3.1.2 函数的表示法(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

3.1.2　函数的表示法 A组　教材夯基础 限时10分钟 1.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5 km以内(含5 km),票价2元;(2)5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).如果某条线路的总里程为20 km,请根据题意,写出票价y(单位:元)与里程x(单位:km)之间的函数解析式:　　　　　　　　.  2.(判对错) (1)任何一个函数都可以用解析法表示.(　　) (2)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.(　　) (3)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同.(　　) (4)分段函数由几个函数构成.(　　) (5)分段函数有多个定义域.(　　) (6)函数f(x)=是分段函数.(　　) (7)函数f(x)=|x|可以用分段函数表示.(　　) 3.函数f(x)=的图象是(　　) A B C D 4.给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R.∀x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},用解析法表示函数m(x)=　 .  5.已知f(x)=x2,x∈[-1,0],则满足与函数f(x)值域相同,对应关系相同,但定义域不同的函数g(x)可以为　　　　　　　　.  6.已知函数p=f(m)的图象如图所示. 函数p=f(m)的定义域为　　　　　　　　,函数p=f(m)的值域为　　　　,p的取值为　　　　时,只有唯一的m值与之对应.  7.北京市自2014年5月1日起,居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过180 m3的部分,综合用水单价为5元/m3;超过180 m3但不超过260 m3的部分,综合用水单价为 7元/m3.如果北京市一居民年用水量为x m3,其要缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出f(x)的解析式. B组　单一知识点 限时20分钟 知识点1　函数的表示法及其应用 8.国内某快递公司规定:质量在1 000克以内的包裹快递邮资标准如下表: 运送距离x(km) 0<x≤500 500<x≤1 000 1 000<x≤1 500 1 500<x≤2 000 … 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 … 如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km的某地,他应付的邮资是(　　) A.5.00元 B.6.00元 C.7.00元 D.8.00元 9.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(3))的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 10.函数f(x)=+x的图象是(　　) 11.如图,平面图形中阴影部分的面积S是h(h∈[0,H])的函数,则该函数的图象大致是(　　) A B C D 知识点2　函数解析式的求法 12.已知f=2x2+3,则f=(　　) A.- B.- C.5 D.-5 13.(多选)一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+3,则f(x)的解析式可以是(　　) A.f(x)=2x+1 B.f(x)=1-2x C.f(x)=2x-3 D.f(x)=-2x-3 14.(1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式; (2)已知函数f(x)满足f(x)+2f =x,求f(x)的解析式; (3)设f(x)是R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+y(2x+1),求f(x). 知识点3　分段函数问题 15.已知f(x)=若f(a)=10,则a=(　　) A.-3或3 B.3或5 C.-3或5 D.3 16.已知f(x)=则f(f(-1))=　　　　.  17.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　.  18.已知函数f(x)= (1)求f(-5),f(-),f 的值; (2)若f(a)=3,求实数a的值. 19.已知函数f(x)=x-[x],x∈[-1,2),其中[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-3.05]=-4,[2.1]=2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式; (2)作出函数f(x)的图象; (3)根据图象写出函数f(x)的值域. C组　综合知识点 限时25分钟 20.(多选)已知函数y=f(x)用列表法表示如表,若f(f(x))=x-1,则x可取的值为(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 2 3 4 2 3 A.2 B.3 C.4 D.5 21.设函数f(x)=若f(a)=a,则实数a的值为(　　) A.±1 B.-1 C.-2或-1 D.±1或-2 22.定义两种运算:a⊕b=,a⊗b=,则函数f(x)=的解析式为(　　) A.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2] B.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2] C.f(x)=-,x∈[-2,-1)∪(-1,2] D.f(x)=,x∈[-2,-1)∪(-1,2] 23.设区间A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是(　　) A. B. C. D. 24.已知函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围为　(　　) A. B. C. D. 25.函数f(x)=的定义域为　　　　,值域为　　　　.  26.已知f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),若g(f(x))=x2+x+1,则a=　　　　.  27.已知对任意的x,y∈N*,都有f(x+y)=f(x)f(y).若f(1)=3,则+ +…+ =　　　　.  28.已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　.  29.已知函数f(x)=,g(x)=. (1)求f(2),f(3),f(g(2)),f(g(3)); (2)求f(g(x)),并证明f(x)+f(g(x))是常数. 30.已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令φ(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析法表示φ(x); (2)求函数φ(x)的定义域和值域. 3.1.2　函数的表示法 1.y= 2.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)✕　(6)✕　(7)√ 3.C　 4. 5.g(x)=x2,x∈[-1,1](答案不唯一) 6.[-3,0]∪[1,4]　 [-2,2]　 (0,2] 7.解题思路　若x∈[0,180],则f(x)=5x; 若x∈(180,260],则f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360. 因此f(x)= 8.C　∵1 300∈(1 000,1 500],∴此人应付的邮资是7.00元,故选C. 9.A　由y=g(x)的图象与y=f(x)的对应关系表可知g(3)=2,f(2)=3,所以f(g(3))=f(2)=3. 10.B　易知函数f(x)=+x的定义域为{x|x≠0}, 当x>0时, f(x)=1+x;当x<0时, f(x)=-1+x, 即f(x)=结合一次函数的图象与性质,可得选项B符合.故选B. 方法总结　描点法作函数图象的四个关注点 (1)画函数图象时明确函数的解析式,能化简的先化简. (2)画函数图象时要关注函数的定义域,即在定义域内作图. (3)图象是实线或实心点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. (4)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等. 11.D　由平面图形可知S随着h的增加而减少,并且减少的趋势在减小,当h=时,阴影部分的面积小于整个图形面积的一半,故选D. 12.C　若=,则x=-1,此时2x-1=-3≠0.在f=2x2+3中,令x=-1,可得f=2+3=5.故选C. 13.AD　设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+3, 所以解得或 即f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.故选AD. 14.解题思路　(1)解法一(换元法):令+1=t,则x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 所以f(x)=x2-1(x≥1). 解法二(配凑法):f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1. 又因为+1≥1,所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)在已知等式中,将x换成,得f +2f(x)=,与已知方程联立,得消去f ,得f(x)=-+. (3)在f(x+y)=f(x)+y(2x+1)中,令y=-x,得f(x-x)=f(x)+(-x)·(2x+1).又f(0)=1,所以f(x)=2x2+x+1. 方法总结　函数解析式的求法 求函数解析式,关键是对基本方法的掌握,常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等. (1)配凑法:将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式,并整体将g(x)用x代换,即可求出函数f(x)的解析式.如由f(x+1)=(x+1)2可得f(x)=x2.(如本题(1)解法二) (2)换元法:将函数f(g(x))中的g(x)用t表示,则可求得x关于t的表达式,并将最终结果中的t用x代换,即可求得函数f(x)的解析式.(如本题(1)解法一) (3)待定系数法:将已知类型的函数以确定的形式表达,并利用已知条件求出其中的参数,从而得到函数的解析式.一次函数解析式可设为y=ax+b(a≠0),二次函数解析式可设为y=ax2+bx+c(a≠0). (4)解方程(组)法:采用解方程(组)的方法,消去不需要的式子,得到f(x)的表达式,这种方法也称为消去法.(如本题(2)) (5)赋值法:利用恒等式将特殊值代入,求出特定函数的解析式.这种方法灵活性强,必须针对不同的类型选取不同的特殊值.(如本题(3)) 15.D　由题意,当a≥0时, f(a)=a2+1=10, 解得a=3或a=-3(舍去); 当a<0时, f(a)=2a=10,解得a=5(舍去). 综上,a=3.故选D. 名师点睛　在分段函数的前提下,求某条件下自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后相应求出自变量的值,再代入检验. 16.答案　0 解题思路　∵f(x)=∴f(-1)=-1+2=1,∴f(f(-1))=f(1)=12-1=0. 方法总结　求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该区间对应的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 17.答案　f(x)= 解题思路　由题图可知函数f(x)的图象由两条线段组成,当-1≤x<0时,设f(x)=ax+b,将(-1,0),(0,1)代入解析式,得解得即f(x)=x+1.当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将(1,-1)代入, 得k=-1,即f(x)=-x.综上,f(x)= 名师点睛　已知函数的图象求解析式y=f(x),当自变量x在不同的区间上变化时,若函数f(x)的解析式不同,则应用待定系数法分段求解.写分段函数解析式时要注意各区间端点的值,做到不重也不漏. 18.解题思路　(1)由-5∈(-∞,-2],-∈(-2,2),-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,f(-)=(-)2+2×(-)=3-2, f =-+1=-. 又∵-2<-<2,∴f =f =+2×=-3=-. (2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2,2>-2,不符合题意,舍去; 当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3,又∵1∈(-2,2),-3∉(-2,2),∴a=1符合题意; 当a≥2时,2a-1=3,即a=2,符合题意. 综上,当f(a)=3时,a=1或a=2. 疑难突破　已知函数值求自变量的值的步骤 (1)对自变量的取值范围分类讨论. (2)代入不同的解析式中. (3)通过解方程求出自变量的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内. 19.解题思路　(1)当-1≤x<0时,[x]=-1, 所以f(x)=x+1, 当0≤x<1时,[x]=0,所以f(x)=x, 当1≤x<2时,[x]=1,所以f(x)=x-1. 综上, f(x)= (2)f(x)的图象如图所示: (3)由图象可得f(x)的值域为[0,1). 方法总结　1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型:根据自变量在不同范围内图象的特点,先确定函数的类型. (2)设函数解析式:设出函数的解析式. (3)列方程(组):根据图象中的已知点,列出方程或方程组,求出该段内的函数解析式. (4)下结论:最后在“{”右侧列出各段解析式,注意自变量的取值范围. 2.作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时,定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接,特别注意端点处是实心点还是空心圈. 20.BCD　结合题中表格可知,当x=2时, f(2)=3, f(f(2))=f(3)=4≠2-1,此时不满足题意;当x=3时, f(3)=4,f(f(3))=f(4)=2=3-1,此时满足题意;当x=4时, f(4)=2,f(f(4))=f(2)=3=4-1,此时满足题意;当x=5时, f(5)=3,f(f(5))=f(3)=4=5-1,此时满足题意.故选BCD. 21.B　当a≥0时,有a-1=a,解得a=-2(不满足条件,舍去); 当a<0时,有=a,解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1. 综上,a=-1.故选B. 22.A　因为2⊕x=,x⊗2=,所以f(x)==.所以所以-2≤x≤2且x≠0,所以=2-x,所以f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2].故选A. 23.A　 x0∈A,即0≤x0<,所以f(x0)=x0+. 因为0≤x0<,所以≤x0+<1, 所以≤f(x0)<1,即f(x0)∈B, 所以f(f(x0))=3[1-f(x0)]=-3x0∈A, 即0≤-3x0<,解得<x0≤. 又0≤x0<,所以<x0<.故选A. 24.A　命题意图　本题主要考查分段函数图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、转化与化归思想. 解题思路　作出函数f(x)=的图象,如图所示. 不妨设x1<x2<x3,则点(x2, f(x2))与点(x3, f(x3))关于直线x=3对称,即x2+x3=6,且x1满足-<x1<0, 则-+6<x1+x2+x3<0+6,即x1+x2+x3∈.故选A. 25.答案　(-1,1);(-1,1) 解题思路　由已知得定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|-1<x<0}={x|-1<x<1},即(-1,1).当0<x<1时,0<-x2+1<1,当-1<x<0时,-1<x2-1<0,当x=0时,f(x)=0,故值域为(-1,0)∪{0}∪(0,1)=(-1,1). 26.答案　1 解题思路　∵f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3), ∴g(f(x))=[(2x+a)2+3]=(4x2+4ax+a2+3)=x2+ax+(a2+3), 又∵g(f(x))=x2+x+1,∴ 解得a=1. 27.答案　6 060 解题思路　由题意知 = = =…= =f(1)=3. 所以 + +…+ =3×2 020=6 060. 28.答案　2 解题思路　因为>=2,所以f()=()2-4=2, 所以f(f())=f(2)=|2-3|+a=1+a=3,解得a=2. 29.解题思路　(1)f(2)==-.f(3)==-. ∵g(2)=,∴f(g(2))=f ==. ∵g(3)=,∴f(g(3))=f ==. (2)f(g(x))=f ==,x≠0, f(x)+f(g(x))=+==2,是常数. 30.解题思路　(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象,如图①. 　　　 图① 图② 由图①中函数的取值情况,结合函数φ(x)的定义,可得函数φ(x)的图象,如图②. 令-x2+2=x,得x=-2或x=1, 结合图②,得出φ(x)的解析式为 φ(x)= (2)由图②知φ(x)的定义域为R,φ(1)=1,所以φ(x)的值域为(-∞,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $