1.4 充分条件与必要条件(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

1.4　充分条件与必要条件 A组　教材夯基础 限时10分钟 1.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今.“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A.必要条件 B.充分条件 C.既是充分条件又是必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(填一填,记一记) (1)充分条件与必要条件:一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,这时,我们就说,由p可以推出q,记作　　 　　,并且说,p是q的　　 　　条件,q是p的　　　 　条件.  (2)充要条件:如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有　　 　　,又有　　　 　,就记作　　 　　,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们就说p是q的充分必要条件,简称为　　　 　条件.  3.(判对错) (1)q不是p的必要条件时,“p⇏q”成立.(　　) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(　　) (3)“x=2”是“x2-4x+4=0”的充要条件.(　　) (4)a,b中至少有一个不为零的充要条件是ab>0.(　　) (5)“x>1”是“x>3”的充分条件.(　　) (6)“x=2”是“x2=2x”的必要条件.(　　) 4.设x∈R,则“|x|>1”是“x<-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知p:x≤-1或x≥3,q:x>5,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.“△ABC是有一个角为60°的等腰三角形”是“△ABC是正三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B组　单一知识点 限时25分钟 知识点1　充分、必要、充要条件的判断 7.设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(多选)设全集为U,在下列条件中,是B⊆A的充要条件的有(　　) A.A∪B=A B.(∁UA)∩B=⌀ C.∁UB⊆∁UA D.A∪(∁UB)=U 10.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 11.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则(　　) A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D.“x∈C”是“x∈A”的既不充分又不必要条件 12.在人类中,双眼皮由显性基因A控制,单眼皮由隐性基因a控制,当一个人的基因型为AA或Aa时,这个人就是双眼皮,当一个人的基因型为aa时,这个人就是单眼皮.随机从父母的基因中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因.根据以上信息,则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 知识点2　充分、必要、充要条件的探究及证明 13.使x>1成立的一个充分条件是(　　) A.x>0 B.x>2 C.x<0 D.x<2 14.已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是(　　) A.a+b≠0 B.a2+b2≠0 C.a3+b3≠0 D.+≠0 15.已知a,b是正实数,求证:++2=的充要条件是a+b=1. 16.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 变式16-1　求证:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 知识点3　充分、必要、充要条件的应用 17.若“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件,则实数m的值为(　　) A.1 B.- C.-或1 D.-1或 18.若“<x<3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件,则实数m的取值范围是　　　 　.  19.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 变式19-1　若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 变式19-2　本例中p,q不变,是否存在实数m使得p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. C组　综合知识点 限时20分钟 20.若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)=-a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的　(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 21.(多选)如图所示的电路图中,“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图有(　　) 22.设x为任一实数,[x]表示不超过x的最大整数,<x>表示不小于x的最小整数,例如[1.1]=1,[-1.1]=-2,<0.9>=1,<-0.9>=0,那么“[a]=<b>”是“a≥b”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 23.如图,已知矩形ABCD,AD=a,AB=b,P是BC上的点,则存在点P使∠APD=90°的充要条件是　　　　.  24.已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1. 25.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 26.已知p:x2-8x+7≤0,q:2m≤x≤m+3. (1)是否存在m,使得p是q的充要条件?若存在,求m的值,若不存在,请说明理由; (2)从下面两个条件中任选一个,求m的取值范围. ①p是q的必要条件; ②q是p的充分条件. 1.4　充分条件与必要条件 1.A 2.(1)p⇒q　充分　必要　(2)p⇒q　q⇒p　p⇔q　充要 3.(1)√　(2)✕　(3)√　(4)✕　(5)✕　(6)✕ 4.B　因为|x|>1⇒x<-1或x>1,x<-1⇒|x|>1,所以“|x|>1”是“x<-1”的必要不充分条件. 5.B　由{x|x>5}是{x|x≤-1或x≥3}的真子集,可知p是q的必要不充分条件.故选B. 6.C 7.A　因为a,b∈R,(a-b)a2<0,所以a<b,a≠0.由a<b得a-b<0,所以(a-b)a2≤0.根据充分必要条件的定义可以知若a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件. 8.A　若四边形是菱形,则四边形是平行四边形,反之,若四边形是平行四边形,则四边形不一定是菱形,所以“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条件.故选A. 9.ABD　画出Venn图,由图可知B⊆A⇔A∪B=A;B⊆A⇔(∁UA)∩B=⌀;B⊆A⇔∁UA⊆∁UB;B⊆A⇔A∪(∁UB)=U.故选ABD. 10.A　函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方,则4a2-4a<0,解得0<a<1,由集合的包含关系可知选A. 11.B　由A∪B=C且B不是A的子集,知x∈A⇒x∈C,x∈C⇏x∈A.所以“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件. 故选B. 12.A　若“父母均为单眼皮”,即父母的基因型都是aa,所以孩子的基因型也一定是aa,所以一定有“孩子为单眼皮”, 若“孩子为单眼皮”,则孩子的基因型是aa,但是父母的基因型可能都是Aa或一个是Aa,一个是aa,所以父母中有可能有双眼皮,所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件. 故选A. 方法总结　(1)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,也就是说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件. (2)条件关系判定的常用结论: 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q,且q⇏ p p是q的充分不必要条件 q⇒p,且p⇏ q p是q的必要不充分条件 p⇒q,且q⇒p,即p⇔q p是q的充要条件 p⇏q,且q⇏p p是q的既不充分也不必要条件 13.B　根据充分条件的定义,由x>2可以得出x>1,B符合题意; 若x>0,取x=,则无法得到x>1,A不符合题意; C显然不符合题意; 若x<2,取x=,则无法得到x>1,D不符合题意. 故选B. 14.B　对于A选项,当a=3,b=-3时,ab≠0,此时a+b=0,故“a+b≠0”不是“ab≠0”的必要条件,故不符合题意; 对于B选项,当ab≠0时,a2+b2≠0成立,反之,不成立,故“a2+b2≠0”是“ab≠0”的必要条件,故符合题意; 对于C选项,当a=3,b=-3时,ab≠0,但此时a3+b3=0,故“a3+b3≠0”不是“ab≠0”的必要条件,故不符合题意; 对于D选项,当a=3,b=-3时,ab≠0,但此时+=0,故“+≠0”不是“ab≠0”的必要条件,故不符合题意.故选B. 15.解题思路　证明:若++2=, 则=,即a2+a+b2+b+2ab=2, 即(a+b)2+(a+b)-2=0,即(a+b-1)(a+b+2)=0. 因为a,b是正实数,所以a+b+2>0, 所以a+b-1=0,即a+b=1. 必要性成立. 若a+b=1,则++2=====. 充分性成立. 故++2=的充要条件是a+b=1. 16.解题思路　证明:若a+b+c=0,则c=-a-b, 代入关于x的方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0. 所以关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 充分性成立. 若关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 则x=1满足方程ax2+bx+c=0. 所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 必要性成立. 故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 变式16-1　证明:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,则Δ=b2-4ac>0,<0,所以ac<0.必要性成立. 由ac<0,可推得b2-4ac>0,及<0.所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.充分性成立. 综上,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 17.B　把x=2代入m2x2-(m+3)x+4=0中,得4m2-2m-2=0,解得m=-或m=1. 当m=1时,m2x2-(m+3)x+4=0可化为x2-4x+4=0,解得x=2,此时“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充要条件,应舍去; 当m=-时,m2x2-(m+3)x+4=0可化为x2-10x+16=0,解得x=2或x=8,此时“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件.故m=-.故选B. 18.答案　{m|m≥3} 解题思路　若“<x<3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件,则“<x<3”能推出“0≤x≤m”,但“0≤x≤m”不能推出“<x<3”. 记A=,B={x|0≤x≤m}.由题意可得A⫋B,即m≥3.故实数m的取值范围是{m|m≥3}. 19.解题思路　设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m(m>0)}. 又因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A, 故有或解得m≤3.又m>0, 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 方法总结　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤: (1)化简:化简集合,明确题干中的充分条件和必要条件. (2)转化:根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合间的关系问题. (3)列式:利用集合间的关系,建立关于参数的方程(不等式)或方程组(不等式组). (4)获解:解得参数值(范围). 变式19-1　设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m(m>0)}, 又因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B. 所以或解得m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 变式19-2　若p是q的充要条件,则m>0且此方程组无解.故不存在实数m,使得p是q的充要条件. 20.C　充分性:φ(a,b)=0,即=a+b,故a+b≥0,a2+b2=(a+b)2=a2+b2+2ab,所以ab=0且a≥0,b≥0,故具备充分性.必要性:由a≥0,b≥0,ab=0,得==a+b,故具备必要性. 故φ(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 21.BD　A,当开关S闭合时,灯泡L亮,当灯泡L亮时,也可能是S上方开关闭合,因此“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件,A不正确; B,当开关S闭合时,灯泡L亮,当灯泡L亮时,只可能是开关S闭合,因此B正确; C,当开关S闭合时,灯泡L不一定亮,因此C不正确; D,当开关S闭合时,灯泡L亮,当灯泡L亮时,只可能是开关S闭合,因此D正确. 故选BD. 22.B　设[a]=<b>=k,由[x]和<x>的定义得a≥k,b≤k, 所以a≥k≥b,即a≥b,充分性成立; 当a=2.2,b=2.1时,[a]=2,<b>=3,[a]<<b>,必要性不成立. 所以“[a]=<b>”是“a≥b”的充分不必要条件.故选B. 23.答案　a≥2b 解题思路　以线段AD为直径画圆,如图所示: 如图(1),当=b,即a=2b时,圆与线段BC有唯一公共点P,这时有∠APD=90°; 如图(2),当>b,即a>2b时,圆与线段BC有两个交点M,N,当P点与M,N两点中任一点重合时,有∠APD=90°; 如图(3),当<b,即a<2b时,圆与线段BC无公共点,则∠APD<90°. 故使∠APD=90°的充要条件是a≥2b. 24.解题思路　证明:若a2-b2=1成立,则a4-b4-2b2=(a2+b2)·(a2-b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件. 若a4-b4-2b2=1成立,则a4-(b2+1)2=0,即(a2+b2+1)·(a2-b2-1)=0, 因为a,b是实数,所以a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1,所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件. 综上,a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1. 25.解题思路　证明:①xy≥0,分xy=0和xy>0两种情况, 当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|, ∴此时等式成立.同理,当y=0时等式也成立. 当xy>0时,x>0,y>0或x<0,y<0. 若x>0,y>0,则|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y, ∴等式成立. 若x<0,y<0,则|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y=-(x+y), ∴此时等式成立. 综上,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.充分性成立. ②若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R, 则|x+y|2=(|x|+|y|)2, 即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x|·|y|, ∴|xy|=xy,∴xy≥0.必要性成立. 综上,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 26.审题指导　(1)由充要条件的定义建立方程组进行求解即可; (2)根据所选条件,利用集合的子集关系进行求解即可. 解题思路　(1)由x2-8x+7≤0,解得1≤x≤7, 若p是q的充要条件,则方程组无解,即不存在m,使得p是q的充要条件. (2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤7},q对应的集合为B={x|2m≤x≤m+3}, 若选①,p是q的必要条件,则B⊆A, 当B=⌀时,2m>m+3,即m>3,此时满足题意; 当B≠⌀时,m≤3且解得≤m≤3. 综上所述,m≥.故m的取值范围为. 若选②,q是p的充分条件,则B⊆A, 下同①. 学科网（北京）股份有限公司 $