3.2.1 单调性与最大(小)值课时2函数的最大(小)值(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

3.2.1　单调性与最大(小)值 课时2　函数的最大(小)值 A组　教材夯基础 限时10分钟 1.“弯弓射雕”几乎成了游牧民族的象征,当以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时, t秒时弓箭距离地面的高度为x米,x与t的关系为x=at-5t2,若射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米,则a的值为　　 　　,弓箭可能到达的最大高度为　　　　.  2.(填一填,记一记) (1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ∀x∈I,都有f(x)　　　　M;∃x0∈I,使得　　　　　.那么我们称M是函数y=f(x)的最大值.  (2)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ∀x∈I,都有f(x)　　　　M;∃x0∈I,使得　　　　.那么我们称M是函数y=f(x)的最小值.  (3)若y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则ymax=　　　　,ymin=　　　　;  若y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则ymax=　　　　,ymin=　　　　.  3.(判对错) (1)任何函数都有最大值或最小值.(　　) (2)函数f(x)在区间[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).(　　) (3)如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的.(　　) (4)如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,那么函数的最大值为f(b).(　　) (5)对于函数y=f(x),如果它的函数值都不小于3,那么该函数的最小值是3.(　　) 4.某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点,水平向右的方向为x轴的正方向、竖直向上的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,如图,那么水流喷出的高度h(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系式为h(x)=-x2+2x+,x∈,则水流喷出的高度h的最大值是　　　　m.  5.函数y=在[2,3]上的最大值为　　　　.  6.函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,4]上的最大值是　　　　,最小值是　　　　.  7.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],若函数f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,6]上单调递增,且f(-4)<f(6),求函数f(x)的最小值和最大值. B组　单一知识点 限时25分钟 知识点1　利用图象求函数最值 8.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是(　　) A.-1,3 B.0,2 C.-1,2 D.3,2 9.函数f(x)=的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  10.已知函数f(x)=x-8,g(x)=3x-x2,x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},则函数m(x)的最大值为　　　　.  知识点2　利用单调性求函数的最值 11.函数f(x)=|x-3|+|x+1|的最小值和最大值分别是(　　) A.0和4 B.无最小值,最大值为4 C.-4和4 D.最小值为4,无最大值 12.函数f(x)=-的最大值为　　　　.  知识点3　函数的最值的应用 角度1　二次函数的最值问题 13.(多选)若函数f(x)=x2-4x+1在定义域A上的值域为[-3,1],则区间A可能为(　　) A.[0,4] B.[2,4] C.[1,4] D.[-3,5] 14.y=x++3的最大值是(　　) A. B.2 C. D.4 15.已知二次函数f(x)=ax2+x+1,且f(x)-f(x-1)=4x-1. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)-mx在[1,2]上的最大值为-1,求m的值以及g(x)的最小值. 角度2　恒成立问题 16.若∀x∈,都有不等式-x+a+1≥0成立,则a的最小值为(　　) A.0 B.-2 C.- D.- 17.已知函数f(x)=2-x,对于任意的x∈[-2,2],f(x)≤m恒成立,则实数m的最小值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 角度3　函数最值的实际应用 18.已知某产品的总成本C(单位:元)与年产量Q(单位:件)之间的关系为C=Q2+3 000.设该产品年产量为Q(单位:件)时的平均成本为f(Q)(单位:元/件),则f(Q)的最小值是(　　) A.30 B.60 C.900 D.180 19.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述,则该天适宜开展户外活动的时长为(　　) A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时 C组　综合知识点 限时25分钟 20.设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为a和b,则a2+b2=(　　) A.50 B.52 C.36 D.80 21.函数f(x)=在上的最大值是　(　　) A. B. C.2 D.4 22.已知函数f(x)=若f(x)的值域为[2,6],则实数c的取值范围是(　　) A. B. C.[-1,0) D. 23.已知函数f(x)=的最小值为f(1),则a的取值范围是(　　) A.[1,3] B.[3,+∞) C.(0,3] D.(-∞,1]∪[3,+∞) 24.若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为,则实数m=　(　　) A.3 B. C.2 D.或3 25.若关于x的不等式x2+ax-2<0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(-∞,1) D.(-∞,1] 26.已知函数f(x)=x2+ax+3,若∀x∈[1,2],恒有f(x)≥0,则实数a的取值范围为(　　) A.[-2,+∞) B.[-2,+∞) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 27.(多选)符号[x]表示不超过x的最大整数,如[-3.5]= -4,[2.1]=2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论正确的是(　　) A.f<f B.函数f(x)是增函数 C.方程f(x)-=0有无数个实数根 D.f(x)的最大值为1,最小值为0 28.已知函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=mx+3-2m(m>0),若对任意x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　. 课时2　函数的最大(小)值 1.60　180米 2.(1)≤　f(x0)=M　(2)≥　f(x0)=M　(3)f(b)　f(a)　f(a)　f(b) 3.(1)✕　(2)✕　(3)√　(4)√　(5)✕ 4.　 5.1 6.5　-4 7.解题思路　因为f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,6]上单调递增,所以f(x)的最小值是f(-2),当x∈[-4,-2]时,f(x)的最大值是f(-4),当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值是f(6),又f(-4)<f(6),所以f(x)的最大值是f(6). 8.C　对于f(x),x∈[-2,2],由题图可知当x=-2时,f(x)取最小值,为-1;当x=1时,f(x)取最大值,为2.故选C. 9.答案　1;0 解题思路　易知当x>1,y=>0.作出函数f(x)的图象(如图).由图可知,当x=±1时,f(x)取最大值,为1;当x=0时,f(x)取最小值,为0,故f(x)的最大值为1,最小值为0. 10.答案　-4 解题思路　作出函数f(x),g(x)的图象,如图,由图可知函数f(x)=x-8与g(x)=3x-x2图象的交点坐标为(4,-4),(-2,-10), 所以m(x)=min{f(x),g(x)}= 所以m(x)max=m(4)=-4. 11.D　f(x)=|x-3|+|x+1|= 由此可得,当x<-1时,f(x)单调递减,当x>3时,f(x)单调递增, 所以f(x)的最小值为4,无最大值.故选D. 12.答案　1 解题思路　易知函数f(x)的定义域为{x|3≤x≤4}, y=和y=-在[3,4]上都单调递减, ∴f(x)在定义域上单调递减, ∴f(x)max=f(3)=1. 13.ABC　∵函数f(x)=x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线x=2,∴函数f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.当x∈[0,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(0)=f(4)=1,则函数的值域为[-3,1];当x∈[2,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(4)=1,则函数的值域为[-3,1];当x∈[1,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(4)=1,则函数的值域为[-3,1];当x∈[-3,5]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(-3)=22,则函数的值域为[-3,22].根据以上讨论可知选ABC. 14.A　由已知可得1-x≥0,解得x≤1,故函数y=x++3的定义域为(-∞,1], 令t=,则t≥0,且x=1-t2, 则y=1-t2+t+3=-t2+t+4=-+≤, 当且仅当t=,即x=1-=时取等号, 故函数y=x++3的最大值为.故选A. 15.解题思路　(1)由f(x)-f(x-1)=4x-1,得ax2+x+1-a(x-1)2-(x-1)-1=4x-1, 所以2ax-a+1=4x-1,所以a=2, 故f(x)=2x2+x+1. (2)g(x)=2x2+x+1-mx=2x2+(1-m)x+1, ①当≤,即m≤7时,g(x)max=g(2)=11-2m=-1,解得m=6, 此时g(x)图象的对称轴为直线x==,g(x)min=g=-; ②当>,即m>7时,g(x)max=g(1)=4-m=-1,解得m=5,不合题意,应舍去. 综上所述,m=6,g(x)的最小值为-. 16.D　设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0对任意x∈都成立,可得f(x)min≥0.易知f(x)在上单调递减,所以当x∈时, f(x)min=a+,所以a+≥0,即a≥-,所以amin=-.故选D. 方法总结　恒成立问题的求解方法 在解决不等式恒成立问题时,最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理,在分离参数后常使用以下结论: a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max, a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. 17.D　令=t,则x=t2-2,当x∈[-2,2]时,t∈[0,2], 故2-x=2t-t2+2,易知y=-t2+2t+2(t∈[0,2])的值域为[2,3], 又对于任意的x∈[-2,2],f(x)≤m恒成立, 所以m≥3,即实数m的最小值是3.故选D. 18.B　由题意得f(Q)==+≥2=60. 当且仅当=,即Q=100时,等号成立. ∴f(Q)的最小值是60.故选B. 19.C　由题意得或 解得9≤t≤12或12<t≤16, 故适宜开展户外活动的时长为3+4=7(小时).故选C. 20.B　易知f(x)==2+.所以函数f(x)在[3,4]上单调递减.所以a=f(3)=2+=6,b=f(4)=2+=4,所以a2+b2=36+16=52. 21.C　当1≤x≤4时,f(x)==-=-+, 由1≤x≤4,得≤≤1,所以当=时,f(x)取得最大值,为; 当≤x<1时,f(x)==-=-, 由≤x<1,得1<≤2, 所以当=2时,f(x)取得最大值,为f =-=2. 综上, f(x)在上的最大值为2,故选C. 22.A　对于函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2,当x=3时,y=6,当x=1时,y=2. -≠0,即有-+2≠2,由题易知c≤1,且c2-2c+3≤6,解得-1≤c≤1. 当0≤c≤1时,函数f(x)在(-∞,0)上的取值集合为(2,+∞),不符合题意, 当-1≤c<0时,函数y=-+2在(-∞,c)上单调递增,则2<-+2<-+2,所以解得-1≤c≤-.所以实数c的取值范围是.故选A. 23.A　当x>1时,f(x)=x+-3a≥2-3a=6-3a,当且仅当x=3时取等号,故此时f(x)的最小值为f(3).当x≤1时,f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2, 当a≥1时,f(x)在(-∞,1]上单调递减,此时最小值为f(1)=3-2a.要使f(x)的最小值为f(1),则f(1)≤f(3)⇒3-2a≤6-3a,故1≤a≤3. 当a<1时,f(x)在(-∞,a]上单调递减,在[a,1]上单调递增,此时最小值为f(a),不满足f(x)的最小值为f(1).综上,a的取值范围是[1,3].故选A. 24.B　函数f(x)==2+,x∈[0,1], 当m=2时,f(x)=2,不符合题意; 当m-2>0,即m>2时,f(x)在[0,1]上单调递减,故f(x)的最大值为f(0),则f(0)==,解得m=,符合题意; 当m-2<0,即m<2时,f(x)在[0,1]上单调递增,故f(x)的最大值为f(1),则f(1)==,解得m=3,不符合题意. 综上,m=.故选B. 25.C　由于x∈[1,5],故不等式x2+ax-2<0可化为a<-x, 设f(x)=-x,易知f(x)在区间[1,5]上单调递减, 所以f(x)在区间[1,5]上有最大值,为f(1)=2-1=1, 所以实数a的取值范围是(-∞,1).故选C. 26.B　若∀x∈[1,2],恒有f(x)≥0,即x2+ax+3≥0对任意x∈[1,2]恒成立, 所以a≥-x-对任意x∈[1,2]恒成立, 易知-x-=-≤-2,当且仅当x=,即x=时取等号,所以a≥-2. 故实数a的取值范围是[-2,+∞). 故选B. 27.AC　作出函数f(x)的部分图象,如图所示, 对于A, f=--=--(-1)=, f=-=-0=, 所以f<f,故A正确. 对于B,由图可知在每一个区间[k,k+1)(k∈Z)上,函数f(x)都单调递增,但是f(x)在定义域上不是增函数,故B错误. 对于C,方程f(x)-=0的解为x=k+(k∈Z),故C正确. 对于D,由图可知函数f(x)无最大值,最小值为0,故D错误.故选AC. 28.答案　[2,+∞) 解题思路　易知函数f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 根据二次函数的性质,可得当x∈[0,4]时, f(x)∈[-1,3],记A=[-1,3]. 对于g(x)=mx+3-2m,当m>0时,g(x)=mx+3-2m在[0,4]上单调递增, 所以g(x)∈[3-2m,3+2m],记B=[3-2m,3+2m]. 因为对任意x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使f(x1)=g(x2)成立,所以A⊆B,则解得m≥2. 所以实数m的取值范围为[2,+∞). 名师点睛　本题主要考查了二次函数的性质,存在性问题的求解,集合包含关系的综合应用,着重考查了转化思想,以及运算与求解能力. 学科网（北京）股份有限公司 $