3.2.1 单调性与最大(小)值 课时1函数的单调性(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 课时1　函数的单调性 A组　教材夯基础 限时15分钟 1.德国著名心理学家艾宾浩斯以自己为实验对象,做了163次记忆实验,他通过对自己的测试,得到了一些数据. 时间间隔t 0分钟 20分钟 60分钟 8~9小时 1天 2天 6天 一个月 记忆量y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线),如图所示.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,对应的函数值(记忆量y)的变化趋势为　　　　;从左向右看,图象是　　　　的(填写“上升”或“下降”).  2.(填一填,记一记) 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I. (1)如果∀x1,x2∈D,当x1　　　x2时,都有f(x1)　 　 f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.  特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是　　 　　.  (2)如果∀x1,x2∈D,当x1　 　x2时,都有f(x1)　 　 f(x2),那么就称函数 f(x)在区间D上单调递减.  特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是　　　 　.  3.(判对错) (1)所有函数在定义域上都具有单调性.(　　) (2)若f(-1)<f(2),则函数f(x)在[-1,2]上单调递增.(　　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增.(　　) (4)y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上也单调递减,因此y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　　) (5)若函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,则函数f(x)的单调递减区间是[1,3].(　　) 4.若函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5.函数y=在(0,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.(-∞,1) 6.判断函数f(x)=的单调性,并给出证明. 7.画出函数y=|x|·(x-2)的图象,并指出函数的单调区间. 8.根据定义证明函数f(x)=x+在(0,1)上单调递减. B组　单一知识点 限时35分钟 知识点1　单调性的判定与证明 9.如果函数f(x)在[a,b]上单调递增,那么对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中不正确的是(　　) A.>0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.若x1<x2,则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.>0 10.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) 11.已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是(　　) A.y=-f(x)在R上是减函数 B.y=在R上是减函数 C.y=[f(x)]2在R上是增函数 D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数 12.证明函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减. 13.设函数f(x)=画出函数f(x)的图象,并指出函数的定义域、值域、单调性. 知识点2　求函数的单调区间 14.当x>0时, f(x)=x+,则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(2,+∞) B.(,+∞) C.(0,) D.(0,2) 15.函数f(x)=的单调递减区间是(　　) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[1,3] D.[-1,1] 16.函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间是　　 　　　　,函数y=x2-4|x|+3的单调递减区间是　　　　　　 　　.  知识点3　函数单调性的应用 17.已知函数f(x)=x2+4x+c,则(　　) A.f(1)<c<f(-2) B.c<f(-2)<f(1) C.c>f(1)>f(-2) D.f(1)>c>f(-2) 18.已知函数f(x)=若f(m)<f(2-m2),则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 19.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,-4]上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.[-1,+∞) B.[-3,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,3] 变式19-1　若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,-4],则a的值为　　　　.  变式19-2　若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[-4,+∞)上单调递增,则a的取值范围为　　　　.  20.已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f(-1),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为(　　) (参考数据:e=2.718 28…) A.c>a>b B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a 21.函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是(　　) A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.[2,3) D.[0,3) 22.已知函数f(x)=若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为　　　　.  23.函数f(x)的定义域为D,给出下列两个条件:①f(1)=0;②任取x1,x2∈D且x1≠x2,都有 >0恒成立.请写出一个同时满足条件①②的函数f(x), f(x)=　 　　　.  C组　综合知识点 限时25分钟 24.定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R(x1≠x2),都有>0,且f(3)=2,则不等式f(x-1)≤2的解集为　(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.(-∞,4] D.[4,+∞) 25.二次函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞,1)上单调递增的一个充分不必要条件为(　　) A.a>1 B.a<-2 C.-<a<0 D.0<a<1 26.已知f(x)=若存在x∈[1-a,a-5],使f(x+a)≥f(5a-x)成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(3,+∞) B. C. D.[5,+∞) 27.已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.[-3,0) D.[-3,-2] 28.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 29.(多选)若函数f(x)满足∀x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时,不等式 >1恒成立,则称f(x)在(1,+∞)上为“平方差增函数”,则下列函数f(x)中,在(1,+∞)上是“平方差增函数”的是(　　) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=x2+x+ C.f(x)=2x2-2x+1 D.f(x)=x2-2x+1 30.（多选)已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5,下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　) A.函数f(x)在R上不具有单调性 B.当a=1时, f(x)在(-∞,0)上单调递减 C.若f(x)的单调递减区间是(-∞,-4],则a的值为-1 D.若f(x)在区间(-∞,3)上单调递减,则a的取值范围是 31.若函数f(x)=x2+a·|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  32.已知函数y=x+有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,该函数在(0,+∞)上的值域为[2 ,+∞). (1)已知函数f(x)=x+,x∈[1,3],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域; (2)已知函数g(x)=,函数h(x)=-x-2a,若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得h(x2)=g(x1)成立,求实数a的值. 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 课时1　函数的单调性 1.逐渐减少　下降 2.(1)<　<　增函数　(2)<　>　减函数 3.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)✕ 4.D　5.D 6.解题思路　画出函数f(x)=的图象(如图). 由图可以看出,函数f(x)=在定义域[0,+∞)上可能是增函数. 任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则x1-x2<0. 所以f(x1)-f(x2)=-=<0, 即f(x1)<f(x2). 由函数单调性的定义可知,函数f(x)=在定义域[0,+∞)上是增函数. 7.解题思路　y=|x|(x-2)=函数的图象如图中实线部分所示. 由函数的图象知函数的单调递增区间为(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间为(0,1). 8.解题思路　证明:任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+-=(x1-x2)+=(x1-x2). ∵0<x1<x2<1,∴x1-x2<0,0<x1x2<1,∴1-<0, ∴(x1-x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)=x+在(0,1)上单调递减. 9.C　因为f(x)在[a,b]上单调递增,所以对任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同,故A,B,D中结论都正确,对于C,若x1<x2,则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b),故C中结论错误. 10.B　对于A,函数分别在(-∞,1)及[1,+∞)上单调递增,但存在x1∈(0,1),使f(x1)>f(1),故A不符合题意;对于C,函数分别在 (-∞,1)及(1,+∞)上单调递增,但存在x1>1,使f(x1)<f(1),故C不符合题意;对于D,函数分别在(-∞,0)及(0,+∞)上单调递减,但存在x1=-1,x2=1,使f(x1)<f(x2),故D不符合题意;只有B符合题意,故选B. 11.A　设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,因为函数f(x)在R上是增函数,所以必有f(x1)<f(x2),所以-f(x1)>-f(x2),A中说法正确;当f(x)=x时,B,C中的说法不正确;当a≤0时,D中的说法不正确.故选A. 12.解题思路　证明:∀x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, f(x1)-f(x2)=-==. 因为2<x1<x2,所以x2-x1>0,>4,>4, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减. 方法总结　利用定义证明函数在某区间内的单调性的步骤 (1)取值并规定大小:在该区间内任取x1,x2,且x1<x2; (2)作差变形:将f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1)通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,转化为易判断正负的关系式; (3)定号:确定f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,进行分类讨论; (4)结论:根据定义确定单调性. 13.解题思路　函数f(x)的图象如图所示, 由图可知,函数f(x)的定义域为[-4,+∞),值域为(-∞,3],在[-2,0]上单调递增,在(-4,-2)和(0,+∞)上单调递减. 14.C　根据对勾函数的单调性,知f(x)在(0,)上单调递减.故选C. 知识总结　对勾函数y=x+(a>0且a为常数)在中学阶段是比较重要的函数,它在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减,函数图象如图所示.函数y=ax+(a>0,b>0) 可变形为y=a,该函数的单调区间可用上述结论求解. 15.C　设y=,t=-x2+2x+3,令t≥0,得-1≤x≤3. 易知y=在[0,+∞)上单调递增,t=-x2+2x+3在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,根据复合函数单调性判断法则可知f(x)的单调递减区间为[1,3].故选C. 易错警示　(1)函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集,故单调区间要在定义域内求解. (2)当函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间之间用“和”或“,”连接,而不能用“∪”连接. (3)在单调区间D上函数要么单调递增,要么单调递减. 16.答案　[-1,1]和[3,+∞);(-∞,-2]和[0,2] 解题思路　y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,作出该函数的图象,如图1. 由图可知,函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞). 　　　 图1 图2 y=x2-4|x|+3=的图象如图2. 由图可知函数y=x2-4|x|+3的单调递减区间是(-∞,-2]和[0,2]. 17.D　因为二次函数f(x)=x2+4x+c图象的对称轴为直线x=-2,且函数f(x)的图象开口向上,所以函数f(x)在[-2,+∞)上单调递增,所以f(-2)<f(0)<f(1),又f(0)=c,所以f(1)>c>f(-2). 18.C　当x≥0时,f(x)=x2+x+1=+单调递增,且f(0)=1;当x<0时,f(x)=2x+1单调递增,且f(x)<1.所以函数f(x)在R上单调递增,由f(m)<f(2-m2),得m<2-m2,解得-2<m<1.故实数m的取值范围为(-2,1).故选C. 19.C　易知f(x)=x2+2(a-1)x+2图象的对称轴为直线x=1-a. 又∵f(x)在区间(-∞,-4]上单调递减,图象开口向上, ∴1-a≥-4,解得a≤5.故a的取值范围是(-∞,5]. 故选C. 变式19-1　5　易知f(x)=x2+2(a-1)x+2图象的对称轴为直线x=1-a. 又∵f(x)的单调递减区间为(-∞,-4], ∴1-a=-4,∴a=5. 变式19-2　[5,+∞)　易知f(x)=x2+2(a-1)x+2图象的对称轴为直线x=1-a. 又∵f(x)在[-4,+∞)上单调递增,∴1-a≤-4, ∴a≥5,即a的取值范围为[5,+∞). 20.B　由题意知f(x)在(1,+∞)上单调递减,又已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以a=f(-1)=f(3)<f(e)=c<f(2)=b, 所以b>c>a.故选B. 名师点睛　利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小,在解决比较函数值大小的问题时,需要自变量在同一个单调区间上,然后利用单调性比较大小. 知识归纳　函数单调性的等价定义 函数的定义域为I,D⊆I,∀x1,x2∈D,且x1≠x2 单调 递增 >0 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 单调 递减 <0 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 21.C　因为函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1, 所以f(2x-4)>-1⇔f(2x-4)>f(2)⇔ 解得2≤x<3.故实数x的取值范围是[2,3).故选C. 归纳总结　利用单调性求自变量的范围 (1)依据:单调递增(减)函数f(x)中函数值与自变量的等价关系为f(a)>f(b)⇔a>b(a<b). (2)方法:依据函数单调性的特点去掉符号“f”,转化为不等式问题求解. (3)易错警示:注意函数的定义域要使函数有意义. 22.答案　[4,8) 解题思路　因为f(x)是R上的增函数,所以解得4≤a<8. 故实数a的取值范围为[4,8). 方法总结　利用分段函数的单调性求参数的取值范围 (1)根据每一段解析式的类型,分别求出符合单调性的参数的范围; (2)对分界点处的函数值进行比较,如果函数单调递增,那么在分界点处及分界点左侧的函数值小于或等于分界点右侧的函数值;如果函数单调递减,那么在分界点左侧的函数值大于或等于分界点处及分界点右侧的函数值,列出不等式(组)求参数. 23.答案　x-1(答案不唯一) 解题思路　因为函数f(x)的定义域为D,任取x1,x2∈D且x1≠x2,都有 >0恒成立, 所以f(x)在定义域内为增函数,又f(1)=0, 所以f(x)=x-1满足条件①②. 24.C　因为对任意的x1,x2∈R(x1≠x2),都有 >0,所以f(x)在R上单调递增, 又因为f(3)=2,所以f(x)≤2的解集为(-∞,3], 所以f(x-1)≤2的解集为(-∞,4].故选C. 25.C　二次函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞,1)上单调递增⇔解得-1≤a<0. 所以-<a<0为二次函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞,1)上单调递增的一个充分不必要条件. 故选C. 26.A　当x≤0时,f(x)=x2-x+3=+,所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递减.当x>0时,f(x)=-x2-x+3=-+,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,易知此时f(x)<3,又因为f(0)=3,所以f(x)在R上单调递减,由f(x+a)≥f(5a-x),得x+a≤5a-x,解得x≤2a,所以若存在x∈[1-a,a-5],则所以a>3.故实数a的取值范围是(3,+∞).故选A. 27.D　由于函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,故函数h(x)=-x2-ax-5在区间(-∞,1]上单调递增,g(x)=在区间(1,+∞)上单调递增,且g(1)≥h(1),即 解得-3≤a≤-2.故实数a的取值范围是[-3,-2]. 28.B　∵f(x)=∴f(x)= 当x+1≤1且2x≤1,即x≤0时,不等式f(x+1)<f(2x)可化为2-x-1<2-2x,又x≤0,∴x≤0, 当x+1≤1且2x>1时,满足条件的x不存在, 当x+1>1且2x>1,即x>时,不等式f(x+1)<f(2x)可化为1<1, 此时满足条件的x不存在, 当x+1>1且2x≤1,即0<x≤时,不等式f(x+1)<f(2x)可化为1<2-2x,又0<x≤,∴0<x<, ∴满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是. 故选B. 29.BC　若函数f(x)满足∀x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时,不等式 >1恒成立, 则 -1=>0, 令g(x)=f(x)-x2,则>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增. 对于A,f(x)=4x-1,则g(x)=f(x)-x2=-x2+4x-1,其图象的对称轴是直线x=2,故g(x)在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故A错误.对于B,f(x)=x2+x+,则g(x)=f(x)-x2=x+,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,故B正确.对于C,f(x)=2x2-2x+1,故g(x)=f(x)-x2=x2-2x+1,其图象的对称轴是直线x=1,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,故C正确.对于D,f(x)=x2-2x+1,则g(x)=f(x)-x2=-2x+1,故g(x)在(1,+∞)上单调递减,故D错误.故选BC. 30.BD　对于A,当a=0时, f(x)=-12x+5在R上单调递减,故A错误; 对于B,当a=1时, f(x)=2x2-8x+5,图象的开口向上,对称轴为直线x=2,则单调递减区间为(-∞,2),故f(x)在(-∞,0)上单调递减,故B正确; 对于C,若f(x)的单调递减区间是(-∞,-4],则-=-4,且a>0,无解,故C错误; 对于D,当a=0时,满足f(x)在区间(-∞,3)上单调递减, 当a≠0时,若f(x)在区间(-∞,3)上单调递减,则a>0且-≥3,解得0<a≤,所以若f(x)在区间(-∞,3)上单调递减,则a的取值范围是,故D正确. 故选BD. 易错警示　辨析“在区间上单调”与“单调区间是” 单调区间是一个整体概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数单调递减的最大范围为区间I,而函数在某一区间上单调递增(减),则指此区间是相应单调递增(减)区间的子区间. 31.答案　[-4,0] 解题思路　∵f(x)=x2+a|x-2|,∴f(x)=又f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴ ∴-4≤a≤0,∴实数a的取值范围是[-4,0]. 32.解题思路　(1)易知函数f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增. f(1)=1+4=5,f(2)=2+2=4,f(3)=3+=,易知f(1)>f(3), 所以函数f(x)的单调递减区间是[1,2],单调递增区间是[2,3],值域为[4,5]. (2)g(x)==2x+1+-8, 设u=2x+1, 因为x∈[0,1],所以1≤u≤3, 结合复合函数单调性可知当1≤u≤2,即0≤x≤时,g(x)单调递减, 当2<u≤3,即<x≤1时,g(x)单调递增, 由g(0)=-3,g=-4,g(1)=-,得g(x)在[0,1]上的值域为[-4,-3]. 易知h(x)=-x-2a为减函数,故当x∈[0,1]时,h(x)∈[-1-2a,-2a]. 根据题意可得,当x∈[0,1]时,g(x)的值域为h(x)值域的子集, 从而有解得a=. 学科网（北京）股份有限公司 $