3.2.2 奇偶性(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

3.2.2　奇偶性 A组　教材夯基础 限时10分钟 1.生活因对称而美丽,观看下图中的剪纸工艺品图片,感受剪纸艺术中的对称美.下面的图形一定会给你美的感受吧. 这种对称美在我们学习的函数中,也有所体现.数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性,如二次函数y=x2的图象关于　 　 　对称,反比例函数y=的图象关于　 　 　对称.  2.(填一填,记一记) (1)偶函数、奇函数的定义 偶函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且　　　,那么函数f(x)就叫做偶函数.  奇函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且　　　,那么函数f(x)就叫做奇函数.  (2)偶函数、奇函数的图象特征 偶函数的图象是以　　　　为对称轴的轴对称图形;奇函数的图象是以　　　　为对称中心的中心对称图形.  3.(判对错) (1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(　　) (2)不存在既是奇函数又是偶函数的函数.(　　) (3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.(　　) (4)对于偶函数f(x),恒有f(x)=f(|x|).(　　) (5)若奇函数f(x)在(0,+∞)上有最小值a,则f(x)在(-∞,0)上有最大值-a.(　　) (6)函数f(x)=x2+|x|的图象关于原点对称.(　　) 4.(多选)下列函数是偶函数的是(　　) A.y=x(x∈[0,1]) B.y=3x2 C.y= D.y=x|x| 5.函数f(x)=-x的图象关于(　　) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 6.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. (1)请补充完整函数y=f(x)的图象; (2)由图象可知,函数y=f(x)的增区间为　　　　　　　　　;  (3)由图象可知,使f(x)<0的x的取值集合为　　　　　　　　.  7.若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则f(x)的解析式为f(x)=　　　　　.  B组　单一知识点 限时35分钟 知识点1　奇偶性的定义及判断 8.(多选)下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x)=|x|3 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 9.若函数f(x)的定义域为R,则下列函数必为奇函数的是(　　) A.y=f(x)+f(-x) B.y=f(|x|) C.y=f(x)-f(-x) D.y=f(x4) 变式9-1　设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　) A. f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C. f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 10.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=+; (3)f(x)=; (4)f(x)= 知识点2　奇、偶函数的图象特征 11. (1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值; (2)如图②,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小. ① ② 12.已知定义在R上的奇函数f(x),当x<0时, f(x)=x2+2x+1. (1)请画出函数f(x)的图象; (2)写出函数f(x)的单调区间. 知识点3　函数奇偶性的应用 13.设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 14.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则(　　) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 变式14-1　(改变函数奇偶性)定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2),有 <0,则(　　) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 15.若函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=x3-2,则f(-1)=(　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 16.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f =0,则不等式f(x-2)>0的解集是　　　　.  17.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且f(x)在[1,+∞)上单调递减, 则当x=　　　　时, f(x)取得最大值;若不等式f(0)<f(m)成立,则m的取值范围是　　　　.  18.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　.  C组　综合知识点 限时25分钟 19.若函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=-2,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 20.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.y=f(x-1)-2 B.y=f(x-1)+2 C.y=f(x+1)-2 D.y=f(x+1)+2 21.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 22.(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,则下列关于f(x)的结论中正确的有(　　) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f(x)在[0,1]上单调递增 C.f(x)在[1,2]上单调递减 D.f(2)=f(0) 23.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2+x+5,则(　　) A.f(0)=0 B.函数g(x)=xf(x)为奇函数 C.f(-1)=-7 D.当x<0时, f(x)=-x2+x-5 24.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)是偶函数,且函数y=f(x)的图象与函数y=的图象共有n个交点:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则x1+x2+…+xn=(　　) A.0 B.n C.2n D.4n 25.已知奇函数y=f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为　　　　.  26.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)在(-1,1)上是减函数,则不等式f(1-x)+f(1-2x)<0的解集是　　 　　　.  27.已知函数f(x)=ax2+bx+c,满足不等式f(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(t,+∞),且f(x-1)为偶函数,则实数t=　　　　.  28.函数f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f =. (1)求实数a,b,并确定函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上单调递增. D组　高考怎么考 限时5分钟 29.(全国新高考Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R, f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则(　　) A.f=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 30.(全国新高考Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 31.(天津高考)函数y=的图象大致为　(　　) 3.2.2　奇偶性 1.y轴　原点 2.(1)f(-x)=f(x)　f(-x)=-f(x)　(2)y轴　坐标原点 3.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)√　(5)√　(6)✕ 4.BC　5.C 6.(1)补充完整的函数图象如图: (2)(-1,0),(1,+∞)　(3)(-2,0)∪(0,2) 7.答案　 解题思路　当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以f(x)=-x2-2x-3,即当x<0时,f(x)=-x2-2x-3. 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0. 故f(x)= 8.BC　对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=|-x|3=|x|3=f(x),则f(x)为偶函数;对于B, f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),则f(x)为奇函数;对于C,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, f(-x)=-x-=-=-f(x),则f(x)为奇函数;对于D,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)==,则f(x)为偶函数.故选BC. 9.C　令g(x)=f(x)+f(-x),则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,∴y=f(x)+f(-x)是偶函数,故A错误; 令g(x)=f(|x|),则g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,∴y=f(|x|)是偶函数,故B错误; 令g(x)=f(x)-f(-x),则g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,∴y=f(x)-f(-x)是奇函数,故C正确; 令g(x)=f(x4),则g(-x)=f((-x)4)=f(x4)=g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,∴y=f(x4)是偶函数,故D错误. 故选C. 变式9-1　C　解法一:由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),又f(x)·g(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)·g(x)是奇函数,故A项错误; 对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),又|f(x)|g(x)的定义域关于原点对称,所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误; 对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,又f(x)·|g(x)|的定义域关于原点对称,所以f(x)·|g(x)|是奇函数,故C项正确; 对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,又|f(x)g(x)|的定义域关于原点对称,所以|f(x)·g(x)|是偶函数,故D项错误,故选C. 解法二:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以|f(x)|为偶函数,|g(x)|是偶函数.根据两个奇函数的乘积是偶函数,两个偶函数的乘积还是偶函数,一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数,可知C是正确的. 10.解题思路　(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数. (2)由得x2=1,即x=±1.因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 易知f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 当x>0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0.故该函数为奇函数. 11.解题思路　(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于原点的对称点为P'(x,-f(-x)),图(1)为题图①补充后的图象,易知f(3)=-2. 图(1) 图(2) (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于y轴的对称点为P'(x,f(-x)),图(2)为题图②补充后的图象,易知f(1)>f(3). 12.解题思路　(1)f(x)的图象如图所示: (2)根据(1)中的函数图象可得,单调递增区间是(-1,0),(0,1),单调递减区间是(-∞,-1),(1,+∞). 方法总结　巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象. 13.A　由偶函数与单调性的关系知,若x∈[0,+∞),f(x)单调递增,则x∈(-∞,0]时,f(x)单调递减,故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小,其函数值越小,∵|-2|<|-3|<|π|,∴f(π)>f(-3)>f(-2). 解后反思　利用函数奇偶性与单调性解不等式的两种类型 (1)利用图象解不等式. (2)转化为简单不等式求解. ①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式; ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,去掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解. 提醒:列不等式(组)时不要忘掉函数定义域. 14.A　由题易得f(x)在[0,+∞)上单调递减, 所以f(3)<f(2)<f(1), 又f(x)为R上的偶函数, 所以f(3)<f(2)=f(-2)<f(1). 故选A. 名师点睛　利用函数性质比较两个函数值的大小的关键是看自变量是否在同一单调区间上.若在同一单调区间上,则直接利用函数的单调性比较大小.若不在同一单调区间上,则需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 方法总结　奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,即如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增,如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增. 变式14-1　D　由题易得f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减, 所以f(3)<f(1)<f(-2). 故选D. 15.B　因为函数f(x)为R上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 又当x>0时, f(x)=x3-2,所以f(-1)=-f(1)=-(13-2)=1.故选B. 16.答案　 解题思路　∵偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,f =0,∴不等式f(x-2)>0等价为f(|x-2|)>f ,即|x-2|>, 即x-2>或x-2<-,即x>或x<,∴不等式f(x-2)>0的解集是xx>或x<. 17.答案　1;(0,2) 解题思路　由f(1-x)=f(1+x)知, f(x)的图象关于直线x=1对称, 又f(x)在[1,+∞)上单调递减, 所以f(x)在(-∞,1]上单调递增, 所以当x=1时, f(x)取得最大值. 由f(x)图象的对称性可知f(0)=f(2),所以由f(0)<f(m),得0<m<2,即m的取值范围为(0,2). 知识归纳　1.函数图象关于直线对称 y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图象 的对称轴 f(a+x)=f(a-x) 直线x=a f(x)=f(a-x) 直线x= f(a+x)=f(b-x) 直线x= 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域内 恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) 点(a,0) f(x)=-f(a-x) 点(,0) f(a+x)=-f(b-x) 点() f(a+x)+f(b-x)=c 点() 18.答案　;0 审题指导　结合定义域关于原点对称,对定义域内的任一个x值,利用f(-x)=f(x)恒成立来确定参数的值. 解题思路　因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=.所以f(x)=x2+bx+1+b.根据偶函数的定义知f(-x)=f(x),即(-x)2+b(-x)+1+b=x2+bx+1+b.所以2bx=0.由x的任意性知b=0. 方法总结　利用函数奇偶性求参数值的方法 (1)若具有奇偶性的函数的定义域含有参数,则需根据定义域关于坐标原点对称列式求解. (2)解析式含有参数,需根据f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x)列式,比较各项的系数求解. (3)对于多项式函数,在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项,则函数为奇函数;若解析式中仅含有x的偶次项,则函数为偶函数. 19.D　因为f(2-x)+f(x)=-2,所以f(x)的图象关于点(1,-1)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1的图象的对称中心为点(0,0),故y=f(x+1)+1为奇函数. 20.B　易知f(x)=的定义域为{x|x≠-1},∴f(x-1)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, y=f(x-1)===-2, 对于A,令g(x)=f(x-1)-2=-4,则g(-x)=--4,∴g(x)+g(-x)≠0,∴g(x)不是奇函数, 对于B,令h(x)=f(x-1)+2=,则h(-x)=-, ∴h(x)+h(-x)=0,∴h(x)为奇函数, ∵f(x)=的定义域为{x|x≠-1},∴f(x+1)的定义域为{x|x≠-2},定义域不关于原点对称,∴C、D中的函数均不为奇函数,故选B. 21.C　由题图可知,函数f(x)为奇函数,且定义域不是R. 对于A,易知该函数的定义域为{x|x≠±1},且该函数为奇函数, 又因为f(2)==-8<0,所以A错误; 对于B, f(x)=的定义域为R,故B错误; 对于D, f(-x)===f(x),易知f(x)的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,所以该函数为偶函数,故D错误.故排除A、B、D,故选C. 22.AD　若f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即f(x+2)=f(x),则有f(2)=f(0),故D正确; 由f(x+2)=f(x),且函数f(x)为偶函数,得f(x+2)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确; f(x)在[-1,0]上单调递增,且函数f(x)为偶函数,则函数f(x)在[0,1]上单调递减,故B错误; f(x)在[-1,0]上单调递增,且f(x+2)=f(x),则函数f(x)在[1,2]上单调递增,故C错误.故选AD. 23.ACD　对于A, f(x)是定义在R上的奇函数,故f(0)=0,A正确. 对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,所以g(x)为偶函数,B错误. 对于C, f(-1)=-f(1)=-7,C正确. 对于D,当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-x2+x-5,D正确. 故选ACD. 24.C　因为函数f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称, 函数y=的图象由偶函数y=的图象向右平移2个单位得到, 故函数y=的图象也关于直线x=2对称, 所以函数y=f(x)与函数y=的图象的交点一定为偶数个,且交点成对关于直线x=2对称, 则=2,=2,……, 所以x1+x2+…+xn=×4=2n,故选C. 25.答案　(-2,0)∪(2,5) 解题思路　因为函数y=f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示(实线部分).由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 26.答案　 解题思路　∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数, ∴由f(1-x)+f(1-2x)<0,得f(1-x)<f(2x-1). 又∵f(x)在(-1,1)上是减函数, ∴解得0<x<, ∴原不等式的解集是. 27.答案　0 解题思路　易得a<0, f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+(b-2a)x+a-b+c, 又f(x-1)为偶函数,∴b-2a=0,∴b=2a, 易知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为t,-2,则根据根与系数的关系可得t-2=-=-2,解得t=0. 28.解题思路　(1)若函数f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的奇函数, 则f(-x)==-f(x)=-, 解得b=0,又∵f=. ∴=,解得a=1,故f(x)=. (2)证明:任取m,n∈(-1,1),且m<n, 则f(m)-f(n)=-=, 易知m2+1>0,n2+1>0,m-n<0,1-mn>0, ∴f(m)-f(n)<0,即f(m)<f(n), ∴f(x)在(-1,1)上单调递增. 29.B　∵函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数, ∴f(2×0+1)=0,即f(1)=0,且f(-2x+1)=-f(2x+1). 设-2x+1=t,则2x=1-t,∴f(t)=-f(2-t).① ∵f(x+2)为偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2).② 结合①②,得f(t)=-f(2-t)=-f(t+2), ∴f(-1)=-f(1)=0.故选B. 30.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0), f(x-1)的大致图象如图: 当-1≤x≤0时, f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0. 综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D. 名师点睛　本题考查利用函数奇偶性与单调性解含抽象函数的不等式,考查分类讨论思想方法.首先根据函数的奇偶性与单调性,得到函数f(x)在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于或等于零,分类转化为含对应自变量的不等式,最后求并集得结果. 31.A　设y=f(x)=,易知f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)==-f(x), ∴函数f(x)=是奇函数,∴y=f(x)的图象关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,故选A. 名师点睛　函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域入手,判断图象的左右位置. (2)从函数的值域入手,判断图象的上下位置. (3)从函数的单调性入手,判断图象的变化趋势. (4)从函数的奇偶性入手,判断图象的对称性. (5)从函数图象的特征点入手,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 学科网（北京）股份有限公司 $