专题07 抛物线及其性质（期中真题汇编，黑龙江专用）高二数学上学期人教A版

专题07 抛物线及其性质 5大高频考点概览 考点01 抛物及其标准方程 考点02 抛物的简单几何性质 考点03 直线与抛物的位置关系 考点04 抛物线的中点弦、焦点弦问题 考点05 抛物中的参数、定点、定值、定值线及向量问题 ( 地 城 考点01 抛物线及其标准方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线的焦点坐标为(    ) A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知的两个顶点为，，且，的斜率之积等于，则（   ） A．当时，的轨迹为直线（去掉，两点） B．当时，的轨迹为双曲线（去掉，两点） C．当时，的轨迹为椭圆（去掉，两点） D．当时，的轨迹为抛物线（去掉，两点） 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江七台河·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x-2与抛物线C交于A，B两点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．点F到直线l的距离为 C．∠AOB D． 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 . 8．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为 ． 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线方程过点． (1)求抛物线方程． (2)求过焦点且倾斜角为的直线方程． ( 地 城 考点0 2 抛物线的简单几何性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线：，若上一点到准线的距离为3，则该点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）过抛物线：的焦点且垂直于轴的直线被双曲线：所截得线段长度为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（    ） A． B．抛物线的准线为直线 C． D．的面积为 6．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为10 C．三点共线 D． 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于原点的一点，过点且斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，则 . 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 . 9．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. (1)求线段的长. (2)为原点，求的面积. ( 地 城 考点0 3 直线与抛物线的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江大兴安岭·期中）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线：（）的焦点为，直线的斜率为且经过点，与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（    ） ①；②为的中点；③；④． A．①② B．②③ C．③④ D．①②③ 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线C：的焦点为F，，是抛物线上两点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．若，则线段MN的中点P到x轴的距离为6 C．若直线MN过点F，则 D．若，则的最小值为8 6．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·期中）已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为 . 8．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 . 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与曲线相交于、两点，直线，分别与交于点.    (1)求； (2)证明：以为直径的圆经过点； (3)记、的面积分别为、，若，求的取值范围. ( 地 城 考点0 4 抛物线的中点弦、焦点弦问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C．3 D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则 （　　） A．2或 B． C．2 D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B． C． D．若直线的倾斜角为，且，则 6．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ） A．点的坐标为 B．若直线过点，则 C．若，则的最小值为 D．若，则线段的中点到轴的距离为 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线和圆，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为 8．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知抛物线：的焦点为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，若为坐标原点的面积为，则 ． 9．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·期中）已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离. (1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程； (2)点在曲线上，若点的坐标为，求的最小值； (3)过作直线与曲线交于，两点（点在第一象限），若，求弦的长度. 10．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为． (1)求的方程； (2)已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程． ( 地 城 考点0 5 抛物线的参数、定点、定值、定值线及向量问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知为抛物线上一个动点，直线：，：，则到直线、的距离之和的最小值为 . A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线两点，直线分别与抛物线交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则四边形的面积最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．的最小值为4 C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．存在直线，使得两点关于对称 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线的两个交点、，则（ ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值 D．经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，且在第一象限，于点，线段与抛物线交于点，若的斜率为，则 8．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知直线：，抛物线上一动点到直线的距离为，则的最小值是 ． 9．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知抛物线，作直线，与抛物线交于两点，为坐标原点且，并且已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于两点，且，则的最小值为 10．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于两点. （ⅰ）若点，求的最小值； （ⅱ）为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由. 11．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点， ①求证：； ②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 12．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知点是抛物线上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点（位于对称轴异侧），（O为坐标原点）． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：直线l必过定点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线及其性质 5大高频考点概览 考点01 抛物及其标准方程 考点02 抛物的简单几何性质 考点03 直线与抛物的位置关系 考点04 抛物线的中点弦、焦点弦问题 考点05 抛物中的参数、定点、定值、定值线及向量问题 ( 地 城 考点01 抛物线及其标准方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义求出点的横坐标，最后将代入抛物线方程求出纵坐标. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点的坐标为，准线方程为. 已知点到焦点的距离，则点到准线的距离也为，即，解得. 因为点在抛物线上，且，所以. 又因为，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线的焦点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成标准式，即可求解. 【详解】由可得，故，则， 故焦点坐标为， 故选：C. 3．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知的两个顶点为，，且，的斜率之积等于，则（   ） A．当时，的轨迹为直线（去掉，两点） B．当时，的轨迹为双曲线（去掉，两点） C．当时，的轨迹为椭圆（去掉，两点） D．当时，的轨迹为抛物线（去掉，两点） 【答案】C 【分析】设，由条件求出的轨迹方程，根据的取值范围确定轨迹的形状即可． 【详解】设，由，的斜率之积等于， 得，即， 当时，方程为， ∴的轨迹是圆（去掉，两点），故A错误； 当时，方程为，且， ∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故B错误； 当时，方程为，且， ∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故C正确； 当时，方程为，且， ∴的轨迹为双曲线（去掉，两点），故D错误． 故选：C． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况，利用待定系数法求解即可. 【详解】若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得， 解得，所以抛物线的标准方程为； 若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得， 解得，所以抛物线的标准方程为． 故选：BD 6．（24-25高二上·黑龙江七台河·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x-2与抛物线C交于A，B两点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．点F到直线l的距离为 C．∠AOB D． 【答案】AB 【分析】根据抛物线方程求得准线、焦点，结合点到直线的距离公式、向量垂直、弦长等知识求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项正确. 直线，即， 到的距离为，B选项正确. 由解得或， 不妨设， 则， 所以，C选项错误. ，D选项错误. 故选：AB 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 . 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再借助抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设所求点的坐标为，依题意，，解得，而，则， 所以所求点的坐标为. 故答案为： 8．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为 ． 【答案】2 【分析】将点P坐标代入抛物线方程求出p，求出F，结合两点间距离公式计算即可求解. 【详解】把代入得， 所以C的焦点为， 所以． 故答案为：2 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线方程过点． (1)求抛物线方程． (2)求过焦点且倾斜角为的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程求解即可； （2）求出抛物线焦点，点斜式求直线方程即可. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以， 解得，所以抛物线方程为. （2）根据抛物线方程，所以抛物线的焦点坐标为， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 根据点斜式方程有：，整理有：. ( 地 城 考点0 2 抛物线的简单几何性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线：，若上一点到准线的距离为3，则该点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】由抛物线的定义结合两点间的距离即可求出答案. 【详解】由题得的准线方程为，设该点坐标为， 则，解得，所以， 所以该点到原点的距离为. 故选:C. 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）过抛物线：的焦点且垂直于轴的直线被双曲线：所截得线段长度为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据抛物线的焦点坐标及线段长度可求出的值，从而可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】易知抛物线的焦点坐标为， 所以点在双曲线上，即， 因为，所以解得. 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A. 3．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得. 【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点， 设，则由已知得：，由定义得：，故 在直角三角形中，， ，，从而得 ，，求得 所以抛物线的方程为． 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题. 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由抛物线的定义知道，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离最近的点即可得到最小值. 【详解】由抛物线方程可得焦点，准线方程为， 如图： 过点P作准线的垂线，垂足为N， 因为点P在抛物线上，所以，所以， 当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（    ） A． B．抛物线的准线为直线 C． D．的面积为 【答案】AD 【分析】根据焦半径公式求得判断A，进而利用抛物线方程求解准线及点的坐标判断BC，利用三角形面积公式求解面积判断D. 【详解】抛物线的准线为直线，设点在第一象限， 过点向准线作垂线垂足为，由抛物线的定义可知，解得， 则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误；    将代入抛物线方程，解得，故C错误； 焦点，点，即， 所以，故D正确； 故选：AD． 6．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为10 C．三点共线 D． 【答案】CD 【分析】设直线联立抛物线，应用韦达定理判断A；由，结合抛物线定义及基本不等式求最小值判断B；设，联立抛物线，应用韦达定理得，结合A分析求参数判断C；应用向量的坐标运算求判断D. 【详解】 设直线，联立方程组， 可得，且，则，A不正确； 由， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，不正确； 设，，联立，可得，且， 则，结合A分析得，即直线过点，正确； 由， ，正确. 故选：CD 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于原点的一点，过点且斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，则 . 【答案】 【分析】设出直线的方程，求得坐标，计算可得，即可得解． 【详解】是抛物线上异于原点的一点，则， 由题意知，直线的方程为， 即，即， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 故答案为：． 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 . 【答案】 【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过、分别作于，于，根据，推断出，点为的靠近的三等分点，设，则，连接，可知，推断出，进而求得点的横坐标，即可求得点的纵坐标，利用直线上的坐标即可得斜率的值． 【详解】设抛物线的准线为， 直线恒过定点 如图过、分别作于，于， 由，则， 点为的靠近的三等分点，设，则，连接， 则， ，点的横坐标为， 代入抛物线方程可得，，又，所以，即 . 故答案为：． 9．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. (1)求线段的长. (2)为原点，求的面积. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）求出直线方程，与抛物线方程联立，应用韦达定理，结合焦点弦长公式可得结果； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后由三角形的面积公式求解． 【详解】（1）∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1， ∴直线方程为， 由，得， 设，则， 则由抛物线焦点弦长公式得：． （2）点到直线的距离为， 则的面积． ( 地 城 考点0 3 直线与抛物线的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江大兴安岭·期中）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即得解； 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 当时，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条． 故选：C 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线：（）的焦点为，直线的斜率为且经过点，与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（    ） ①；②为的中点；③；④． A．①② B．②③ C．③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得的坐标，再由焦半径公式求，进一步求出，的值，逐一判断四个选项得答案． 【详解】解：如图， 则，直线的斜率为，则直线方程为， 联立，得． 解得：，， 由，解得． 抛物线方程为． 所以，则； ，， ，则为中点． 结论正确的是①②③． 故选：D． 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2， 所以，抛物线的方程为．设直线的方程为， 将此方程代入，整理得． 设，，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故选：B． 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，由此可得参数，进一步可得抛物线方程以及直线方程，联立结合韦达定理以及抛物线定义即可求解. 【详解】由题意是的中点，所以，， 由图知，所以， 又，所以， 所以， 而，所以直线， 联立抛物线方程得，，化简整理得， 所以，. 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线C：的焦点为F，，是抛物线上两点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．若，则线段MN的中点P到x轴的距离为6 C．若直线MN过点F，则 D．若，则的最小值为8 【答案】AD 【分析】对A，证明，故A正确；对B，点P到x轴的距离为4，故B错误；对C，把直线方程代入抛物线方程整理得，所以，故C错误；对D，由题得，当即的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确. 【详解】对A，，则，焦点F坐标为，准线方程为，∴，∵，∴，当且仅当时等号成立，故A正确； 对B，∵，根据抛物线定义得，则， 而由中点坐标公式得点P的纵坐标，即为点P到x轴的距离为4，故B错误； 对C，因为直线MN过点F，设直线方程为，代入抛物线方程整理得，所以，故C错误； 对D，若，则M，F，N三点共线，由题得 ， 当时的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确. 故选：AD．    6．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 【答案】BC 【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由直线，令，解得，所以抛物线的焦点， 所以，所以A选项错误，抛物线方程为，准线为， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项正确. 由上述分析可知，中点， 其到准线的距离是，所以以为直径的圆与相切， C选项正确. ， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：BC    三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·期中）已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为 . 【答案】 【分析】求出，设过点的直线方程为，将直线与抛物线联立，利用韦达定理可得，，根据向量可得，从而求出直线的倾斜角，即求. 【详解】因为点在抛物线：上， 所以，得，所以， 设过点的直线方程为：， 所以 ，所以， 设，， 所以，， 又因为，所以， 所以，因为直线的斜率， 由，所以或，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题. 8．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据抛物线的定义和几何性质，可得，，可得，进而可得的最大值为. 【详解】   如图，过点作，过作，设，， 则由抛物线的定义知，， 由题意知， 因得， ， 因，当且仅当，即时等号成立， 所以，， 所以， 故答案为： 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与曲线相交于、两点，直线，分别与交于点.    (1)求； (2)证明：以为直径的圆经过点； (3)记、的面积分别为、，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，即可得解； （2）利用斜率公式结合韦达定理计算得出，可得出，即可证得结论成立； （3）设的斜率为，则的方程为，将直线的方程分别与曲线、的方程联立，可求得点、的坐标，同理可得出点、的坐标，可求得、，进而可得出的表达式，利用基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意. 所以直线的斜率存在，设直线的方程为. 由得， 设、，则、是上述方程的两个实根， 于是. （2）因为点， 所以 ， 所以，即，所以为直径的圆经过点. （3）由已知，设的斜率为，则的方程为， 由解得或，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得点的坐标为. 所以， 由得，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得点的坐标， 于是， 因此， 当时，即当时，等号成立， 所以，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. ( 地 城 考点0 4 抛物线的中点弦、焦点弦问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由定义法求抛物线的焦点弦长即可得解. 【详解】由题意抛物线的准线为， 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果， 所以. 故答案为：D. 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据点差法和中点坐标公式即可求出； 【详解】解：设，，，， 由，， 相减可得， ， ， 故选：C． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】设出点后，求出直线的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段的长 【详解】设点、，抛物线的焦点为， 由于直线过点，且该直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立，消去并整理得，， 由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得 故答案为：8 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则 （　　） A．2或 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设．由得，由韦达定理得，因为直线与抛物线交于两个不同的点，所以即， 由抛物线的性质可知，再结合条件有，进而得而出答案． 【详解】解：设．由消去，得， 故，解得，且． 由，且成等差数列， 得，得， 所以，解得或，又，故， 故选C． 【点睛】圆锥曲线与直线相交问题是高考的重要考点，解题的一般方法是设出交点坐标，将直线方程与圆锥曲线方程联立，再通过韦达定理结合题意求解． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B． C． D．若直线的倾斜角为，且，则 【答案】ACD 【分析】根据抛物线焦点弦性质，抛物线定义，数形结合思想解决即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程是， 由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，联立 消去得， 设线段的中点， 所以， 所以点到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，故A正确； 由韦达定理，得，故B错误；， 所以 ，故C正确； 若直线的倾斜角为，且，则点在点左侧， 如图，直线与准线交于点，分别表示点到准线的距离， 则，设，则， 又， 所以，所以，故D正确. 故选:ACD. 6．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ） A．点的坐标为 B．若直线过点，则 C．若，则的最小值为 D．若，则线段的中点到轴的距离为 【答案】BCD 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；根据过焦点可知最小值为通径长，知C错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得点纵坐标，知D正确. 【详解】解：抛物线，即， 对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误； 对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为， 由，消去整理得，，，故B正确； 对于C，若，则直线过焦点， 所以， 所以当时， 的最小值为抛物线的通径长，故C正确； 对于D，，，即点纵坐标为， 到轴的距离为，故D正确. 故选：BCD. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线和圆，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为 【答案】 【分析】依题意由抛物线和圆方程可知焦点与圆心重合，设出直线方程并于抛物线联立，利用抛物线定义即可求得，由韦达定理和基本不等式即可求得其最小值为. 【详解】根据题意可知，抛物线的焦点为， 圆的圆心为，半径为，即焦点与圆心重合，如下图所示： 设直线的方程为，，且，， 联立直线和抛物线方程可得， 所以， 由抛物线定义可知，又易知， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以的最小值为. 故答案为： 8．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知抛物线：的焦点为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，若为坐标原点的面积为，则 ． 【答案】 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标，将代入抛物线方程，即可求出，再根据面积公式计算可得． 【详解】抛物线：的焦点为， 将代入可得，即有， 所以， 所以， 解得． 故答案为：． 9．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·期中）已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离. (1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程； (2)点在曲线上，若点的坐标为，求的最小值； (3)过作直线与曲线交于，两点（点在第一象限），若，求弦的长度. 【答案】(1)抛物线， (2)5 (3) 【分析】（1）由抛物线的定义可判断轨迹以及写出标准方程（2）可利用抛物线的定义，将焦半径转化为抛物线上的点到准线的距离，易知当三点共线时即可得到最值（3）利用抛物线的性质及几何关系，可将焦半径比例转化为直线倾斜角的正弦值，利用焦点弦公式即可求解 【详解】（1）由抛物线的定义可知，点的轨迹是以F为焦点为准线的抛物线，因此点的轨迹为抛物线，方程为 （2）如图，过M做准线的垂线，记垂足为P，由抛物线的定义可知, 所以,显然当三点共线时取最小值，此时，故的最小值为5 （3）如图，过分别作准线的垂线，记垂足分别为，再过作的垂线记垂足为. 由抛物线的定义可知同时又因为， 故 且 设直线的倾斜角为，易知 所以, 由焦点弦公式 所以弦的长度为 10．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为． (1)求的方程； (2)已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意写出点横坐标代入抛物线方程，求出三角形高，利用三角形求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在讨论，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，利用点差法求出斜率即可得解. 【详解】（1）由题意可知，点F的坐标为， 因为，所以点P的横坐标为，不妨设， 将点P坐标代入得， 所以的面积，解得， 所以C的方程是. （2）当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，点(1,1)显然不在x轴上，不合题意. 当直线AB的斜率存在时，不妨设直线AB的斜率为k ，， 则，两式相减得， 因为点(1,1)是线段AB的中点，所以， 所以 所以直线的方程为，即. ( 地 城 考点0 5 抛物线的参数、定点、定值、定值线及向量问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知为抛物线上一个动点，直线：，：，则到直线、的距离之和的最小值为 . A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知直线：为抛物线准线，那么根据抛物线性质得到到的距离就是到焦点F(1,0)距离,过焦点F（1，0）作的垂线交抛物线于P（该点即为要求的点），垂足为点D，则就是到直线、的距离之和的最小值. 故选A. 2．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，消去后得的方程，由韦达定理可求得，得到直线方程，根据方程特点可得答案. 【详解】当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不符合题意， 所以直线的斜率不为0，设其方程为，因为点在抛物线上， 所以设，所以， 解得或．又因为两点位于轴的两侧，所以． 联立得，所以， 即，所以直线的方程为，所以直线一定过点． 故选：A． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线相交问题常常采用此法，注意体会． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线两点，直线分别与抛物线交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设出的坐标，求得直线的方程，由此求得两点的坐标，由此求得. 【详解】依题意，设，所以的方程是，设，则，与抛物线方程联立可得，所以，，所以，即，同理可得，由于，所以，所以. 故选：D 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 4．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则四边形的面积最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，进而得最值. 【详解】由题意可知抛物线的方程为，圆恒的圆心为，半径为． 设，则 所以当时，切线长取得最小值， 此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选D． 【点睛】圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题．有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．的最小值为4 C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．存在直线，使得两点关于对称 【答案】BCD 【分析】对于A，根据抛物线定义即可得到；对于B，利用三角形两边之和大于第三边即可得到；对于C，借助直线与圆相切的性质即可得到；对于D，设出直线方程，与抛物线联立后，借助对称性思想即可得到. 【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误； 对于B：由，故，则，故B正确； 对于C：当直线过焦点时，设为，则， 故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为， 有圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切,故C正确； 对于D：设存在该直线，则与直线垂直，则该直线的斜率， 即可设该直线为，、分别设为、， 由，消去可得，， 则，即， 有，， 故，， 则弦的中点在直线上， 即有，解得， 故存在直线，使得两点关于对称，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线的两个交点、，则（ ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值 D．经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上 【答案】BCD 【分析】分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，由韦达定理可判断A选项；利用抛物线的定义可判断B选项；利用基本不等式可判断C选项；求出经过点与轴垂直的直线与直线交点的纵坐标，可判断D选项. 【详解】若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在，易知抛物线的焦点为， 设直线的方程为，联立，可得， ，由韦达定理可得，. 对于A选项，，A错； 对于B选项，设线段的中点为，则点到直线的距离为， ，所以，以为直径的圆与直线相切，B对； 对于C选项， ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项，经过点与轴垂直的直线的方程为， 因为，则，从而，直线的方程为， 联立，可得， 因此，经过点与轴垂直的直线与直线交点在定直线上，D对. 故选：BCD. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，且在第一象限，于点，线段与抛物线交于点，若的斜率为，则 【答案】 【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，设 则 ，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ． 【详解】 过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|， 设，则 ，∴．． ∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM， ． ∵tan∠PFx=， ，解得λ2=10．即λ＝． 即答案为. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题． 8．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知直线：，抛物线上一动点到直线的距离为，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】先求得抛物线的准线，过点作直线的垂线，交直线于点，过点作准线的分别交准线，轴于点，再结合图象，以及抛物线的定义，即可求解． 【详解】抛物线， 抛物线的准线为，焦点， 过点作直线的垂线交于点，如图所示： 由抛物线的定义可知，， 则， 当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值， ． 故答案为：． 9．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知抛物线，作直线，与抛物线交于两点，为坐标原点且，并且已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于两点，且，则的最小值为 【答案】 【分析】先联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及解得p，再设P,E,F坐标，表示，根据条件利用基本不等式求最值. 【详解】设 则由得，所以 因为，所以， ， 根据对称性不妨设， 由PE=PD得， 因此 ， 当且仅当时取等号，综上的最小值为. 【点睛】本题考查求抛物线方程、建立函数关系式以及利用基本不等式求函数最值，考查综合分析求解能力. 属于难题. 10．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于两点. （ⅰ）若点，求的最小值； （ⅱ）为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）设动点坐标，根据题意列出等式，化简出轨迹方程； （2）（i）设直线方程和交点坐标，联立方程组整理得到二次方程，由韦达定理得到点的坐标之间的关系，由抛物线的定义列出表达式，借助韦达定理的结论进行化简，由此得出最小值. （ii）斜率不存在时写出直线，斜率存在时，设直线方程和交点坐标，联立方程组，整理的二次方程，由韦达定理得到点的坐标的等式，由两点式写出直线方程，因为斜率不存在时，所以直接令，若为定值，则过定点. 【详解】（1）设动圆圆心为， 到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2， 则，化简得； 所以动圆圆心的轨迹方程为. （2）（i）设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 与的轨迹方程联立得 消去得， 由在抛物线内部，故，所以. 由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得， 所以当时，的最小值为； 当直线斜率不存在时，. 由抛物线定义知. 综上，的最小值为. （ii）情况1：直线斜率不存在时，直线的方程为. 情况2：直线斜率存在时， 设直线的方程为. 设直线的方程为. ，则 所以.则，所以.即 同理. 所以直线CD的方程为 令.则 所以定点为. 11．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点， ①求证：； ②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）由题意，设抛物线方程由，得由此能求出抛物线的方程； （2）①设，，由于为中点，则,故当轴时由抛物线的对称性知，当不垂直轴时，设，由，得，由此能够证明. ②设存在直线满足题意，则圆心，过作直线的垂线，垂足为，故，由此能够推出存在直线：满足题意． 【详解】（1）由题意，可设抛物线方程为． 由，可得， 抛物线的焦点为，， 抛物线的方程为； （2）①设，， 由于为中点且，则， 故当轴时，由抛物线的对称性知，一定有， 当不垂直轴时，显然直线的斜率不为，设， 由，得，， 则， 则，， 所以， 则， 综上证知，； ②设存在直线满足题意， 设圆心，过作直线的垂线，垂足为，圆与直线的一个交点为， ， 即   ， 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值， 因此存在直线：满足题意. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 12．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知点是抛物线上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点（位于对称轴异侧），（O为坐标原点）． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：直线l必过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）将点P坐标代入抛物线方程求出p即可； （2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去x，利用韦达定理代入，求出t即可得证. 【详解】（1）由题可知，，解得， 所以抛物线的方程为． （2）因为A，B位于对称轴异侧，所以l与对称轴不平行， 设直线l的方程为，，，且， 联立，消去x可得， 则，且，，即， 所以， 由，得，即，解得（舍去）或， 故直线l的方程为，所以直线l必过定点，得证．    试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $