≤b≤4 C.-28≤2a-5b≤14 D.ab的最大值为24 常见误区3　使用基本不等式时忽略“一正、二定、三相等”的条件致误 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”就是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 6.(多选)下列说法不正确的是(　　) A.若x>0,y>0,且+=1,则xy有最大值64 B.若x<,则函数y=2x+的最大值为-3 C.函数y=的最小值为 D.若x>0,y>0,x+y+xy=3,则x+y的最小值为2 7.已知x<3,则y=的最大值是(　　) A.-1 B.-2 C.2 D.7 8.(1)求代数式的取值范围; (2)已知x>0,y>0,且x+2y-2xy=0,求2x+y的最小值. 常见误区4　连续使用基本不等式时忽略等号同时成立的条件致误 连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行拆分或合并,直到取到等号的条件成立为止. 9.已知a>0,b>0,c>2,且a+b=1,则+-2c+的最小值为　　　　.  常见误区5　解含参数的一元二次不等式时忽视二次项系数致误 解含参数的一元二次不等式时,要注意分类讨论.分类讨论有三个层次:第一层次是最高次项系数是不是零,在最高次项系数不是零时,还应分正负,第二层次是相应的一元二次方程有无实根,第三层次就是比较两根的大小. 10.若关于x的不等式ax2-2ax-2<0恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|-1≤a≤0} B.{a|-2<a≤0} C.{a|-2<a<1} D.{a|a<-2或a≥0} 11.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},那么关于x的不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集为(　　) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1} C.{x|x<0或x>3} D.{x|0<x<3} 12.解关于x的不等式(m为任意实数):mx2+(2-m)x-2<0. 13.(1)若关于x的不等式x2-ax+b>0的解集为{x|x<-1或x>2},求实数a,b的值; (2)当b=0时,解关于x的不等式x2-ax+b≤0. 本章常见误区汇总 1.BC　不妨设a=0,b=-1,则a2=0,b2=1,故a2<b2,A错误; 由于ac2>bc2,故c≠0,c2>0,不等式两边同时除以c2,得a>b,B正确; (x+3)(x+5)-(x+2)(x+6)=x2+8x+15-x2-8x-12=3>0, 故(x+3)(x+5)>(x+2)(x+6),C正确; 不妨取a=1,b=-2,则a>b,但>,D错误.故选BC. 2.答案　3 解题思路　对于②,易得>⇔>0. 由ab>0,bc>ad,可得②成立,故①③⇒②. 若ab>0,>0,则bc>ad,故①②⇒③. 若bc>ad,>0,则ab>0,故②③⇒①. 所以可组成3个正确命题. 3.C　∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0,又∵1<a<3, ∴-3<a-|b|<3.故选C. 4.BD　∵-1≤a≤3,1≤b≤2,∴-2≤ab≤6,故A错误. ∵-1≤a≤3,1≤b≤2,∴0≤a+b≤5,故B正确. ∵1≤b≤2,∴-2≤-b≤-1,又-1≤a≤3,∴-3≤a-b≤2,故C错误. ∵-1≤a≤3,1≤b≤2,∴0≤a+1≤4,0≤b-1≤1,∴0≤(a+1)(b-1)≤4,故D正确,故选BD. 5.AC　因为-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8,所以-3≤3a≤12,即-1≤a≤4,A正确; 由-5≤a-b≤4,可得-8≤2b-2a≤10,又2≤2a+b≤8, 所以-6≤3b≤18,即-2≤b≤6,B错误; 设2a-5b=x(a-b)+y(2a+b),则解得x=4,y=-1, 易知-20≤4(a-b)≤16,-8≤-(2a+b)≤-2, 所以-28≤2a-5b≤14,C正确; 因为-1≤a≤4,-2≤b≤6,所以若ab的最大值为24,则a=4,b=6,此时2a+b=14>8,D错误,故选AC. 6.AC　对于A,∵x>0,y>0,∴1=+≥,∴xy≥64,当且仅当x=4,y=16时等号成立,故A中说法不正确; 对于B,当x<时,1-2x>0,则=2x+=-+1≤-2+1=-3, 当且仅当x=-时取等号,故B中说法正确; 对于C,y==+≥2=6, 当且仅当=,即x=±时取等号,故C中说法不正确; 对于D,若x>0,y>0,x+y+xy=3,则x+y+≥3, 即(x+y+6)(x+y-2)≥0,即x+y≤-6(舍)或x+y≥2, 当且仅当x=y=1时取等号,则x+y的最小值为2,故D中说法正确.故选AC. 7.A　y===x-3++3. ∵x<3,∴x-3<0,∴<0,∴x-3+=-≤-2=-4,当且仅当x-3=,即x=1时等号成立,∴y=的最大值为-4+3=-1,故选A. 8.解题思路　(1)由题意知x≠0, 当x>0时,=x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时等号成立; 当x<0时,=--1≤-2-1=-5, 当且仅当x=-2时等号成立. 所以原代数式的取值范围为≥3或≤-5. (2)由x>0,y>0,x+2y-2xy=0,得+=2, 所以2x+y=(2x+y)=×≥×=, 当且仅当x=y=时等号成立, 所以2x+y的最小值为. 9.答案　4(1+) 解题思路　+-2c+=c+=c+, 因为a+b=1,所以-2=-2=+≥2=2, 当且仅当a=-1,b=2-时等号成立, 又c>2,所以+-2c+≥2c+=2(c-2)++4≥2+4=4+4, 当且仅当2(c-2)=(c>2),即c=2+时等号成立, 所以+-2c+的最小值为4(1+). 10.B　不等式ax2-2ax-2<0恒成立, ①当a=0时,-2<0恒成立,符合题意. ②当a≠0时,解得-2<a<0. 综上所述,实数a的取值范围为{a|-2<a≤0}.故选B. 11.D　因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2}, 所以-1和2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0, 所以-=-1+2=1,=-1×2=-2,即b=-a,c=-2a, 代入不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax, 整理得a(x2-3x)>0, 又因为a<0,所以x2-3x<0,所以0<x<3.故选D. 12.解题思路　当m=0时,原不等式化为2x-2<0,解得x<1. 当m≠0时,原不等式可化为(x-1)(mx+2)<0, 令(x-1)(mx+2)=0,解得x1=1,x2=-. 当m>0时,x2<0,则原不等式的解集为. 当m<0时,x2>0, 若-=1,即m=-2,则x1=x2=1,故原不等式的解集为{x|x≠1}. 若-<1,即m<-2,则原不等式的解集为xx<-或x>1. 若->1,即-2<m<0,则原不等式的解集为xx>-或x<1. 综上,当m=0时,原不等式的解集为{x|x<1}; 当m>0时,原不等式的解集为; 当m=-2时,原不等式的解集为{x|x≠1}; 当m<-2时,原不等式的解集为; 当-2<m<0时,原不等式的解集为. 13.解题思路　(1)由题意得-1,2是关于x的方程x2-ax+b=0的两根, 故解得 (2)当b=0时,不等式为x2-ax≤0,即x(x-a)≤0, 当a>0时,解得0≤x≤a,故原不等式的解集是{x|0≤x≤a}, 当a=0时,解得x=0,故原不等式的解集是{0}, 当a<0时,解得a≤x≤0,故原不等式的解集是{x|a≤x≤0}. 学科网（北京）股份有限公司 $