1.1 集合的概念(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 A组　教材夯基础 限时10分钟 1.(填一填,记一记) (1)常用数集及其记法 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 　  N*或N+ 　   Q 　  (2)列举法:把集合的所有元素　 　出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.  (3)描述法:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有　　　 　　的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}.  2.(判对错) (1)与定点A,B等距离的点能构成集合. (　　) (2)由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5. (　　) (3)高中生中的游泳能手能构成集合. (　　) (4)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}. (　　) (5)集合{(1,2)}中的元素是1和2. (　　) (6)若a∈Q,则|a|∈Q. (　　) (7){x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合. (　　) 3.(多选)下列每组研究对象中能构成集合的是(　　) A.中国各地风景优美的乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.截止到2025年1月1日,参与“一带一路”的国家 4.集合M={x|-2<x<1},则下列关系正确的是(　　) A.∈M B.0∉M C.1∈M D.- ∈M 5.已知A={x|x=3k+1,k∈Z},问:-1,5,7三个数中,哪些数是A中的元素? 6.用适当的方法表示下列集合: (1)一年中有31天的月份的全体; (2)大于-3.5且小于12.8的整数的全体; (3)梯形的全体构成的集合; (4)所有能被3整除的数的集合; (5)方程(x-1)(x-2)=0的解集; (6)不等式2x-1>5的解集. B组　单一知识点 限时20分钟 知识点1　集合的概念与元素的特征 7.(多选)下列对象能组成集合的是(　　) A.不超过20的质数 B.π的近似值 C.方程x=1的实数根 D.函数y=x,x∈R的最小值 8.下列各组对象不能构成集合的是(　　) A.参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B.小于5的正整数 C.2025年高考数学难题 D.所有无理数 9.下列说法中,正确的有　　　　.(填序号)  ①单词book的所有字母组成的集合中元素共有4个; ②集合M中有3个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形; ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合. 知识点2　元素与集合的关系 10.下列元素与集合的关系中,正确的是(　　) A.-3∈N* B.∈R C.∈Z D.0∉N 11.已知集合A={x|x=2k,k∈Z},则(　　) A.-1∈A B.1∈A C.-∈A D.2∈A 12.设集合A=,则集合A=　　　　.  知识点3　集合中元素特性的简单应用 13.已知A={a-2,2a2+5a,12},若-3∈A,则由a的值构成的集合是(　　) A.⌀ B. C.{-1} D. 14.集合A={x|(x-1)·(x2-4x+a)=0,a∈R}中恰好有两个元素,则实数a满足的条件是　　　　　.  15.设a,b∈R,集合A中含有三个元素1,a+b,a,集合B中含有三个元素0,,b,且A,B中的元素完全相同,则a2+b2=　　　　.  知识点4　集合的表示方法 16.已知集合A={0,1,2},则集合B={xy|x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 17.已知集合M={(x,y)|x∈N,y∈N,x+y<2},则M中元素的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 18.选择适当的方法表示下列集合,并指出哪些是有限集,哪些是无限集. (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A; (2)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合E; (3)不等式2x-3<5的解组成的集合F. C组　综合知识点 限时20分钟 19.若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素,则实数a=(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 20.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为　(　　) A.9 B.8 C.5 D.4 21.若a,b,c,d为集合A中的4个元素,则以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是(　　) A.菱形 B.平行四边形 C.梯形 D.正方形 22.(多选)已知集合M={x|x=m2-n2,m,n∈Z},则(　　) A.22∈M B.24∈M C.任意x=2k-1,k∈Z,x∈M D.任意x,y∈M,xy∈M 23.(多选)设集合X是实数集R的子集,如果点x0∈R满足:对任意a>0,都存在x∈X,使得0<|x-x0|<a,称x0为集合X的聚点,则在下列集合中,以0为聚点的集合有(　　) A.{x|x∈R,x≠0} B.{x∈Z|x≠0} C. D. 24.已知a,b均为非零实数,集合A=,则集合A中的元素的个数为　　　　.  25.根据要求写出下列集合. (1)已知-5∈{x|x2-ax-5=0},用列举法表示集合{x|x2-4x-a=0}; (2)已知集合A=,用列举法表示集合A; (3)已知方程组分别用描述法、列举法表示该方程组的解集; (4)已知集合B={(x,y)|2x+y-5=0,x∈N,y∈N},用列举法表示该集合; (5)用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点组成的集合. 26.已知集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},M={x|x=6n+3,n∈Z}. (1)若m∈M,则是否存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立? (2)对任意a∈A,b∈B,是否一定存在m∈M,使a+b=m?证明你的结论. 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 1.(1)N　Z　R (2)一一列举　(3)共同特征P(x) 2.(1)√　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)✕　(6)√　(7)✕ 3.BCD　4.D 5.解题思路　令x=3k+1=-1,解得k=-,但-∉Z,所以-1∉A; 令x=3k+1=5,解得k=,但∉Z,所以5∉A; 令x=3k+1=7,解得k=2,2∈Z,所以7∈A. 所以7是A中的元素. 6.解题思路　(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. (2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. (3){a|a是梯形}或{梯形}. (4){x|x=3n,n∈Z}. (5){1,2}. (6){x|x>3}. 7.ACD　对于A,不超过20的质数是明确的,满足集合性质,能组成集合; 对于B,π的近似值是不明确的,不满足确定性,不能组成集合; 对于C,方程x=1的实数根是明确的,满足集合性质,能组成集合; 对于D,函数y=x,x∈R不存在最小值,故D中对象能组成空集.故选ACD. 方法总结　判断一组对象能否组成一个集合,关键要看是否有一个明确的客观标准来界定这些对象.若界定对象的客观标准是明确的,则这些对象能组成集合,否则不能组成集合. 8.C　对于A,参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知,能构成集合;对于B,小于5的正整数明确可知,能构成集合;对于C,2025年高考数学难题的界定不明确,不能构成集合;对于D,无理数明确可知,能构成集合.故选C. 9.答案　② 解题思路　①不正确.单词book中有3个不同的字母,故元素个数是3. ②正确.集合M中有3个元素a,b,c,所以a,b,c都不相等,故以a,b,c为三边长的三角形不可能是等腰三角形. ③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数,故集合是相同的. 10.B　-3不是正整数,是无理数,则必是实数,是分数,不是整数,0是自然数,故选B. 11.D　集合A={x|x=2k,k∈Z},故集合A表示的是偶数集,所以2∈A.故选D. 12.答案　{0,1,3,9} 解题思路　因为y=∈N,所以x+3的取值可以是1,2,3,4,6,12,所以x的取值可以是-2,-1,0,1,3,9, 又x∈N,所以x的取值可以是0,1,3,9.所以A={0,1,3,9}. 13.D　∵-3∈A,∴当a-2=-3,即a=-1时,A={-3,-3,12},集合中有相同元素,不符合题意;当2a2+5a=-3,即a=-1(舍)或a=-时,A=,符合题意.故由a的值构成的集合是.故选D. 14.答案　a=3或a=4 解题思路　由关于x的方程(x-1)(x2-4x+a)=0得x=1或x2-4x+a=0. 当关于x的方程x2-4x+a=0存在两个相等的实数根时,Δ=(-4)2-4×1×a=0,解得a=4, 此时方程x2-4x+4=0的解为x=2,2≠1,符合题意; 当关于x的方程x2-4x+a=0存在两个不相等的实数根且其中一个根为1时,12-4×1+a=0,解得a=3,解x2-4x+3=0得x=1或x=3,符合题意. 综上所述,集合A中恰好有两个元素,则实数a满足的条件是a=3或a=4. 15.答案　2 解题思路　易知a≠0,a≠1,则根据题意可知a+b=0,b=1或=1, 若b=1,则由a+b=0得a=-1,经检验,符合题意; 若=1,则a=b, 又a+b=0,所以a=b=0,不符合题意. 综上,a=-1,b=1.故a2+b2=(-1)2+12=2. 16.C　集合A={0,1,2},B={xy|x∈A,y∈A},当x=0时,xy=0;当x=1时,xy的取值为0,1,2;当x=2时,xy的取值为0,2,4.所以B={xy|x∈A,y∈A}={0,1,2,4},则B中元素的个数是4.故选C. 17.D　因为M={(x,y)|x∈N,y∈N,x+y<2},所以M={(0,0),(0,1),(1,0)},故集合M中元素的个数为3,故选D. 18.解题思路　(1)A={x|1<x<70,x∈N*},是有限集. (2)E={(x,y)|y=-2x2+x},是无限集. (3)由2x-3<5,得x<4,所以F={x|x<4},是无限集. 19.D　当a=0时,由ax2-2x+1=0可得x=,满足题意; 当a≠0时,由ax2-2x+1=0只有一个根需满足Δ=(-2)2-4a=0,解得a=1. 综上,实数a的取值为0或1.故选D. 20.A　A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共9个元素.故选A. 21.C　因为a,b,c,d为集合A中的4个元素, 所以a,b,c,d两两不相等, 因为菱形、正方形的四边相等,所以A、D错; 平行四边形的对边相等,所以B错.故排除A、B、D.故选C. 22.BCD　由x=m2-n2=(m+n)(m-n),m,n∈Z,易知m+n,m-n同为奇数或同为偶数,所以x为奇数或4的倍数,故A错误,B正确; 因为2k-1=k2-(k-1)2,且k-1,k∈Z,所以x=2k-1∈M,故任意x=2k-1,k∈Z,x∈M成立,故C正确; 由对A,B的分析知x,y为奇数或4的倍数, 当x,y中至少有一个为4的倍数时,xy为4的倍数,所以xy∈M,当x,y都为奇数时,xy为奇数,所以xy∈M, 故任意x,y∈M,xy∈M,故D正确.故选BCD. 23.AC　对于集合{x|x∈R,x≠0},对任意的a>0,都存在x=,使得0<|x-0|=<a,所以0是集合{x|x∈R,x≠0}的聚点,A选项正确; 对于集合{x∈Z|x≠0},对于某个实数a>0,比如a=0.5,此时对任意的x∈{x∈Z|x≠0},都有|x-0|≥1>0.5,也就是说,不存在x,使得0<|x-0|<a,从而0不是集合{x∈Z|x≠0}的聚点,B选项错误; 对于集合,对任意的a>0,都存在n>,即<a,使0<|x-0|=<a,所以0是集合的聚点,C选项正确; 对于集合,=1-,易知随着n增大而增大,故的最小值为=,故当a<时,不存在x,使得0<|x-0|<a,D选项错误.故选AC. 24.答案　2 审题指导　通过对a,b的正负的分类讨论,利用绝对值的定义去掉绝对值符号,然后进行运算,求出集合中的元素,进而可得元素的个数. 解题思路　当a>0,b>0时,x=++=1+1+1=3, 当a>0,b<0时,x=++=1-1-1=-1, 当a<0,b>0时,x=++=-1+1-1=-1, 当a<0,b<0时,x=++=-1-1+1=-1. 故A={-1,3}.故答案为2. 25.解题思路　(1)∵-5∈{x|x2-ax-5=0}, ∴(-5)2-a×(-5)-5=0,解得a=-4. 易得x2-4x+4=0的解为x=2, ∴用列举法表示集合{x|x2-4x-a=0}为{2}. (2)∵∈N,∴8-x可取的值为1,2,4,8,16, ∴x可取的值为7,6,4,0,-8. 又∵x∈N,∴x可取的值为7,6,4,0, ∴可取的值为2,4,8,16,∴A={2,4,8,16}. (3)由解得 ∴用描述法表示该方程组的解集为{(x,y)|x=1,y=2},用列举法表示该方程组的解集为{(1,2)}. (4)当x=0时,y=5,当x=1时,y=3,当x=2时,y=1, 当x≥3时,y<0, ∴用列举法表示该集合为{(0,5),(1,3),(2,1)}. (5)坐标轴上的点满足x=0或y=0,即xy=0,则所求集合可表示为{(x,y)|xy=0}. 26.解题思路　(1)设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z), 令a=3k+1(k∈Z),b=3k+2(k∈Z),则m=a+b. 故若m∈M,则存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立. (2)对任意a∈A,b∈B,不一定存在m∈M,使a+b=m成立.证明如下: 设a=3k+1,b=3l+2,k,l∈Z,则a+b=3(k+l)+3,k,l∈Z. 当k+l=2p(k,l,p∈Z)时,a+b=6p+3∈M,此时存在m∈M,使a+b=m成立; 当k+l=2p+1(k,l,p∈Z)时,a+b=6p+6∉M,此时不存在m∈M,使a+b=m成立. 故对任意a∈A,b∈B,不一定存在m∈M,使a+b=m. 学科网（北京）股份有限公司 $