2.2 基本不等式(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

2.2　基本不等式

A组　教材夯基础

限时15分钟

1.(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少?

(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?

 

 

 

 

 

 

 

 

2.(填一填,记一记)

(1)重要不等式:∀a,b∈R,有　　　            　  　　, 当且仅当a=b时,等号成立.

(2)基本不等式:如果a>0,b>0,有≤,当且仅当　　          　　时,等号成立. 

其中,叫做正数a,b的　　　　　　,叫做正数a,b的　　　　　　. 

基本不等式表明:两个正数的算术平均数　　   　　它们的几何平均数. 

(3)基本不等式与最值:已知x,y都是正数,则

①如果积xy等于定值P(积为定值),那么当　　     　　时,和x+y有最小值2. 

②如果和x+y等于定值S(和为定值),那么当　　  　　时,积xy有最大值S2. 

 

3.(判对错)

(1)若a,b同号(ab≠0),则+≥2.(　　)

(2)若a>0,b>0,则ab≤恒成立.(　　)

(3)6和8的几何平均数为2.(　　)

(4)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立.(　　)

(5)若a≠0,则a+≥2=2.(　　)

(6)若a>0,则a3+的最小值为2.(　　)

4.已知x,y都是正数,则下列命题为真命题的是(　　)

A.如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最大值2

B.如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最小值S2

C.如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+2y有最小值2

D.如果和x+2y等于定值S,那么当x=2y时,积xy有最大值S2

5.做一个体积为27 m3,高为3 m的长方形纸盒,当底面的边长取什么值时,用纸最少?最少用纸是多少?

 

 

 

6.求证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

 

 

 

 

 

7.(1)如图,AB是半圆O的直径,点C在AB上,且AC=a,CB=b,过点O作AB的垂线,交于点F,连接FC,请你判断FC与FO的大小关系,并与基本不等式进行比较;

(2)已知a>0,b>0,证明:≥.