2.2 基本不等式(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

2.2　基本不等式 A组　教材夯基础 限时15分钟 1.(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? (2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? 2.(填一填,记一记) (1)重要不等式:∀a,b∈R,有　　　 　 　　, 当且仅当a=b时,等号成立. (2)基本不等式:如果a>0,b>0,有≤,当且仅当　　 　　时,等号成立.  其中,叫做正数a,b的　　　　　　,叫做正数a,b的　　　　　　.  基本不等式表明:两个正数的算术平均数　　 　　它们的几何平均数.  (3)基本不等式与最值:已知x,y都是正数,则 ①如果积xy等于定值P(积为定值),那么当　　 　　时,和x+y有最小值2.  ②如果和x+y等于定值S(和为定值),那么当　　 　　时,积xy有最大值S2.  3.(判对错) (1)若a,b同号(ab≠0),则+≥2.(　　) (2)若a>0,b>0,则ab≤恒成立.(　　) (3)6和8的几何平均数为2.(　　) (4)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立.(　　) (5)若a≠0,则a+≥2=2.(　　) (6)若a>0,则a3+的最小值为2.(　　) 4.已知x,y都是正数,则下列命题为真命题的是(　　) A.如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最大值2 B.如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最小值S2 C.如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+2y有最小值2 D.如果和x+2y等于定值S,那么当x=2y时,积xy有最大值S2 5.做一个体积为27 m3,高为3 m的长方形纸盒,当底面的边长取什么值时,用纸最少?最少用纸是多少? 6.求证a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 7.(1)如图,AB是半圆O的直径,点C在AB上,且AC=a,CB=b,过点O作AB的垂线,交于点F,连接FC,请你判断FC与FO的大小关系,并与基本不等式进行比较; (2)已知a>0,b>0,证明:≥. B组　单一知识点 限时20分钟 知识点1　利用基本不等式比较大小 8.(多选)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　) A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 9.若0<a<b且a+b=1,则下列四个数中最大的是(　　) A. B.a2+b2 C.2ab D.a 10.(多选)若x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,则下列结论正确的是(　　) A.x+y≥2(+1) B.xy≥(+1)2 C.x+y≤(+1)2 D.xy≤2(+1) 11.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是　　　　.  12.设a>b>0,则a,b,,,,按从小到大的顺序排列是　　　　　.  知识点2　利用基本不等式求最值 13.已知a>1,则a+的最小值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.10 14.若x<,则y=3x+1+有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 15.已知0<x<,则x(2-3x)的最大值是(　　) A. B. C. D. 变式15-1　(单元变换为双元)已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(　　) A.16 B.25 C.9 D.36 变式15-2　(变为含根式的形式)已知0<x<2,则y=2x的最大值为(　　) A.2 B.4 C.5 D.6 16.已知a2+b2=ab+4,则a+b的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.2 17.已知x>0,y>0,z>0,且+=1,则x+y+z的最小值为(　　) A.8 B.9 C.12 D.16 18.若-4<x<1,则(　　) A.有最小值1 B.有最大值1 C.有最小值-1 D.有最大值-1 19.若a,b∈R且满足ab=8,则a2+的最小值为　　　　.  知识点3　利用基本不等式证明不等式 20.已知正实数a,b,c满足a2+b2+c2=3. (1)若a=1,证明:+≥2; (2)求ab+bc+ca的最大值. 21.已知a,b,c是正实数. (1)证明:a+b+c≥++; (2)若a+b+c=2,证明:++≥; (3)已知a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ay)≥xy. 知识点4　基本不等式在实际问题中的应用 22.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本,已知购买m台设备的总成本为y=m2+m+200(单位:万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备(　　) A.100台 B.200台 C.300台 D.400台 23.某金店用一个不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金(　　) A.大于10 g B.小于10 g C.等于10 g D.以上都有可能 C组　综合知识点 限时10分钟 24.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.已知a,b,c分别为△ABC的三边长,△ABC的周长为12,c=4,则此三角形面积最大时,∠A=(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 25.已知0<x<1,则+的最小值为(　　) A.9 B. C.5 D. 26.已知正数x,y满足(x-1)(y-2)=2,不等式3x+2y>m恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m<4+6} B.{m|m>6+4} C.{m|m<7+4] D.{m|m>8+4} 27.已知x,y∈R且2x2+2y2=1+xy,则x2+y2的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  28.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式x=2-(k为常数),如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨该款食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品的售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费用的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求k的值; (2)将下一年的利润y(单位:万元)表示为促销费用t(单位:万元)的函数; (3)该食品企业下一年的促销费用为多少时,该款食品的年利润最大? 注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用. D组　高考怎么考 限时10分钟 29.(全国新高考Ⅱ)(多选)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 30.(全国新高考Ⅰ改编)(多选)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　　) A.a2+b2≥ B.-≥0 C.ab≤ D.+≤ 31.(上海春季高考)已知正实数a、b满足a+4b=1,则ab的最大值为　　　　.  32.(天津高考)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.  33.(天津高考)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.  34.(天津高考)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为　　　　.  2.2　基本不等式 1.解题思路　设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m,y m,x,y>0,则篱笆的长度为2(x+y) m. (1)由已知得xy=100. 由≥,可得x+y≥2=20, 所以2(x+y)≥40, 当且仅当x=y=10时,等号成立, 故当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为40 m. (2)由已知得2(x+y)=36,矩形菜园的面积为xy m2. 由≤==9,可得xy≤81, 当且仅当x=y=9时,等号成立. 故当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时,菜园的面积最大,最大面积是81 m2. 2.(1)a2+b2≥2ab　(2)a=b　算术平均数　几何平均数　不小于　(3)x=y　x=y 3.(1)√　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)✕　(6)✕ 4.D 5.解题思路　由已知得长方形纸盒底面面积为9 m2,设长方体的底面的相邻两边长分别为x m, m,长方体的表面积为 S m2,则S=2×9+2×3x+2×3×=18+6x+≥18+2=18+36=54,当且仅当x=3时取等号,所以当底面的边长取3 m时,用纸最少,最少用纸是54 m2. 6.解题思路　证明:易知a2+b2≥2ab.① b2+c2≥2bc.② c2+a2≥2ac.③ ∴①+②+③得2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac. ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时等号成立. 7.解题思路　(1)在Rt△FCO中,斜边FC的长大于直角边FO的长,当C在点O处时,FC=FO,∴FC≥FO, 易知FO=AB=,当点C位于点O右侧时,OC=OB-CB=-b=,当点C位于点O左侧时,OC=OA-AC=-a=, 故OC2==, 则FC2=OC2+FO2=+=, ∴≥, 与基本不等式比较可得≥≥,a≥0,b≥0,当且仅当a=b时等号成立. (2)证明:∵a>0,b>0,∴≥, 易知>0,>0, ∴≥>0,即≥,当且仅当a=b时等号成立. 8.AD　对于A,∀a,b∈R,不等式a2+b2≥2ab恒成立,A正确; 对于B,由于a,b∈R,且ab>0,故当a<0,b<0时,a+b<0,而2>0,故B选项中的不等式不成立,B错误; 对于C,由于a,b∈R,且ab>0,故当a<0,b<0时,+<0,而>0,故C选项中的不等式不成立,C错误; 对于D,由a,b∈R,且ab>0,得>0,>0,则+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,D正确.故选AD. 知识拓展　基本不等式的变形 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2)+≥2(a,b同号). (3)ab≤(a,b∈R). (4)≥≥≥(a>0,b>0). 当且仅当a=b时,上面不等式的“=”成立. 9.B　a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2·=,当且仅当a=b=时,等号成立,已知0<a<b,故a2+b2>. a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,当且仅当a=b时,等号成立, 已知0<a<b,∴a2+b2>2ab. ∵0<a<b且a+b=1,∴a<. ∴a2+b2最大. 10.AB　因为x>0,y>0,且xy-(x+y)=1, 所以xy=1+(x+y)≤,所以(x+y)2-4(x+y)-4≥0,解得x+y≥2+2,当且仅当x=y时取等号,故A正确,C错误, x+y=xy-1≥2,则xy-2-1≥0,解得≥1+,所以xy≥(1+)2,当且仅当x=y时取等号,故B正确,D错误,故选AB. 11.答案　x<y 解题思路　由题意得x2=,y2=a+b=. ∵a+b>2(a≠b,a,b>0),∴x2<y2,x>0,y>0, ∴x<y. 12.答案　b<<<<<a 解题思路　由a>b>0,可得ab>b2⇒2ab>ab+b2=(a+b)b则>b,即=>b, 由>>0,可得0<<,所以<,所以<<, 由a2+b2>2ab,可得a2+2ab+b2<2a2+2b2, 得(a+b)2<2(a2+b2),所以<,又a>b>0,所以<, 由a>b>0,可得<=a. 所以答案为b<<<<a. 13.C　因为a>1,所以a-1>0,所以a+=a-1++1≥2+1=7,当且仅当a-1=,即a=4时,等号成立,故选C. 名师点睛　利用基本不等式求最值的条件 利用基本不等式≤求最值,必须同时满足三个条件:一正、二定、三相等. ①x,y都是正数. ②积xy(或和x+y)为定值(有时需通过“配凑、拆分”找出定值). ③x与y必须能够相等(等号能够取到). 14.C　∵x<,∴3x-2<0. y=3x-2++3=-+3≤-2+3=-3,当且仅当x=-时取“=”.故y=3x+1+有最大值-3.故选C. 15.A　因为0<x<,所以x(2-3x)=×3x(2-3x)≤×=,当且仅当3x=2-3x,即x=时等号成立.故x(2-3x)的最大值是.故选A. 变式15-1　B　因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)·(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+=9+42=25,当且仅当x=y=4时等号成立,故(1+x)(1+y)的最大值为25. 变式15-2　B　因为0<x<2,所以y=2x=2≤2=4, 当且仅当x2=4-x2,0<x<2,即x=时取等号,故选B. 16.B　a2+b2=ab+4,则(a+b)2=3ab+4≤+4,可得(a+b)2≤16,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.所以a+b的最大值为4.故选B. 17.D　审题指导　由+=1,可考虑“1”的逆代,将代数式x+y+z与+相乘,构造积为定值的形式后,利用基本不等式可求出最值. 解题思路　∵y>0,z>0,∴y+z>0,又x>0,+=1,∴x+y+z=(x+y+z)=10++≥10+2=16,当且仅当=时等号成立, ∴x+y+z的最小值为16.故选D. 解后反思　利用常数“1”的代换求最值的两种模型 模型1:已知正数x,y满足ax+by=1,求+的最小值(a>0,b>0,m>0,n>0). 模型2:已知正数x,y满足+=1,求mx+ny的最小值(a>0,b>0,m>0,n>0). 18.D　易知=. ∵-4<x<1,∴x-1<0,∴-(x-1)>0. ∴-≤-1, 当且仅当x-1=,即x=0时等号成立.故有最大值-1.故选D. 方法总结　利用基本不等式求二次与一次的商式的最值的解题步骤: (1)先把商式拆成两个代数式的和,使得两个代数式的值都是正数,且它们的积是定值;(2)利用基本不等式求商式的最值. 19.答案　4 解题思路　因为ab=8,a2>0,b2>0,所以a2+≥2==4,当且仅当a2=,ab=8,即b=4a=4或b=4a=-4时取等号,所以a2+的最小值为4. 20.解题思路　(1)证明:由a=1,a2+b2+c2=3,得b2+c2=2, 则+=(b2+c2)=1++≥1+2=2, 当且仅当b=c=1时,等号成立. (2)易知ab≤(a2+b2),bc≤(b2+c2),ac≤(a2+c2),所以ab+bc+ac≤a2+b2+c2=3,当且仅当a=b=c=1时,等号成立, 即ab+bc+ca的最大值为3. 名师点睛　(1)证明不等式时,充分利用条件是关键,要注意“1”的整体代换及几个“=”必须保证同时成立. (2)证明不等式时要注意灵活变形,可以多次利用基本不等式的变形形式. 21.解题思路　证明:(1)2a+2b+2c=(a+b)+(b+c)+(a+c)≥2+2+2,即a+b+c≥++, 当且仅当a=b=c时等号成立,得证. (2)++=·=·3++++++≥ =×(3+2+2+2)=, 当且仅当a=b=c=时等号成立,得证. (3)(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)≥ab·2xy+xy(a2+b2)=xy(a+b)2=xy, 当且仅当a=b=,x=y时等号成立,得证. 22.B　由题意得=m+1+≥2+1=3, 当且仅当=,m>0,即m=200时等号成立, 所以若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备200台.故选B. 23.A　设天平左臂长为a,右臂长为b(a>b),第一次称出的黄金质量为x g,第二次称出的黄金质量为y g,由杠杆平衡原理可得,5a=xb,ya=5b, 所以x=,y=,x+y=+>10=10,故顾客实际所得黄金大于10 g.故选A. 24.C　由题可知a+b=8,p=(a+b+c)=6,则S==≤×=4,当且仅当a=b=4时,取得等号,此时三角形为等边三角形,故∠A=60°.故选C. 25.B　+=+=(x+1-x)=++. ∵0<x<1,∴1-x>0, ∴+≥2=2, 当且仅当=,即x=时,等号成立. ∴+的最小值为+2=.故选B. 26.C　因为(x-1)(y-2)=2,所以xy=2x+y,又x>0,y>0,所以+=1,所以3x+2y=(3x+2y)=7++≥7+2=7+4, 当且仅当x=1+,y=2+时等号成立,故3x+2y的最小值为7+4. 又因为不等式3x+2y>m恒成立,所以m<7+4,所以实数m的取值范围是{m|m<7+4}.故选C. 解题关键　由于不等式3x+2y>m恒成立,故只需(3x+2y)min>m,解题关键是将已知等式变形为+=1,利用基本不等式的乘“1”法,求出3x+2y的最小值. 27.答案　; 审题指导　直接利用基本不等式的推广可得2x2+2y2=1+xy≤1+,即可求得x2+y2的最大值.将2x2+2y2=1+xy化为2x2+2y2=1-(-x)y,再利用基本不等式的推广,即可求得x2+y2的最小值. 解题思路　由x,y∈R,2x2+2y2=1+xy≤1+可得x2+y2≤,当且仅当x=y=±时等号成立,故x2+y2的最大值为. 由2x2+2y2=1-(-x)y≥1-,可得x2+y2≥,当且仅当x=,y=-或x=-,y=时等号成立, 故x2+y2的最小值为. 28.解题思路　(1)由题意可知当t=0时,x=1,所以1=2-,解得k=2. (2)由于k=2,故x=2-, 由题意知当年生产x吨食品时,年生产成本为32x+3=32+3(万元), 结合题意可知销售食品x吨,则年销售收入为32×+3+t(万元), 由题意得y=32+3+t-32+3-t,即y=--t+(t≥0). (3)由(2)知y=--t+(t≥0),即y=--+=-+≤-2+=26.5, 当且仅当t=6时,等号成立. 故该食品企业下一年的促销费用为6万元时,该款食品的年利润最大. 29.BC　由题意知x2+y2=1+xy,∴(x+y)2=1+3xy,当x>0,y>0时,x+y>1,∴A错误; 易知xy≤,结合题意知(x+y)2=1+3xy≤1+, ∴(x+y)2≤4,∴-2≤x+y≤2,∴B正确; ∵x2+y2=1+xy≤1+,∴x2+y2≤2,∴C正确; ∵x2+y2=1+xy,当xy<0时,x2+y2<1,∴D错误.故选BC. 30.ACD　对于C,因为a>0,b>0,a+b=1,所以a+b≥2,当且仅当a=b=时,等号成立,即ab≤,故C正确;对于A,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,故A正确;对于B,a,b的大小不能确定,故B错误;对于D,由(+)2=a+b+2=1+2≤2,得+≤,故D正确.综上可知,正确的选项为A、C、D. 31.答案　 解题思路　正实数a、b满足a+4b=1,则ab=a·4b≤×=,当且仅当a=,b=时等号成立.故ab的最大值为. 32.答案　4 解题思路　++=+=+≥2=4, 当且仅当=,a>0,b>0,即(a+b)2=16,a>0,b>0,也即a+b=4时取等号. 又∵ab=1,∴或时取等号,∴++的最小值为4. 33.答案　2 解题思路　因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=+b≥2=2. 当且仅当即a=b=时等号成立,故++b的最小值为2. 34.答案　 解题思路　===2+. ∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时≥, ∴2+≥2+=,故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $