3.1.1 函数的概念(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 A组　教材夯基础 限时10分钟 1.在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为y,那么我们认为y是n的函数,则该函数的定义域为　　 　　;值域为　　　　　　　　　.  2.(填一填,记一记) (1)一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种　　　　的对应关系f,在集合B中都有　　　　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.  (2)函数的记法为y=f(x),x∈A,x的取值范围为函数的　　　　,与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}为函数的　　　　.  3.(判对错) (1)根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　) (2)值域中的某一个y值可以对应着不同的x.(　　) (3)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2,+∞).(　　) (4)函数f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1表示同一个函数.(　　) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合.(　　) (6)在函数的定义中,集合B是函数的值域.(　　) 4.(多选)下列从集合A到集合B的对应中,是函数的为(　　) A B C D 5.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(1,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞) 6.下列函数中,与函数y=x是同一个函数的是(　　) A.y=()2　 B.y=　 C.y=|x|　 D.y= 7.已知f(x)=x3+2x+3,则f(1)=　　　　, f(2a-1)=　　　　,f(f(-1))=　　　　.  8.设函数g(x)=的值域为S,分别判断-和3是不是S中的元素. B组　单一知识点 限时30分钟 知识点1　函数的概念及其表示 9.某校有一班级,设变量x是该班同学的姓名,变量y是该班同学的学号,变量z是该班同学的身高,变量w是该班同学的数学考试成绩,则下列选项中正确的是(　　) A.y是x的函数 B.w是y的函数 C.w是z的函数 D.w是x的函数 10.(多选)下列两个集合间的对应中,是A到B的函数的有(　　) A.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中数的平方 B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中数的平方根 C.A=Z,B=Q,f:A中的数的倒数 D.A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},f:A中数的2倍 11.(多选)托马斯说:“函数概念是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断:下列对应关系是集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是(　　) A.y=2x B.y=x+2 C.y=x2 D.y=|x| 知识点2　函数的定义域与区间表示 12.函数f(x)=的定义域为(　　) A. 　 B.{x|x>1} C. 　D. 13.已知函数f(x+2)的定义域为{x|-2<x<0},则函数f(2x-2)的定义域为(　　) A.{x|0<x<2} B. C.{x|1<x<2} D. 14.函数y=的定义域为　　　　.  15.函数y=的定义域用区间表示为　　　　.  16.求下列函数的定义域. (1)y=2-; (2)y=+; (3)y=-. 知识点3　函数值及函数值域 17.函数y=x2-2x+3,x∈[0,3)的值域是　　　　.  18.函数y=2x-的值域是　　　　.  19.函数y=的值域为　　　　.  变式19-1　(改变自变量的取值范围)函数y=(-1≤x≤1)的值域为　　　　. 20.已知函数f(x)=x2+x-1. (1)求f(2), f ; (2)若f(x)=5,求x的值. 知识点4　同一个函数的判断问题 21.下列函数与f(x)=x+1是同一个函数的是(　　) A.g(x)=+1 B.g(x)=+1 C.g(x)=2x+1 D.g(x)=+1 22.(多选)下列各组函数中,是同一函数的是(　　) A.y=x2与y= B.y=x2与y=()4 C.y=-1与y=x-1 D.y=与y=x C组　综合知识点 限时20分钟 23.(多选)已知函数y=x2-2x+2的值域是[1,2],则其定义域可能是(　　) A.[0,1]　 B.[1,2]　 C.　 D.[-1,1] 24.已知函数f(x-2)的定义域为(-1,3),则函数g(x)=的定义域为(　　) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(3,7) 变式24-1　(改变条件形式)已知函数f(x)=,则函数f(2-x)+f(x)的定义域为(　　) A.[0,+∞) B.[-4,0] C.[0,2] D.[0,4] 变式24-2　(逆向求解)已知函数f(2x+1)的定义域为(-1,0),则函数f(x)的定义域为(　　) A.(-1,1) B. C.(-1,0) D. 25.(多选)已知函数y=2x+-1,则在下列实数中,函数值y可以为(　　) A.2 B.1-2 C.2-1 D.-1-2 26.若一系列的函数解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数的解析式为y=x2,值域为{4,9}的“孪生函数”共有(　　) A.12个 B.10个 C.9个 D.8个 27.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3, [-1.5]=-2,则满足[2x2-x+1]=1的实数x的取值范围为　　　　　　.  28.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一,享有“数学王子”之称.函数y=[x]称为高斯函数,其中[x]表示不超过实数x的最大整数,例如[2.3]=2,[-0.5]=-1,当x∈(-1.5,2)时,函数y=[x]x的值域为　　　　　　　.  29.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为　　　　.  D组　高考怎么考 限时5分钟 30.(北京高考)函数f(x)=+的定义域是　　　　　　　　.  31.(江苏高考)函数y=的定义域是　　　　.  第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 1.N*　 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2.(1)确定　唯一确定　(2)定义域　值域 3.(1)✕　(2)√　(3)√　(4)√　(5)✕　(6)✕ 4.ABC　5.D　6.D 7.6　8a3-12a2+10a　 3 8.解题思路　因为≥0恒成立,所以=-无解,因此-∉S. 当=3时,可解得x=8,即g(8)=3,所以3∈S. 9.B　因为姓名不是数集,所以A、D错误,因为同一个身高可能对应多名同学,多个成绩,所以C错误,根据函数定义知,只有考试成绩与学号之间存在函数关系,故选B. 10.AD　对于选项A,可构成函数关系;对于选项B,集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应,因此不构成函数关系;对于选项C,A中元素0的倒数没有意义,在集合B中没有元素与之对应,因此不构成函数关系;对于选项D,可构成函数关系.故选AD. 归纳总结　1.判断是不是函数的两个条件 (1)A,B必须是非空数集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系. 2.根据图形判断是不是函数的步骤 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. 11.CD　对于A,当x=-1时,y=-2,没有对应值,不满足条件. 对于B,当x=4时,y=x+2=6,没有对应值,不满足条件. C,D满足条件,故选CD. 12.C　要使函数有意义,自变量x必须满足解得x≥且x≠1,故选C. 方法总结　求函数定义域的方法 (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的,那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合,也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 13.C　∵-2<x<0,∴0<x+2<2,∴f(x)的定义域为{x|0<x<2},由0<2x-2<2得1<x<2. 故f(2x-2)的定义域是{x|1<x<2}. 14.答案　{x|x≤1且x≠0} 解题思路　由解得x≤1且x≠0.故所求定义域为{x|x≤1且x≠0}. 15.答案　(-∞,-4)∪(-4,4)∪(4,6] 解题思路　要使函数有意义,需满足即∴定义域为(-∞,-4)∪(-4,4)∪(4,6]. 16.解题思路　(1)由得0≤x≤,所以函数y=2-的定义域为0,. (2)由得-2≤x<0或0<x≤2,所以函数y=+的定义域为[-2,0)∪(0,2]. (3)由得所以函数y=-的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1]. 17.答案　[2,6) 解题思路　y=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[0,3),结合函数的图象(如图),可得函数y=x2-2x+3,x∈[0,3)的值域为[2,6). 18.答案　 解题思路　设t=,则x=t2+1,t≥0,∴y=2(t2+1)-t=2+, 结合函数的图象(如图所示),可得函数的值域为. 19.答案　{y|y≠3} 解题思路　y===3+.∵≠0,∴y≠3,∴原函数的值域为{y|y≠3}. 方法总结　求函数值域的方法 (1)观察法.通过对解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的最高点和最低点观察函数的值域. (2)配方法.求形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域可用配方法,但要注意f(x)的取值范围.如求函数y=x+2+3的值域,因为y=(+1)2+2≥3,所以所求值域为{y|y≥3}.同时要注意在给定区间上二次函数最值的求法. (3)分离常数法.形如y=(ac≠0,ad≠bc)的函数常用分离常数法求值域.转化过程为y==+,其结论是. (4)换元法.形如y=ax+b+(a≠0)的函数常用换元法求值域,即先令t=,求出x,并注明t的取值范围,再代入上式将y表示成关于t的二次函数,最后用配方法求值域. 注意:分离常数的目的是将分式函数变为反比例函数类,换元的目的是将函数变为二次函数类,即将函数解析式变为熟悉的简单函数类型求值域. 变式19-1　[0,2]　易得y==-1, 因为-1≤x≤1,所以1≤2+x≤3,则1≤≤3,所以0≤-1≤2, 故函数y=(-1≤x≤1)的值域为[0,2]. 20.解题思路　(1)f(2)=22+2-1=5, f=+-1=. (2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,解得x=2或x=-3. 21.D　对于A,函数g(x)=+1的定义域为{x∈R|x≠0},与f(x)=x+1(x∈R)的定义域不同,不是同一个函数,故A错误; 对于B,函数g(x)=+1=|x|+1(x∈R),与f(x)=x+1(x∈R)的对应关系不同,不是同一个函数,故B错误; 对于C,函数g(x)=2x+1(x∈R)与f(x)=x+1(x∈R)的对应关系不同,不是同一个函数,故C错误; 对于D,函数g(x)=+1=x+1(x∈R),与f(x)=x+1(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故D正确. 故选D. 方法总结　判断两函数是否相同的步骤和注意点 (1)判断两函数是否相同的三个步骤. (2)两个注意点. ①在化简解析式时,必须是等价变形; ②与用哪个字母表示变量无关. 22.AD　A选项,y=x2与y=的定义域均为R,且y==x2,所以两个函数是同一函数. B选项,y=x2的定义域为R,y=()4的定义域是{x|x≥0},所以二者不是同一函数. C选项,y=-1的定义域为{x|x≠0},y=x-1的定义域为R,所以二者不是同一函数. D选项,y=与y=x的定义域均为R,且y===x. 所以两个函数是同一函数.故选AD. 23.ABC 由y=x2-2x+2=1得x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,得x1=x2=1, 由y=x2-2x+2=2得x2-2x=0,即x=0或x=2, 故定义域内必须含有1,0与2至少含有一个,且定义域一定是[0,2]的子集, 设定义域为[a,b], 若a=0,则1≤b≤2,则A成立; 若b=2,则0≤a≤1,则B,C成立. 故选ABC. 名师点睛　对于该题,若能正确画出二次函数的图象(如图),则各选项是否正确就会很容易地得到判断. 24.A　∵函数f(x-2)的定义域为(-1,3),∴-3<x-2<1, 对于函数g(x)=,有解得1<x<3, 即函数g(x)=的定义域为(1,3).故选A. 方法总结　复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围. 注意1:定义域是对单个的x而言的,求定义域即求x的范围; 注意2:相同的对应关系f所作用对象的范围是一致的. (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出; (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 巩固练:已知f(x+1)的定义域为(2,4). ①求f(x)的定义域;②求f(2x)的定义域. 解析:①∵f(x+1)的定义域为(2,4), ∴2<x<4,则3<x+1<5,即f(x)的定义域为(3,5). ②∵f(x)的定义域为(3,5), ∴由3<2x<5得<x<,即f(2x)的定义域为. 变式24-1　C　∵函数f(x)=,∴4-x2≥0, 可得-2≤x≤2,则函数f(2-x)+f(x)中的x需满足解得0≤x≤2,即函数f(2-x)+f(x)的定义域为[0,2],故选C. 变式24-2　A　∵函数f(2x+1)的定义域为(-1,0),即-1<x<0,∴-1<2x+1<1, ∴函数f(x)的定义域为(-1,1).故选A. 25.ACD　函数y=2x+-1的定义域为{x|x≠0}, 当x>0时,y≥2-1=2-1当且仅当x=时,等号成立,所以A,C正确; 当x<0时,-2x>0,->0, 所以-2x+≥2=2当且仅当x=-时,等号成立,所以y=2x+-1=--1≤-2-1,所以D正确.故选ACD. 26.C　满足条件的函数的定义域有{2,3}、{2,-3}、{-2,3}、{-2,-3}、{2,-2,-3}、{2,-2,3}、{2,-3,3}、{-2,-3,3}、{-2,2,-3,3},共9个.故选C. 27.答案　∪ 解题思路　∵[2x2-x+1]=1, ∴1≤2x2-x+1<2, 由2x2-x+1<2,可得-<x<1, 由2x2-x+1≥1,可得x≤0或x≥, ∴实数x的取值范围为∪. 28.答案　[0,2)∪(2,3) 解题思路　依题意,当-1.5<x<-1时,[x]=-2,则y=-2x∈(2,3),当-1≤x<0时,[x]=-1,则y=-x∈(0,1], 当0≤x<1时,[x]=0,则y=0, 当1≤x<2时,[x]=1,则y=x∈[1,2), 所以当x∈(-1.5,2)时,函数y=[x]x的值域为[0,2)∪(2,3). 29.答案　 解题思路　∵f(x)=的定义域为R, ∴对于任意实数x,mx2+3mx+m+1≥0恒成立, 当m=0时,有1>0成立; 当m≠0,有解得0<m≤. 综上所述,实数m的取值范围为. 易错警示　先将问题转化为对于任意实数x,mx2+3mx+m+1≥0恒成立,然后对m分类求解得答案.学 生容易忽略二次项系数为0时的讨论导致出现错解的情况. 30.答案　{x|x≤1且x≠0} 解题思路　要使f(x)=+有意义, 则解得x≤1且x≠0, ∴f(x)的定义域为{x|x≤1且x≠0}. 31.答案　[-1,7] 解题思路　要使原函数有意义,需满足7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7,故所求定义域为[-1,7]. 学科网（北京）股份有限公司 $