3.4 函数的应用(一)(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

3.4　函数的应用(一) A组　教材夯基础 限时15分钟 1.某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y=xα(α为常数),其中x不超过5万元.已知去年广告投入为3万元时,药品利润为27万元,若今年广告投入为5万元,预计今年药品利润为　 　　　万元.  2.(判对错) (1)在用函数模型解决实际问题时,得到的数学问题的解就是实际问题的解.(　　) (2)一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系可以用一次函数模型来刻画.(　　) (3)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值(非零),则y是x的一次函数.(　　) (4)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.(　　) (5)随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)满足正比例函数关系.当x=36时,y=108,则y与x的函数关系式为y=3x(x∈R).(　　) 3.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,判断下列说法的对错. (1)甲比乙先出发.(　　) (2)乙比甲跑的路程多.(　　) (3)甲、乙两人的速度相同.(　　) (4)甲先到达终点.(　　) 4.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是　　　　m2.  5.为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份缴纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为　　　　千瓦时.  6.在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x(x∈N*)台的收入函数为R(x)=3 000x+ax2(单位:元),其成本函数为C(x)=kx+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差.当生产10台报警系统装置时,成本为9 000元,利润为19 000元. (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x); (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值? B组　单一知识点 限时20分钟 知识点1　一次函数模型的应用 7.某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两个方案进行污水处理,并准备实施. 方案一:工厂污水先净化后再排出,每处理1立方米污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元; 方案二:工厂污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元排污费. (1)若工厂每月生产3 000件产品,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪个处理污水的方案?请通过计算加以说明; (2)若工厂每月生产6 000件产品时,你作为厂长又该如何决策呢? 知识点2　二次函数与幂函数模型的应用 8.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A. B. C. D.-1 9.山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式; (2)李经理如果想获得利润22 500元,需将这批香菇存放多少天后出售? (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少? 知识点3　分段函数模型的应用 10.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中x代表拟录用人数,y代表面试人数.若面试人数为60,则该公司拟录用人数为(　　) A.15 B.40 C.25 D.130 11.已知甲、乙两个城市相距120千米,小王开汽车以100千米/时的速率匀速从甲城市驶往乙城市,到达乙城市后停留1小时,再以80千米/时的速率匀速返回甲城市.汽车从甲城市出发时,时间x(单位:小时)记为0,在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内,该汽车离甲城市的距离y(单位:千米)关于时间x(单位:小时)的函数为(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= C组　综合知识点 限时25分钟 12.(多选)“双11”购物节中,某电商对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额满一定额度可以给予优惠: (1)如果购物总额不超过50元,则不给予优惠; (2)如果购物总额超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优惠券; (3)如果购物总额超过100元但不超过300元,则按标价给予9折优惠; (4)如果购物总额超过300元,其中300元及以内的部分按第(3)条给予优惠,超过300元的部分给予8折优惠. 某人购买了部分商品,则下列说法正确的是(　　) A.若购物总额为78元,则应付款73元 B.若应一次性全部付款234元,则购物总额为260元 C.若购物总额为368元,则应一次性全部付款294.4元 D.若购物时一次性全部付款442.8元,则购物总额为516元 13.某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间,据市场分析这个车间产出的总利润y(单位:千万元)与运行年数x(x∈N*)满足二次函数关系,其函数图象如图所示,若想使该车间产出的年平均利润最大,则这个车间运行的年数为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 14.某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元? (2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1 000个,利润又是多少元? (工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本) 15.A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x km处的D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市不得少于10 km,已知每个城市的供电费用(万元)与供电距离的平方和供电量(亿度)之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月. (1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数,并求定义域; (2)核电站建在距A城多远时,才能使月供电总费用最小? 16.某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时,C(x)=x2+40x,当年产量不小于80台时,C(x)=101x+-2 180,若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式; (2)当年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?并求出这个最大利润. 3.4　函数的应用(一) 1.125 2.(1)✕　(2)√　(3)√　(4)✕　(5)✕(提示:定义域是否符合实际意义) 3.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)√ 4.9　 5.580　 6.解题思路　(1)当x=10时,C(x)=10k+4 000=9 000, ∴k=500,∴C(x)=500x+4 000(x∈[1,100],x∈N*), 当x=10时,R(x)=30 000+100a=9 000+19 000, ∴a=-20,∴R(x)=3 000x-20x2(x∈[1,100],x∈N*), ∴P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)=-20x2+2 500x-4 000(x∈[1,100],且x∈N*), MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-40x(x∈[1,100]且x∈N*). (2)P(x)=-20+74 125,x∈N*, ∴当x=62或x=63时, P(x)取得最大值,为74 120. ∵MP(x)=2 480-40x是减函数, ∴当x=1时,MP(x)取得最大值,为2 440. 因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值. 7.解题思路　设工厂生产x件产品时,依方案一的利润为y1元,依方案二的利润为y2元, 则y1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x. (1)当x=3 000时,y1=42 000,y2=54 000.由于y1<y2,故应选择方案二处理污水. (2)当x=6 000时,y1=114 000,y2=108 000.由于y1>y2,故应选择方案一处理污水. 8.D　设这两年生产总值的年平均增长率为x, 由题意得(1+p)(1+q)=(1+x)2, 解得x=-1.故选D. 9.解题思路　(1)y与x之间的函数关系式为y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x2+940x+20 000(1≤x≤110,且x为整数). (2)由题意,令-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500, 解得x1=50,x2=150(不符合题意,舍去), 故需将这批香菇存放50天后出售. (3)设利润为w元,由题意得w=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=-3(x-100)2+30 000(1≤x≤110,且x为整数), 因为-3<0,所以抛物线开口向下, 所以x=100时,wmax=30 000, 所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润,最大利润是30 000元. 10.C　令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意; 若2x+10=60,则x=25,满足题意; 若1.5x=60,则x=40<100,不合题意. 故该公司拟录用人数为25.故选C. 11.D　当0≤x≤=1.2时,y=100x; 当1.2<x≤2.2时,y=120; 当2.2<x≤2.2+=3.7时,y=120-80(x-2.2)=296-80x. 综上,y=故选D. 12.ABD　对A,若购物总额为78元,满足超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优惠券,则应一次性全部付款73元,故A正确; 对B,300×0.9=270,234<270,所以购物总额超过100元,但不超过300元,设购物总额为x元,则0.9x=234,解得x=260,故B正确; 对C,购物总额为368元,超过300元,所以应一次性全部付款300×0.9+68×0.8=324.4元,故C错误; 对D,购物时一次性全部付款442.8元,442.8>270,说明购物总额超过300元,设购物总额为x元, 则300×0.9+(x-300)×0.8=442.8,解得x=516,故D正确. 故选ABD. 13.B　由题图易知,函数图象的顶点坐标为(10,64),设该二次函数的解析式为y=a(x-10)2+64, ∵二次函数的图象过点(2,0),∴64a+64=0,解得a=-1, 故二次函数的解析式为y=-x2+20x-36, ∴=-x-+20≤-2+20=8, 当且仅当x=(x∈N*),即x=6时,等号成立, 故若想使该车间产出的年平均利润最大,则这个车间运行的年数为6.故选B. 14.解题思路　(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x0个,则x0=100+=550.因此,当一次订购量为550个时,零件的实际出厂单价恰好降为51元. (2)当0<x≤100时,P=60;当100<x≤550时,P=60-0.02(x-100)=62-;当x>550时,P=51. ∴P=f(x)=(x∈N). (3)设销售商一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则L=(P-40)x=(x∈N).当x=500时,L=6 000;当x=1 000时,L=11 000.因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6 000元;如果订购1 000个,利润是11 000元. 15.解题思路　(1)由题意设A城的月供电费用为y1万元,则y1=0.25×20x2=5x2(10≤x≤90). 设B城的月供电费用为y2万元,则y2=0.25×10×(100-x)2=(100-x)2(10≤x≤90), ∴A、B两城月供电总费用y=y1+y2=5x2+(100-x)2=x2-500x+25 000(10≤x≤90). (2)y=x2-500x+25 000=+(10≤x≤90), 则当x=时,y最小.故当核电站建在距A城 km时,才能使月供电总费用最小. 16.解题思路　(1)当0<x<80, x∈N*时,y=100x--500=-x2+60x-500; 当x≥80, x∈N*时,y=100x--500=1 680-, 故y=(x∈N*). (2)由(1)可知当0<x<80, x∈N*时,y=-(x-60)2+1 300, 当x=60时,y取得最大值,为1 300,当x≥80, x∈N*时,y=1 680-≤1 680-2=1 500, 当且仅当x=,即x=90时,y取得最大值,为1 500. 1 500>1 300,故当年产量为90台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大,最大利润为1 500万元. 学科网（北京）股份有限公司 $