专题06 双曲型及其性质（期中真题汇编，黑龙江专用）高二数学上学期人教A版

专题06 双曲型及其性质 4大高频考点概览 考点01 双曲型及其标准方程 考点02 双曲线的简单几何性质 考点03 直线与双曲线的位置关系 考点04 双曲线中的参数与最值、定点、定值、定值线及向量问题 ( 地 城 考点01 双曲线及其标准方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的一个焦点为，则等于（   ） A． B． C． D．8 2．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，P是一个动点，则（   ） A．若，则点P的轨迹为椭圆 B．若，则点P的轨迹为双曲线 C．若，则点P的轨迹为直线 D．若，则点P的轨迹为圆 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则 . 8．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 . 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆，圆． (1)证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的方程； (2)已知点，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为，求动点P的轨迹方程并说明轨迹图形． ( 地 城 考点0 2 双曲线的简单几何性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 3．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线，（，）F是左焦点，A、B分别是虚轴上、下两端点，C是它的左顶点，直线与直线相交于点D，若双曲线的离心率为，则的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知双曲线，则（    ） A．的焦点坐标是 B．的渐近线方程为 C．的虚轴长为 D．的离心率为 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（ ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到渐近线的距离为4 D．直线与直线的斜率乘积为 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 8．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ． 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）平面直角坐标系中，求经过两点的椭圆标准方程； （2）平面直角坐标系中，求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线标准方程. 10．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）（1）椭圆经过两点坐标分别是和，求椭圆标准方程. （2）双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程． ( 地 城 考点0 3 直线与双曲线的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）设经过点的等轴双曲线的焦点为、，此双曲线上一点满足，则的面积为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知两点，，则在下列曲线上存在点满足的方程有（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）（多选）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（　　） A．若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则F1M＝a B．若双曲线C的方程为1，则△PF1Q的面积为24 C．存在离心率为的双曲线满足条件 D．若3PF2＝QF2，则双曲线C的离心率为 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江大兴安岭地·期中）过点与双曲线只有一个公共点的直线有 条． 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过双曲线的右焦点且弦长为8的直线有 条. 9．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3. (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由． 10．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. ( 地 城 考点0 4 双曲线的参数与最值、定点、定值、定值线及向量问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ） A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,） 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（     ） A．4 B．1 C． D． 二、非选择题 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的左右顶点分别为，，双曲线的右焦点为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线交双曲线右支于点，交轴于点，且，.设直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设，则的最小值为4 C． D．当取最小值时，的面积为 6．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是 ． 8．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若,则k与e的关系是 . 9．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C． (1)证明：曲线C为双曲线的一支； (2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 10．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲型及其性质 4大高频考点概览 考点01 双曲型及其标准方程 考点02 双曲线的简单几何性质 考点03 直线与双曲线的位置关系 考点04 双曲线中的参数与最值、定点、定值、定值线及向量问题 ( 地 城 考点01 双曲线及其标准方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的一个焦点为，则等于（   ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程和分析可得到答案. 【详解】根据双曲线标准方程特点分析可知，且，， 因为双曲线的一个焦点为，所以， 由知：，解得， 故选：D 2．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可. 【详解】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 3．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意对方程变形，然后列出关于的不等式组，可求得答案. 【详解】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 由于双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程是. 故选：D 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，P是一个动点，则（   ） A．若，则点P的轨迹为椭圆 B．若，则点P的轨迹为双曲线 C．若，则点P的轨迹为直线 D．若，则点P的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义即可求解AB；根据向量的线性运算，结合圆的定义可判断C；根据点点距离化简，结合圆的一般方程即可求解D. 【详解】对于A，，而，故，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，故A正确， 对于B，，而，故，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，故B错误； 对于C，由，可得，所以， 则点的轨迹为以原点为圆心的圆，故C错误， 对于D，若，设，则， 化简可得，满足，故点的轨迹为圆，D正确. 故选：AD. 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则 . 【答案】3或7/7或3 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离范围进行求解即可 【详解】由双曲线定义知：，而，即 3或7. 又点在该双曲线上时要满足：或者 所以或. 故答案为：3或7 8．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由双曲线的定义得出，再结合圆的对称性得出|PM|－|PN|的最大值. 【详解】设双曲线的左右焦点为，则，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为，由圆的对称性可得，，所以，即|PM|－|PN|的最大值为. 故答案为： 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆，圆． (1)证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的方程； (2)已知点，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为，求动点P的轨迹方程并说明轨迹图形． 【答案】(1)证明见解析； (2)轨迹方程为，P的轨迹是除去，两点的双曲线 【分析】（1）求出圆A与圆B的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断证出两圆相交，两圆的方程作差即可求出圆A与圆B的公共弦所在直线的方程； （2）设，由题意得，，化简即得动点P的轨迹方程，并可知轨迹图形． 【详解】（1）圆A，圆心，半径， 圆B，圆心，半径，， ∴，所以圆A与圆B相交． 圆，圆， 两式相减，得． （2）设，由题意得，， 化简得，P的轨迹方程为，所以P的轨迹是除去，两点的双曲线． ( 地 城 考点0 2 双曲线的简单几何性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可． 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 综上，的方程为或． 故选：C． 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】设，由双曲线定义表达各边，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，设， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故， 由双曲线定义知，，故， ， 其中， 解得，则，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 解得， 故双曲线C的离心率为. 故选：A 3．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，利用余弦定理得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 令，不妨设， 则解之得 由余弦定理可得， 化简得， 整理得，即， 也就是. 故选： 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线，（，）F是左焦点，A、B分别是虚轴上、下两端点，C是它的左顶点，直线与直线相交于点D，若双曲线的离心率为，则的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，且，从而得到直线的方程，即可得到，再由余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为双曲线的离心率为，则，且， 由题意可得，， 即， 则直线的方程为，即， 则的斜率为，即， 因为，，所以， 则，， 则 . 故选：B 二、多选题 5．（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知双曲线，则（    ） A．的焦点坐标是 B．的渐近线方程为 C．的虚轴长为 D．的离心率为 【答案】CD 【分析】根据双曲线方程即可得，由双曲线的几何性质逐一判断即可得出正确结论. 【详解】由双曲线方程可知焦点在轴上，易知， 所以可得，即的焦点坐标是，因此A错误； 由渐近线方程可得，的渐近线方程为，可得B错误； 显然的虚轴长为，即C正确； 利用离心率公式可得的离心率为，可得D正确. 故选：CD 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（ ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到渐近线的距离为4 D．直线与直线的斜率乘积为 【答案】BD 【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可. 【详解】由双曲线知，，，     对于A，双曲线的离心率为，故A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确； 对于C，点到渐近线的距离为，故C错误； 对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确； 故选：BD. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 【答案】3 【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解． 【详解】如图，画出草图． 由的离心率为，且，可得，解得. 因为， 所以由双曲线的定义，可得. 故答案为：． 8．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】利用离心率和双曲线的关系可构造方程求得的值，由此可得渐近线方程. 【详解】双曲线的离心率，，解得：， 双曲线的渐近线方程为：. 故答案为：. 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）平面直角坐标系中，求经过两点的椭圆标准方程； （2）平面直角坐标系中，求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设椭圆方程为（，根据椭圆所过的点列方程组求出即可得解； （2）由题意设双曲线方程为，再根据所过的点求出即可得解. 【详解】（1）设椭圆方程为（， 则，解得，∴椭圆方程为； （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线过点，所以，故， 所以双曲线标准方程为，即. 10．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）（1）椭圆经过两点坐标分别是和，求椭圆标准方程. （2）双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设椭圆方程为，将点的坐标代入求解即可； （2）由条件列出方程组求出，即可得出双曲线方程． 【详解】（1）设椭圆方程为， ∵椭圆经过和两点， ∴，解得， ∴椭圆的标准方程为 （2）∵双曲线的右焦点为， 双曲线的一条渐近线方程为且， ∴且，而，∴， ∴所求双曲线方程为． ( 地 城 考点0 3 直线与双曲线的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把直线与双曲线方程联立消去，利用和 联立，即可求得的范围. 【详解】联立方程组，整理得， 设方程的两根为， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点， 则满足，解得， 又由，解得, 所以的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点. 故选：C    3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）设经过点的等轴双曲线的焦点为、，此双曲线上一点满足，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据设双曲线的方程为，将代入可求出，从而可求出，然后根据双曲线的定义和勾股定理列方程可求出，从而可求出三角形的面积. 【详解】设双曲线的方程为，代入点，可得 ， 所以双曲线的方程为 ，即 所以， 设，则，解得， 所以的面积为 故选：D 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）已知两点，，则在下列曲线上存在点满足的方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】要使这些曲线上存在点满足，需曲线与的垂直平分线相交．根据，的坐标求得垂直平分线的方程，分别于题设中的方程联立，看有无交点即可． 【详解】解：要使这些曲线上存在点满足，需曲线与的垂直平分线相交． 因为，，所以的中点坐标为，斜率为， 的垂直平分线为，即， ，即与，斜率相同、纵截距不相同，故两直线平行，可知两直线无交点，进而可知A不符合题意． 由与，联立消去得，，可知B中的曲线与的垂直平分线有交点，故B正确； 与，联立消去得， ，可知C中的曲线与的垂直平分线有交点，故C正确； 与，联立消去得， ，可知D中的曲线与的垂直平分线有交点，故D正确； 故选：BCD． 6．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）（多选）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（　　） A．若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则F1M＝a B．若双曲线C的方程为1，则△PF1Q的面积为24 C．存在离心率为的双曲线满足条件 D．若3PF2＝QF2，则双曲线C的离心率为 【答案】BD 【分析】利用三角形内切圆以及双曲线的定义、转化求解判断A，利用双曲线的标准方程，转化为求三角形的面积可判断B，通过双曲线的离心率，判断直线与双曲线的位置关系可判断C，利用已知条件转化求解双曲线的离心率判断D，进而可得正确选项. 【详解】由题意，以F1Q为直径的圆过点P，故，且在右支上， 对于选项A：记内切圆与PQ相切于N，与F1P相切于M，与F1Q相切于K，由内切圆的性质可得，故 ，，故选项A不正确； 对于选项B：双曲线C的方程为，则，设，则，在中，故，解得，故，，设，则，在中，有，解得，故△PF1Q的面积为，故选项B正确； 对于选项C：若，则，故渐近线方程为， 设在中，可得解得，故，可得，此时直线与渐近线平行，不可能与双曲线右支交于两点，故C不正确； 对于选项D：若，设，则，，在中，有，解得，在中，，可得，故，故选项D正确. 故选：BD． 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江大兴安岭地·期中）过点与双曲线只有一个公共点的直线有 条． 【答案】2 【分析】易得点在渐近线上，然后画出图象，由过点的直线与另一条渐近线平行和与双曲线相切，利用数形结合法求解. 【详解】解：因为双曲线的方程为， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 又点在直线上， 如图所示： 当过点的直线与直线平行或与轴垂直（过右焦点）时，与双曲线只有一个公共点， 所以这样的直线有2条． 故答案为：2. 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过双曲线的右焦点且弦长为8的直线有 条. 【答案】3 【分析】先验证直线斜率不存在时是否符合题意，然后斜率存在时，设出直线，与双曲线联立，利用韦达定理和弦长公式计算求出满足条件的直线方程. 【详解】双曲线的标准方程为，右焦点 设直线与双曲线交于， 当直线斜率不存在时，直线方程的方程为， 令，则，得，此时弦长为，符合题目； 当直线斜率存在时，设直线方程为 联立，可得， ，解得且 ， 解得 综上，总共有三条直线符合条件 故答案为：3. 9．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3. (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）利用两点连线斜率公式整理可得到结果； （2）利用点差法可求得直线m的斜率，得直线m的方程，与C的方程联立可知，由此可知直线m不存在． 【详解】（1）设， ∵，， ∴，整理得 即点M的轨迹C的方程． （2）若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设 则，两式相减得 整理可 ∵N是线段的中点，即， 故直线m的方程为，即， 将直线方程代入双曲线方程可得 ，此时直线与双曲线不相交． 故不能作出这样的直线m． 10．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【详解】（1）由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. （2）由，得， 则， 设，，则，， 所以. ( 地 城 考点0 4 双曲线的参数与最值、定点、定值、定值线及向量问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，所以==，解得，故选A. 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 2．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ） A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,） 【答案】B 【详解】由题意可得,,故. 设,则. 关于 对称,故 在上是增函数,当时有最小值为,无最大值,故的取值范围为, 故选B. 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（     ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】设，，，代入双曲线的方程，作差，可得，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值. 【详解】由题意可设，，， 则，， 即有， 即， 由，， 可得， 因为，所以. 故选：. 二、非选择题 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】AB 【分析】由双曲线方程可得焦点坐标，设点在第一象限，，可得，利用向量数量积的坐标运算表示，由双曲线的性质可得的取值范围，进而可知的最大值，即可求解. 【详解】双曲线中，，实轴长， 不妨设点在第一象限，，则， 所以，，则， 又点在双曲线上，所以，即， 则，由，可知，即， 则的最大值为16，所以的取值可以是，. 故选：. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的左右顶点分别为，，双曲线的右焦点为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线交双曲线右支于点，交轴于点，且，.设直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设，则的最小值为4 C． D．当取最小值时，的面积为 【答案】BC 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断A，结合双曲线的定义代入计算即可判断B，联立直线与双曲线的方程然后由向量关系表示出代入计算，即可判断C，结合基本不等式即可得到取最小值时点的坐标，从而判断D. 【详解】 由题意可得，设， 对于A，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故A错误； 对于B，设双曲线的左焦点为，， 由双曲线的定义可得， 则，当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故B正确； 对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得， ，由韦达定理可得， 由直线方程，令，则，即， 则，，，， 由可得，则， 由可得，则， 则 ，故C正确； 对于D，由条件可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，则，故D错误； 故选：BC. 6．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 【答案】ACD 【分析】设出点P坐标，直接计算可判断A、C；比较双曲线的通径长和实轴长可判断B；设出直线l的方程后联立渐近线方程，求出点M，N的坐标，再联立直线l与双曲线方程，利用判别式为零可得参数关系，进而计算点M，N的纵坐标之积可得结果. 【详解】依题意，，，，，， 设，则，，即， 双曲线C的两条渐近线方程为， 对于A，，A正确； 对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为， 若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误； 对于C， 是定值，C正确； 对于D，不妨设，，直线l的方程为， 由得， 若直线l与双曲线C相切，则， 化简整理得， 则点M，N的纵坐标之积，D正确. 故选：ACD.      三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长交于点，由角平分线性质可知，，即可列出等式，确定点的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的取值范围． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，因为为的平分线，且，所以为的中点，为的垂直平分线，所以，在中，、分别为、的中点，所以，设点坐标为，所以，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离的取值范围是 故答案为： 8．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若,则k与e的关系是 . 【答案】. 【分析】设设，，然后将直线方程代入双曲线方程并化简，进而根据根与系数的关系及建立关于的方程，进而解得答案. 【详解】由题意，设，易知，设，则，代入双曲线方程得：， 易知，，…①， 由，代入①得：， 所以，， 即. 故答案为：. 【点睛】由，由此可知题目应涉及到根与系数的关系，进而设出直线方程然后与双曲线联立，然后解决问题. 9．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C． (1)证明：曲线C为双曲线的一支； (2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线恒过定点，， 【分析】（1）根据题意利用圆与圆的位置关系结合双曲线的定义，即可证明结论； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，根据数量积的坐标运算求出的表达式，化简，即可求得t的值，即可求得答案. 【详解】（1）证明：由题意知圆M：的圆心为，圆N：的圆心为 如图，设圆E的圆心为，半径为r， 由题可得圆M半径为3，圆N半径为1，则，， 所以， 由双曲线定义可知，E的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支 又，，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，， 即曲线的方程为.    （2）设直线的方程为， 联立，消去得，    由题意直线与曲线有两个交点，则，, 设，，其中，， 由韦达定理得：，， 又点，所以，， 因为，所以， 则 ， 即，解得（舍去）， 当，直线的方程为，， 故直线恒过点，． 10．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程； （2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足,从而去求出的取值范围； （ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证. 【详解】（1） 由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或； （ii）， 直线AD的方程为 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $