第2章 微专题1 基本不等式求最值、证明问题(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

微专题1　基本不等式求最值、证明问题 限时35分钟 技巧1　配凑法求最值 1.已知x>0,y>0,且4x+9y=6,则xy的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 2.若正实数a,b满足(a+1)(2b+1)=4,则a+2b+1的最小值为(　　) A.2 B.3 C. D.4 3.已知实数x>0>y,且+=,则x-y的最小值是(　　) A.21 B.25 C.29 D.33 4.已知a>0,b>0,则的最大值为　　　　　.  技巧2　常数“1”代换后求最值 5.已知正数x,y满足x+=2,则+3y的最小值是(　　) A. B.5 C.5+2 D. 6.已知x+y=1,且x>0,y>0,则+的最小值是(　　) A. B. C.1 D. 7.若正实数x,y满足xy+1=y,则+2y的最小值是　　　　.  8.已知正实数x,y满足2xy-2x-y=0,则+的最小值为　　　　.  技巧3　分离后求最值 9.若x≥0,则的最小值是(　　) A.-1 B.3 C.6 D.12 10.当x>-1时,关于代数式,下列说法正确的是(　　) A.有最小值 B.不确定是否有最值 C.有最大值 D.无最大值 11.的最小值为　　　　.  技巧4　消元法求最值 12.已知a>0,b>0且a+b=1,则+的最小值为(　　) A. B. C.2 D. 13.实数x,y满足2x+y=-1,x>0,则x-的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 14.已知正实数x,y满足x-y+5=xy,则x+y的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 15.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.  16.已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为　　　　.  技巧5　双换元法求最值 17.已知x>y>0且4x+3y=1,则+的最小值为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 18.已知a>1,b>,+=1,则+的最大值为　　　　.  19.已知a,b都是正数,则+的最小值是　　　　.  20.已知a,b,c均为正实数,ab+ac=4,则++的最小值是　　　　.  技巧6　构造不等式求最值 21.若a>0,b>0,2ab+a+2b=3,则a+2b的最小值是(　　) A. B.1 C.2 D. 22.已知实数x,y满足x>0,y>0,且x+++=5,则2x+y的最大值为(　　) A.10 B.8 C.4 D.2 23.设x>0,y>0,且(x-1)(y-1)≥2,则xy的取值范围为　　　　.  技巧7　多次使用基本不等式求最值 24.已知a>0,b>0,则a+b++的最小值为　　　　.  25.若a>0,b>0,m=,则m的最小值为　　　　　.  26.已知a>b>0,则2a2+的最小值是　　　　.  技巧8　利用基本不等式证明不等式 27.(1)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:++≥9; (2)已知x>0,y>0,z>0,求证:≥8. 28.已知a>b>0,ab=2,求证:≥4. 29.已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:+≥. 微专题1　基本不等式求最值、证明问题 1.A　xy=×4x·9y≤=,当且仅当x=,y=时取等号,即xy的最大值为.故选A. 解后反思　配凑法的实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是常用技巧.应注意: (1)配凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及常数的调整,做到等价变形; (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 2.B　∵正实数a,b满足(a+1)(2b+1)=4, ∴a+2b+1=a+1+2b+1-1≥2-1=3, 当且仅当即时,等号成立, 故a+2b+1的最小值为3.故选B. 3.A　∵x>0>y,∴x+2>0,1-y>0, ∴x-y=(x+2)+(1-y)-3=6[(x+2)+(1-y)]-3=6-3≥6-3=21, 当且仅当x=10,y=-11时,等号成立,∴x-y的最小值是21.故选A. 4.答案　 解题思路　因为a>0,b>0,所以=·≤·==, 当且仅当2a=a+b,即a=b时等号成立. 5.D　由x+=2,得+=1,又x,y均为正数,∴+3y=·=1+++=++≥+2=,当且仅当=,即x=2-4,y=时等号成立.故选D. 方法总结　常数“1”的代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1; (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式; (4)利用基本不等式求最值. 6.B　由x+y=1得+=1, +==+++1=++, 因为x>0,y>0,所以>0,>0, 所以++≥+2=+1=, 当且仅当x=,y=时,等号成立. 故+的最小值是.故选B. 7.答案　3+2 解题思路　因为x,y为正实数,xy+1=y,所以x+=1,则+2y=+2yx+=3++2xy≥3+2=3+2,当且仅当=2xy,x+=1,x,y>0,即x=-1,y=1+时,等号成立. 8.答案　2 解题思路　+==4x+y-3,由2xy-2x-y=0,得2xy=2x+y,故+=2,又x,y均为正实数,所以4x+y-3=(4x+y)·-3=+≥2=2,当且仅当x=,y=+1时,等号成立. 故+的最小值为2. 9.A　=x+1+-7. 因为x≥0,所以x+1+≥2=6,当且仅当x+1=3,即x=2时,等号成立. 故的最小值为6-7=-1,故选A. 10.C　当x>-1时,x+1>0,==≤==, 当且仅当x+1=(x>-1),即x=-1时等号成立,故代数式有最大值.故选C. 11.答案　4 解题思路　==+≥2=4, 当且仅当=,即x=±时等号成立, ∴的最小值为4. 方法总结　计算(a>b)的最小值的方法: ==+≥2(注意验证等号成立的条件). 12.B　∵a+b=1,a>0,b>0,∴+=+=+-≥2-=,当且仅当a=时等号成立.故选B. 解题关键　根据a+b=1将+转化为+是解题关键,然后利用基本不等式即可求解. 13.D　因为2x+y=-1,所以y=-1-2x,又x>0, 所以x-=x+=x++2≥2+2=4,当且仅当x=1时取等号,故选D. 名师点睛　消元法求最值 条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的形式,然 后利用基本不等式求最值.注意所保留变量的取值范围. 14.B　因为正实数x,y满足x-y+5=xy,所以y=, 所以x+y=x+=x+=x+1+≥2=4,当且仅当x+1=(x>0),即x=1时,等号成立,此时y=3,故x+y的最小值为4.故选B. 15.答案　 解题思路　∵5x2y2+y4=1,∴y≠0,x2=, ∴x2+y2=+y2=+≥2=,当且仅当=且5x2y2+y4=1,即x2=,y2=时取等号. ∴x2+y2的最小值是. 16.答案　55 审题指导　由题可得y=>0,x>0,解得0<x<21, 则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31,再利用基本不等式即可求解. 解题思路　∵正实数x,y满足xy+2x+3y=42, ∴y=>0,x>0,解得0<x<21. ∴xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×2+31=55,当且仅当x=1,y=10时取等号. ∴xy+5x+4y的最小值为55. 17.B　由x>y>0,得2x-y>0,x+2y>0,令a=2x-y,b=x+2y,则a+2b=4x+3y,又4x+3y=1,所以a+2b=1, 所以+=(a+2b)=5++≥5+2=9,当且仅当a=b=时取等号,故+的最小值为9,故选B. 18.答案　 解题思路　令=x,=y,则x>0,y>0,a=,b=,x+2y=1,所以x+1+2y+2=4, 所以+=+=+=3--=3-(x+1+2y+2)=3-5++≤3-=, 当且仅当x=,y=时等号成立.所以+的最大值为. 19.答案　2 解题思路　设m=2a+3b,n=3a+2b,则a=,b=,a>0,b>0, 则+=+=+-4≥2-4=2,当且仅当m=n,即a=b时取等号.故答案为2. 20.答案　4 解题思路　由ab+ac=4,得a(b+c)=4,设a=x,b+c=y,则x>0,y>0,且xy=4, 原式=++=+=+≥2=2×2=4, 当且仅当x=y=2时等号成立, 所以++的最小值是4. 21.C　因为a>0,b>0,所以3=2ab+a+2b≤+a+2b,当且仅当a=2b时取等号, 故(a+2b)2+4(a+2b)-12≥0,即(a+2b+6)(a+2b-2)≥0,解得a+2b≥2或a+2b≤-6(舍), 所以当a=2b=1时,a+2b取得最小值,为2.故选C. 名师点睛　构造不等式求最值 当条件中给出了“和”与“积”之间的关系时,可以考虑借助基本不等式进行放缩,由条件式构建得到关于“和”或“积”的不等式,解此不等式即可求得“和”或“积”的最值. 22.B　由x+++=5,得(2x+y)=5,设2x+y=t, ∵x>0,y>0,∴2x+y≥2,当且仅当2x=y时取等号,即t≥2, ∴≥,∴5≥t,即t2-10t+16≤0,即(t-2)·(t-8)≤0,∴2≤t≤8,∴tmax=8,即2x+y的最大值为8.故选B. 23.答案　{xy|xy≥3+2} 解题思路　(x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1≥2,又因为x>0,y>0, 所以xy-(x+y)+1≤xy-2+1, 所以xy-2+1≥2,即-2-1≥0,易知>0,故≥+1,即xy≥3+2, 当且仅当x=y=+1时等号成立,故xy的取值范围为{xy|xy≥3+2}. 24.答案　4 解题思路　因为a>0,b>0,所以a+b++≥2+2=2+2=4, 当且仅当a=1,b=1时等号成立,所以a+b++的最小值为4. 易错警示　多次使用基本不等式求最值,需要注意每次使用基本不等式时等号成立的条件,验证等号能否同时成立. 25.答案　4 解题思路　易知2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时取等号,又a>0,b>0, 所以m≥=a+b+≥2=4,当且仅当a=b=1时取等号. 所以m的最小值为4. 26.答案　4 解题思路　∵a>b>0,∴a-b>0,∴(a-b)b≤=,∴2a2+≥2a2+≥4, 当且仅当即时等号成立, 所以2a2+的最小值是4. 27.解题思路　证明:(1)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, ∴++=++=3++++++=3+++≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=时取等号. (2)∵x>0,y>0,z>0, ∴+≥>0,+≥>0,+≥>0, ∴≥=8, 当且仅当x=y=z时等号成立. 28.解题思路　证明:因为a>b>0,所以a-b>0,又ab=2, 所以==a-b+=a-b+≥2=4, 当且仅当a=+1,b=-1时取等号,所以≥4. 29.解题思路　证明:+=4+a2+b2++=4+a2+b2++=4+a2+b2+1+++++1=4+a2+b2+2+2++≥4++2+4+2=,当且仅当a=b=时等号成立, 所以+≥. 解后反思　利用基本不等式证明不等式的一般思路:观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之转化为能使用基本不等式的形式;若题目中还有其他条件,则观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题时要时刻注意等号能否取到. 学科网（北京）股份有限公司 $