1.2 集合间的基本关系(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

1.2　集合间的基本关系 A组　教材夯基础 限时10分钟 1.(填一填,记一记) (1)子集:如果集合A中　　 　　元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.任何一个集合是它本身的　　 　　,即A⊆A;对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么　 　　　.  (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素　　　　　　　,就称集合A是集合B的真子集.  (3)集合相等:如果集合A的　　　　元素都是集合B的元素,同时集合B的　　 　　元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.  (4)空集:不含　　　 　元素的集合叫做空集,记为　　　　.空集是　　 　　的子集.  (5)与子集、真子集个数有关的结论:假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则A的子集的个数为　　 　　;A的真子集的个数为　 　　　;A的非空真子集的个数为　　 　　.  2.(判对错) (1)任何集合至少有两个子集.(　　) (2){1,2,3}⊆{3,2,1}.(　　) (3)空集是任何集合的真子集.(　　) (4)若A⊆B,且A≠B,则A⫋B.(　　) (5)若a∈A,则{a}⊆A.(　　) (6)⌀⊆{⌀}.(　　) (7)空集没有子集.(　　) 3.某造纸厂生产练习本用纸,当纸的白度和不透明度都合格时,该产品才合格.若用A表示练习本用纸合格的产品组成的集合,B表示纸的白度合格的产品组成的集合,C表示纸的不透明度合格的产品组成的集合,则下列包含关系哪些成立? A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A. 试用Venn图表示这三个集合的关系. 4.已知集合M={0,1,2,3},则M的子集有(　　) A.12个 B.14个 C.16个 D.8个 5.设集合A={1,2,4},B={2},则下列关系正确的是(　　) A.B∈A B.B∉A C.B⊇A D.B⊆A 6.写出下列两个集合之间的关系: (1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5}; (2)C={x|x2=1},D={x||x|=1}; (3)E={-1,1},F={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (4)G={等腰三角形},H={等边三角形}. B组　单一知识点 　　限时30分钟 知识点1　子集与真子集问题 7.已知集合P={2,4,6,8},则集合P的真子集的个数是(　　) A.4 B.14 C.15 D.16 8.下列各选项中,表示M⊆N的是(　　) A. B. C. D. 9.定义A*B={Z|Z=xy+1,x∈A,y∈B},设集合A={0,1},集合B={1,2,3},则集合A*B的子集的个数是(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 10.已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},那么这样的集合M的个数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 11.已知集合U,S,T,F的关系如图所示, ①S∈U;②F⊆T;③S⊆T;④S⊆F;⑤S∈F;⑥F⊆U. 则上述关系正确的是　　　　.(填写正确关系的序号)  知识点2　集合相等及其应用 12.下列集合中表示同一集合的是(　　) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} C.M={4,5},N={5,4} D.M={1,2},N={(1,2)} 13.下列集合与集合{2 021,2 022}相等的是(　　) A.{(2 021,2 022)} B.{x|(x-2 022)(x-2 021)=0} C.{x|2 021<x<2 022} D.{(x,y)|x=2 021,y=2 022} 14.若集合A=,B=,,则集合A,B之间的关系表示最准确的为(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.A=B D.A与B互不包含 15.已知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3},若A=B,则实数a=　　　　.  知识点3　空集的定义及性质 16.下列集合中表示空集的是　(　　) A.{x∈R|x+5=5} B.{x∈R|x+5>5} C.{x∈R|x2=0} D.{x∈R|x2+x+1=0} 17.下列集合中表示空集的是　(　　) A.{x∈R|x2-1=0} B.{x|x>6或x<1} C.{(x,y)|x2+y2=0} D.{x|x>6且x<1} 18.(多选)给出下列四个集合,其中为空集的是(　　) A.{⌀} B.{x∈R|x2+x+3=0} C. D.{x∈R||x|<0} 19.若集合A={x|x2-2x+m=0}=⌀,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m<-1} B.{m|m<1} C.{m|m>1} D.{m|m≥1} 20.已知集合Q={x|k+1≤x≤2k-1}=⌀,则实数k的取值范围是　　　　.  知识点4　由集合间的关系求参数 21.已知集合A={1,5,a2},B={1,2a+3},且B⊆A,则a=(　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 22.已知集合A={x||x|≤2},B={-t,t},且B⊆A,则实数t的取值范围是(　　) A.{t|-2≤t≤2} B.{t|-2<t<2} C.{t|-2<t<2且t≠0} D.{t|-2≤t≤2且t≠0} 23.已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值为(　　) A.或- B.-或 C.或-或0 D.-或或0 24.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⫋A,求实数m的取值范围. 变式24-1　若条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}”,其他条件不变,求m的取值范围. 变式24-2　若条件“B⫋A”改为“A⊆B”,其他条件不变,求m的取值范围. C组　综合知识点 限时25分钟 25.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⫋C⫋B的集合C的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 26.已知集合A={x|y=,x∈N},B={0,1,2,3,4,5},则A与B之间的关系是(　　) A.A=B B.B⊆A C.A∈B D.A⊆B 27.已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B⊆A,则实数a的取值范围为(　　) A. B. C.{a|a<-1或a≥0} D. 28.同时满足:①M⊆{1,2,3,4,5},②a∈M,且6-a∈M的非空集合M有(　　) A.6个 B.7个 C.15个 D.16个 29.集合U={0,1,2,3,4,5},A是U的子集,当x∈A时,若有x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么U的子集中无“孤立元素”且含有四个元素的集合的个数是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 30.(已知m∈R,n∈R,若集合={m2,m+n,0},则m2 023+n2 023的值为　(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 31.已知集合A,B,C,且A⊆B,A⊆C,若B={1,2,3,4},C={0,1,2,3},则所有满足要求的集合A中的各个元素之和为　　　　.  32.设全集U={2,3,5,6,9},对其子集引进“势”的概念:①空集的“势”最小;②非空子集的元素越多,其“势”越大;③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大,最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列,则排在第23位的子集是　　　　.  33.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若A是空集,求a的取值范围; (2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来. 34.已知集合P={x|x2-3x+b=0},Q={x|(x+1)(x2+3x-4)=0}. (1)当b=4时,写出所有满足条件P⫋M⊆Q的集合M; (2)若P⊆Q,求实数b的取值范围. D组　高考怎么考 限时5分钟 35.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2 B.1 C. D.-1 36.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则下列结论正确的是(　　) A.S⊆T B.T⊆S C.T⫋S D.S=T 1.2　集合间的基本关系 1.(1)任意一个　子集　A⊆C　(2)x∈B,且x∉A　(3)任何一个　任何一个　(4)任何　⌀　任何集合　(5)2n　2n-1　2n-2 2.(1)✕　(2)√　(3)✕　(4)√　(5)√　(6)√ (7)✕　 3.解题思路　由题意知,A⊆B,A⊆C成立,它们的关系可用Venn图(如图)表示. 4.C　5.D　 6.解题思路　(1)由于B中的每个元素都属于A,而4∈A且4∉B,故B⫋A. (2)由于C和D包含的元素都是1和-1,故C=D. (3)集合E中的元素是数,集合F中的元素是实数对,因此两集合之间无包含关系. (4)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故H⫋G. 7.C　集合P中的元素有4个,故其真子集的个数为24-1=15.故选C. 8.C　由M⊆N知表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中.故选C. 9.C　由已知得A*B={1,2,3,4},所以集合A*B的子集的个数是24=16,故选C. 10.C　因为{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},所以集合M可以为{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},{1,2,3,4},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5},共8个,故选C. 11.答案　③⑥ 12.C　A选项,(3,2)与(2,3)不是同一个点,A选项错误; B选项,集合M是点集,集合N是数集,B选项错误; C选项,根据集合中的元素具有无序性可知M,N是同一个集合,C选项正确; D选项,集合M是数集,集合N是点集,D选项错误.故选C. 13.B　{(2 021,2 022)},{(x,y)|x=2 021,y=2 022}都表示单元素集合,而题干中给出的集合有两个元素,A,D不符合题意;{x|2 021<x<2 022}表示有无数个元素的集合,C不符合题意;{x|(x-2 022)(x-2 021)=0}={2 021,2 022},B符合题意.故选B. 14.C　对于集合A,当k=2n(n∈Z)时,A=,当k=2n-1(n∈Z)时,A=,所以A=B.故选C. 15.答案　3 解题思路　因为A=B,所以a2=2a+3,即a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3. 当a=-1时,a2=1,与集合中元素的互异性矛盾,不合题意; 当a=3时,A=B={0,1,9},满足题意.所以a=3. 易错警示　根据集合相等列出关于参数的方程,解得参数的值后要根据集合中元素的互异性进行验证,否则会出现多解的情况. 16.D　对于A,集合可化为{0};对于B,集合可化为{x|x>0};对于C,集合可化为{0};对于D,由于Δ=12-4×1×1=-3<0,方程无解,故该集合为空集.故选D. 17.D　对于A,{x∈R|x2-1=0}={1,-1},对于B,{x|x>6或x<1}不是空集,对于C,{(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)},对于D,{x|x>6且x<1}=⌀,故选D. 18.BCD　对于A,{⌀}中的元素是⌀,故A中的集合不是空集; 对于B,Δ=12-4×3=-11<0,∴关于x的方程x2+x+3=0无实根,故B中的集合为空集; 对于C,方程x=-无实数解,故C中的集合为空集; 对于D,不等式|x|<0的解集是空集,故D中的集合为空集.故选BCD. 19.C　∵A={x|x2-2x+m=0}=⌀, ∴关于x的方程x2-2x+m=0无解,即Δ=4-4m<0, 解得m>1,则实数m的取值范围是{m|m>1},故选C. 20.答案　{k|k<2} 解题思路　∵Q={x|k+1≤x≤2k-1}=⌀,∴2k-1<k+1,解得k<2,因此实数k的取值范围是{k|k<2}. 21.D　由B⊆A得2a+3=5或a2=2a+3.若2a+3=5,则a=1,此时a2=1,不满足集合中元素的互异性;若a2=2a+3,则a=3或a=-1,当a=-1时,a2=1,不满足集合中元素的互异性,易知a=3符合题意.综上,a=3.故选D. 22.D　由题意得A={x|-2≤x≤2},所以由B⊆A得解得-2≤t≤2且t≠0,所以实数t的取值范围是{t|-2≤t≤2且t≠0}.故选D. 23.D　易得A={-3,2}.∵B⊆A,∴-3∈B或2∈B或B=⌀, ∴-3a-1=0或2a-1=0或a=0,∴a=-或a=或a=0.故选D. 24.解题思路　当B≠⌀时,如图所示. 由图可得或解得2≤m≤3. 当B=⌀时,由m+1>2m-1,得m<2. 综上,实数m的取值范围是{m|m≤3}. 解后反思　(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时,可化抽象为直观,要注意端点值的取舍,“含”用实心点表示,“不含”用空心圈表示. (2)涉及“A⊆B”或“A⫋B且B≠⌀”的问题时,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论,不要忽视A为空集的情况. 变式24-1　当B=⌀时,由m+1>2m-1,得m<2. 当B≠⌀时,如图所示. 由图可得解得2≤m<3. 综上,m的取值范围是{m|m<3}. 变式24-2　当A⊆B时,如图所示,此时B≠⌀. 由图可得解得 ∴m不存在,即不存在实数m使A⊆B. 25.B　集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},集合B={x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4},由A⫋C⫋B,可知集合C一定包含1,2这两个元素,但有且仅有3或4中的一个元素.∴集合C的个数为2,故选B. 26.D　A={x|y=,x∈N}={0,1,2,3,4},B={0,1,2,3,4,5},故A⊆B.故选D. 27.A　当B=⌀,即ax+1≤0无解时,a=0,满足题意. 当B≠⌀,即ax+1≤0有解时,a≠0, 若a>0,则B=,所以要使B⊆A,需满足解得0<a<1; 若a<0,则B=,所以要使B⊆A,需满足解得-≤a<0. 综上,实数a的取值范围为.故选A. 28.B　a=1时,6-a=5;a=2时,6-a=4;a=3时,6-a=3;a=4时,6-a=2;a=5时,6-a=1, ∴非空集合M为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.故选B. 29.B　∵U={0,1,2,3,4,5}, ∴U的子集中无“孤立元素”且含有四个元素的集合有{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个,故选B. 30.B　易知m≠0,因为={m2,m+n,0},所以=0,即n=0,所以{m,0,1}={m2,m,0}. 所以m2=1且m2≠m,所以m=-1, 所以m2 023+n2 023=(-1)2 023+02 023=-1. 故选B. 31.答案　24 解题思路　∵集合A,B,C,且A⊆B,A⊆C,B={1,2,3,4},C={0,1,2,3},∴集合A是集合B,C的子集, 又集合B,C的公共元素是1,2,3, ∴A=⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, ∴所有满足要求的集合A中的各个元素之和为4×(1+2+3)=24. 32.答案　{3,5,9} 解题思路　对于全集U,不含任何元素的子集有1个,含有一个元素的子集有5个,含有两个元素的子集有10个,含有3个元素的子集有10个,因为1+5+10+10=26>23,所以排在第23位的子集在含有3个元素的子集中,排在第26位的子集为{5,6,9},排在第25位的子集为{3,6,9},排在第24位的子集为{2,6,9},排在第23位的子集是{3,5,9}. 33.解题思路　(1)若A是空集,则关于x的方程ax2-3x+2=0无解,故a≠0且Δ=9-8a<0,解得a>,故a的取值范围为. (2)若A中只有一个元素,则a=0或a≠0,Δ=9-8a=0,解得a=0或a=. 当a=0时,-3x+2=0,解得x=.此时A中的元素为. 当a=时,x2-3x+2=0,解得x=.此时A中的元素为. 34.解题思路　(1)集合Q={x|(x+1)(x2+3x-4)=0}={x|(x+1)(x+4)(x-1)=0}={-1,1,-4}, 当b=4时,集合P=⌀, 由P⫋M⊆Q可得P是M的真子集,M是Q的非空子集. 故满足条件的集合M共有23-1=7个,分别为{-1}、{1}、{-4}、{-1,1}、{-1,-4}、{1,-4}、{-1,1,-4}. (2)当P=⌀,即Δ=9-4b<0时,P⊆Q,此时b>. 当P≠⌀,即b≤时,若P⊆Q,则关于x的方程x2-3x+b=0有实数根,且实数根是-1,1,-4中的数. 若-1是关于x的方程x2-3x+b=0的实数根,则有b=-4,此时P={-1,4},不满足P⊆Q,故舍去. 若1是关于x的方程x2-3x+b=0的实数根,则有b=2,此时P={1,2},不满足P⊆Q,故舍去. 若-4是关于x的方程x2-3x+b=0的实数根,则有b=-28,此时P={-4,7},不满足P⊆Q,故舍去. 综上,实数b的取值范围为. 35.B　∵A⊆B,0∈A,∴0∈B. 当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.综上,a=1,故选B. 解题关键　根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论. 36.C　解法一:(元素分析法)两个集合分别是由除以2余1,除以4余1的整数组成的集合,故T⫋S,故选C. 解法二:(列举法)分别列举集合S={…,-3,-1,1,3,5,7,9,…},T={…,-3,1,5,9,…},可以发现T⫋S,故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $