精品解析：四川省广安中学2025-2026学年高三上学期高考冲刺月测二（9月）数学试题

广安中学2026年高考冲刺月测二 九月月测数学试题 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得出答案. 【详解】由题可知，又因为，故. 故选：C 2. 已知数列满足且，则“数列为等差数列”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若，则利用等差数列的定义可判断；若为等差数列，利用求出或，检验得出时满足题意. 【详解】当时，，则为等差数列，必要必成立； 因且，有，，， 因为为等差数列，有，即， 解得或， 当时，，即， 因，则恒成立，即为等差数列，充分性不成立. 故选：A. 3. 已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件应用正弦定理结合基本不等式得出最大值，再应用二倍角公式及弦化切计算求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 所以当且仅当，即时等号成立，即取最大值， 又因为，所以， 所以， 由于，且， 所以. 4. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数导数公式求导，进而求切线方程并得到，即可求目标式的值. 【详解】对求导得． 令，得在点处的切线的斜率， 在点处的切线方程为． 令，得， ． 故选：B 5. 已知函数．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过对变量替换，即令，将原函数变为，通过求导判断的单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为，最终求解一元二次不等式. 【详解】令，则原函数可改写为：， 定义辅助函数，则， 由，故是奇函数， ，又（当且仅当时取等号），且,, 因此，在上严格递增， 原不等式转化为：，即， 因为为奇函数，即，所以， 又在上严格递增，故，所以，得， 故选：A 6. 下列函数是周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和周期性的定义来逐一分析选项. 【详解】对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.  对于函数，因为，所以是偶函数. 又因为，所以的周期是，满足题目要求，所以选项正确.  对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，但由于不满足偶函数条件，所以选项错误.  对于函数，根据诱导公式，可知是偶函数. 但的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.  满足周期为的偶函数的函数是. 故选：B. 7. 已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 【详解】已知函数，数列满足. ①充分性： 若为递增数列，则对于所有，满足，即. 当时，成立，即 ：， ：， ：， ：需要满足，即， 当，，要使在时单调递增，则. 综上，若数列递增，则， 所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性. ②必要性： 若，则，由①知当时为递增数列， 所以“”能满足“数列递增”， 即“数列递增”是“”的必要条件. 所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对已知等式进行变形，构造，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结合特殊值法，逐个判断. 【详解】已知，将等式进行移项可得. 根据对数运算法则，进一步变形为. 因为，则， 所以， 令，对求导可得，所以在上单调递增. 因为，，， 所以， 根据的单调性可知，即， 再根据对数函数的性质，所以，C错，D对； 若，此时，且， 而， 所以，则，此时，排除A， 若，此时，且， 若时，，必有，排除B； 故选：D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，共18分. 9. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，一一列举，分别分析选项即可. 【详解】由可知， 则，可知B、D正确，A、C错误. 故选：BD 10. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】CD 【解析】 【分析】分别对选项中的两函数的定义域、对应关系、值域进行逐一判断，只有三者完全相同才符合题意，即可得出结论. 【详解】对于A，易知函数的定义域为，而的定义域为， 两函数定义域不同，所以表示的不是同一函数，A错误； 对于B，函数的定义域为，而定义域为， 两函数定义域不同，所以表示的不是同一函数，B错误； 对于C，由可知定义域为，函数定义域为， 对应关系和值域也相同，所以表示的是同一个函数，即C正确； 对于D，函数解析式与表示字母无关，所以，表示的是同一个函数，即D正确； 故选：CD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，则有三个零点 B. 当且时， C. ， D. 若存在极值点和对称中心，且，其中，则成等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】令求出可判断A；利用导数判断出在上的单调性可判断B；计算出可判断C；令可得，，再由、得、，最后、相乘可得答案. 【详解】对于A，当时，，令可得， 解得，或，则有2个零点，故A错误； 对于B，当时，，， 时，，单调递减，且， 可得，所以，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D，，令可得， ， 再由得， 由于，化简得， 可得，即 ，因为，所以， 同理可得，所以，即， 又因为，所以，即， 所以， 则成等比数列，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：共3小题，每小题5分，13①为2分，13②为3分，共15分 12. 给出下列命题： ①函数与互为反函数，其图象关于直线对称； ②已知函数，则； ③当且时，函数的图象必过定点（2，－2）； ④用二分法求函数在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1； ⑤函数的零点有2个． 其中所有正确命题的序号是_________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】 由反函数的概念可判断①，代入运算可判断②，由指数函数的性质可判断③，由二分法的概念可判断④，由零点存在性定理可判断⑤. 【详解】对于①，由反函数的定义可得函数与互为反函数，其图象关于直线对称，故①正确； 对于②，由可得，故②错误； 对于③，因为，所以函数的图象必过定点， 故③正确； 对于④，用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过4次二分后精确度达到0.1，故④错误； 对于⑤，由，，所以函数在上存在零点， 且，，所以2，4也是函数的零点，故⑤错误. 故答案为：①③. 13. 若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则的对称中心为______不等式的解集为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设函数的对称中心为，再由奇函数的定义代入计算，即可得到其对称中心，可化为即，结合单调性从而求解． 【详解】设函数的对称中心为，则为奇函数， 所以，所以， 即， 整理可得， 所以恒成立，则， 即，所以， 所以函数的对称中心为， 所以，从而可化为，即， 由为上单调递减函数， 所以，即． 故的解集为． 故答案为：；. 14. 设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到，再运用导数的性质进行求解即可. 【详解】 ， 令， 所以， 要想有最小值，显然为钝角，即， 于是有， 设， 因为， 所以 令，即， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此当时，函数有最大值， 所以的最小值为， 此时，， 即存在，显然存在，使得， 即的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形内角和定理把三个变量变成二个变量问题，最后利用辅助角公式就成一个变量，利用导数的性质求最值. 四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题，每题15分，18-19题，每题17分，共77分. 15. 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 （1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； （2）试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； （3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 【答案】（1） （2） （3）青年人 【解析】 【分析】（1）由题干可知总人数为，对酸奶满意的人数为，由此可得结果； （2）用样本频率估计总体概率，可得该地区青年人对酸奶满意的概率.青年人共人，满意的人数为，即可得结果； （3）根据消费群体中满意的人数与总人数的比值，计算出各人群的满意度，再计算提高后各个群体增加的满意人数，增加的人数更多的即为所选. 【小问1详解】 设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A， 样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为， 所以． 【小问2详解】 用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率． 【小问3详解】 青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大. 理由如下： 老年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 中年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 青年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1， 人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简得解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则， 因此，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知得，解得， 由，得， 由余弦定理得，则， 所以. 17. 如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1） 在上底面的投影为的重心． 平面，平面，， ，， 是等边三角形，是的中点，故， ，平面，平面，平面， 又因为平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）解法一：延长交于点，则为平面与平面的夹角，然后利用直角三角形知识求解，再结合利用诱导公式求解即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法及同角三角函数关系求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：延长交于点，如图所示， 由（1）知平面，故为平面与平面的夹角， ，， 设棱长为1，则，为重心，，，， 平面与平面的夹角的正弦值为. 解法二：设，有，，，可求得， 由，，可得， 又由平面，以为坐标原点， ，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为， 有，取，，，可得， 又由平面的一个法向量为，有，，， 有， 故平面与平面的夹角的正弦值为． 18. 已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）证明如下： 设， ， ， 由得，故切线：，即， 同理可得切线： ， 在两条切线，则，所以直线，即， 因，故，故直线恒过定点. （法二） 当直线斜率存在时，设， 联立，得 设，，， ，，， 由得故切线，即 同理切线， 联立得，故， 代入直线得， 直线，所以恒过定点 当直线斜率不存在时，由对称性知，直线，也过定点 综上：直线恒过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式可得，进而可得解； （2）先设， ， ，求得切线方程，由切线交点可得直线的方程为，进而可得； （3）先求弦长，再求到直线的距离，可得，进而可得. 【小问1详解】 由题意故，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 联立，得， 由韦达定理可得，， 到直线的距离 当时，最小值为 （法二） 当直线斜率不存在时，直线，，到直线距离为8， 当直线斜率存在时 ， 所以到直线的距离， ， 当时，的最小值为3，故， 所以的面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，先用弦长公式表示，再用点到直线的距离公式表示到直线的距离，进而可得. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得， ， 要证， 即证， 即证， 即证， 令，即证在上恒成立. 令， ， 令， ， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增. ， ，得证， . 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，得解； （2）（ⅰ）问题转化为在上有两个根，，令，求导判断的单调性和最小值，问题转化为在上有两个根，分离参数，令，求导判断单调性最值，得解；（ⅱ）由（ⅰ）知，，可得，利用分析法转化为即证，令，即证在上恒成立，利用导数判断单调性求出最值得证. 【小问1详解】 当时，， 则，. 又，在处的切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题知，在上有两个根，， ，即. 令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 所以问题转化为在上有两个根. 易知，故， 令，则. 当时，，单调递增 当时，，单调递减. 又，时，，时，， 且时，；时，， ，解得，即参数的取值范围为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安中学2026年高考冲刺月测二 九月月测数学试题 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足且，则“数列为等差数列”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知函数．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数是周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，共18分. 9. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，则有三个零点 B. 当且时， C. ， D. 若存在极值点和对称中心，且，其中，则成等比数列 三、填空题：共3小题，每小题5分，13①为2分，13②为3分，共15分 12. 给出下列命题： ①函数与互为反函数，其图象关于直线对称； ②已知函数，则； ③当且时，函数的图象必过定点（2，－2）； ④用二分法求函数在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1； ⑤函数的零点有2个． 其中所有正确命题的序号是_________． 13. 若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则的对称中心为______不等式的解集为_____. 14. 设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________. 四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题，每题15分，18-19题，每题17分，共77分. 15. 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 （1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； （2）试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； （3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 17. 如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 18. 已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $