专题05 椭圆及其性质（期中真题汇编，黑龙江专用）高二数学上学期人教A版

专题05 椭圆及其性质 4大高频考点概览 考点01 椭圆及其标准方程 考点02 椭圆的简单几何性质 考点03 直线与椭圆的位置关系 考点04 椭圆中的参数、定点、定值、定值线及向量问题 ( 地 城 考点01 椭圆及其标准方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）在方程中，下列，，全部正确的一项是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的特征及的关系求解． 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，且， ∴， 故选：C． 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（    ） A．3 B．5 C．8 D．5或3 【答案】B 【分析】根据椭圆焦距的计算列式得出答案. 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，焦距为2， 则，即， 所以，即. 故选：B. 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通过半径判断出两圆关系为内含，然后根据结合椭圆的几何定义，判断出轨迹为椭圆得解. 【详解】圆和圆的圆心、半径分别为，，，， 由可知圆内含于圆， 设动圆半径为R，由题意可得，，两式相加可得， 故P点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，， 所以，， 所以椭圆方程为， 故选：D. 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用椭圆定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而得到的方程. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 因为 所以圆在圆内， 所以动圆与圆内切与圆外切， 设动圆半径为r，圆心， 则，， 故， 所以动点的轨迹是以为焦点长轴长为的椭圆. 由， 解得， 所以， 又因为该椭圆的中心在原点，焦点在y轴上， 所以的方程为. 故选：C 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】BC 【分析】根据焦点三角形的周长取值范围即可得到答案. 【详解】由椭圆，得：，， 当点在椭圆上时，周长最大，为； 当点位于（包括端点）之间时，取极限值，为. 又因点为椭圆内部的动点， 所以周长的取值范围为， 故选：BC. 6．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据椭圆的几何性质可判断为椭圆的短轴端点时，此时最大，即可列不等式求解. 【详解】由椭圆的性质可得当点为椭圆的短轴端点时，此时最大， 若不可能为钝角，当点为椭圆的短轴断点时，则， 则，即， 又焦点在轴上，解得， 所以实数的值可以是4，5， 故选：CD    三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知为坐标原点，在椭圆上，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】利用两点距离公式，结合点在椭圆上，写出的表达式，再利用二次函数的性质求其最大值，即可得到答案. 【详解】设点，则有，即. 所以，当时，取最大值. 故答案为：2. 8．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 ． 【答案】 【分析】由椭圆定义得到，，由余弦定理和向量数量积公式得到方程，联立求出. 【详解】由，得， 所以，所以，， 由余弦定理得， 即， 整理得， 由，得， 所以. 故答案为： 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）求满足下列条件的曲线方程 (1)已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程． (2)已知椭圆的两个焦点分别是和，并且经过点求椭圆标准方程． (3)求平行于直线，且与它的距离为的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）先求圆心到直线的距离,再求出半径,即可由圆的标准方程求得圆的方程； （2）由题意及椭圆的定义即可求出其标准方程. （3）根据平行设直线一般方程为，再利用平行线距离公式列出关于的方程，解出即可. 【详解】（1）以点为圆心,与直线相切,圆心到直线的距离等于半径,即:所求圆的标准方程:. （2）椭圆的焦点在轴上, 设它的标准方程为,由椭圆的定义知： ，又，， 椭圆的标准方程为. （3）设与直线平行的直线为,则两直线的距离为， , 或, 所求直线方程为或. ( 地 城 考点0 2 椭圆的简单几何性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【详解】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质列式求解. 【详解】由题意知且，解得，， 则远地点离地面的距离为. 故选：A.    4．（24-25高二下·黑龙江黑河期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由椭圆的定义求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案. 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知椭圆的焦距是，则的值可能是（   ） A． B．13 C． D．19 【答案】BD 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】由题知或， 解得或. 故选：BD 6．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）椭圆的离心率为，则 . 【答案】3或 【分析】根据椭圆的离心率公式，分为和两种情况求解. 【详解】表示椭圆，且. 当时，则， ，解得; 当时，则， ，解得， 综上：或. 故答案为：3或. 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为 ，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程可得，进而根据两点斜率公式，结合椭圆方程，即可求解，根据焦点三角形的面积公式即可求解. 【详解】设，且， 由可得故， 故， ，则， 平方可得， 化简可得，求得， 故， 故答案为： 9．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴    10．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求得，从而可得椭圆方程； （2）分直线斜率存在与不存在，当直线斜率不存在时，求出直线方程，与椭圆方程联立直接求出的坐标，从而求出结果；当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为△OFP的面积为，则有，解得， 又因为在椭圆C上，则，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与椭圆方程联立得，， 又因为，所以，， 所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立方程，消去y得：， 则， 由韦达定理得，， 所以， ， 综上所述，直线AM与直线AN的斜率之积为． 【点睛】易错点点睛：第（2）问求解时易忽视直线斜率不存在的情况.一般知道一个点求直线方程时，利用点斜式方程，设直线方程时，要分斜率存在与不存在两种情况求解. ( 地 城 考点0 3 直线与椭圆的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系； 方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系. 【详解】方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 故选：A. 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案. 【详解】设与l：平行的直线为：， 当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值， 联立与可得，， 由，可得， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为. 故选：A 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】D 【解析】求出直线恒过的定点，根据题意，该定点必在椭圆内或椭圆上，根据点与椭圆的位置关系，代入点的坐标，即可求得结果. 【详解】由于直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，且直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则且m≠5，解得m≥1且m≠5. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题. 4．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）大庆体育场由于形似国家体育场，被大庆人称为“大庆鸟巢”，国家体育场（鸟巢）是第24届冬季奥林匹克运动会开、闭幕式的场馆．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，再联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可. 【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为， ∴，设切线为，切线为， ∴，整理得，由知：，整理得， 同理，，可得， ∴，即，故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求出离心率，突破难点. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为 D．面积最大值为 【答案】AC 【分析】根据椭圆性质计算周长得到A正确，计算离心率得到B错误，当最小时有最大值，计算得到C正确，设直线和点，联立方程得到根与系数的关系，得到面积的表达式，再根据函数单调性计算最值得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：的周长为， 正确； 对选项B：，故椭圆的离心率为，错误； 对选项C：要使最大，只需最小， 根据椭圆性质知：当轴时，故，正确； 对选项D：令直线，代入椭圆方程整理得：， 所以，且，， 而， 令， 则， 当且仅当时等号成立，显然等号不成立， 又在上递增，即时y最小，此时最大为，错误． 故选：AC 6．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积最大值为 【答案】BCD 【分析】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出点坐标，得到的斜率；D选项，在C选项基础上，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值. 【详解】AB选项，由题意得，故， 故椭圆的离心率为，长轴长为，A错误，B正确； C选项，设不过原点且斜率为1的直线为， 联立得， 由，解得， 设，则， 则， 故， 故的斜率为，C正确； D选项，由C选项可知，， 点到直线的距离为， 故的面积为 ， 因为，所以， 故当时，的面积取得最大值，最大值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知过点的直线与椭圆相交于两点，若点是的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】由点M是AB的中点,则设M(1+m,−1+n),N(1−m,−1−n)， 则 ，① ，② 两式相减得： ， 整理得：， 直线AB的斜率 ,则直线l的方程方程y+1= (x−1)， 整理得：3x−4y−7=0， 8．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知双曲线C：的离心率为，记双曲线与圆的交点为，且矩形的面积为． (1)求的方程； (2)点为坐标原点，直线交的左支于A，B两点，直线AB和直线OP交于点，且，求|AB|． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由离心率可得双曲线的方程，再与圆的方程联立，结合矩形面积求出即得双曲线方程. （2）联立双曲线的方程与直线方程，借助判别式及韦达定理求出的范围，再求出直线的交点的坐标，结合弦长公式建立方程求出即可求出. 【详解】（1）由双曲线的离心率为，得，解得，双曲线， 由得，，则， 整理得，解得，， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由消去得，设， 则，解得或， 依题意，，，于是， 直线的方程为，由，解得，即， ，， 由，得，而，解得， 所以. 9．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率的定义并将已知点代入椭圆求出椭圆的标准方程；（2）根据已知条件求出直线斜率，用点斜式写出直线方程. 【详解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆方程为； （2）若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，，两式作差得， 由于是的中点，故，代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到：. 故以为中点的弦所在直线方程为：. ( 地 城 考点0 4 椭圆的参数、定点、定值、定值线及向量问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积公式得出，由勾股定理得出，求出的最小值，即可得出的最小值. 【详解】因为，所以，即为直角三角形，即，要使得最小，则最小，，则的最小值为，即的最小值为. 故选：D 2．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（    ） A．[8，12] B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围 【详解】由，得，则， 圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2， 因为 ， 因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点， 所以，即， 所以，所以， 所以的取值范围为， 故选：C 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）若椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上一点，且在第一象限，的内心为，直线与直线的斜率分别为、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的坐标，根据两点求距离公式求出，由椭圆的定义求出，根据内切圆的性质求出点I的坐标，结合两点表示斜率公式化简计算即可求解. 【详解】设，，则， 易知，，由椭圆焦半径公式可得，， 设分别为的内切圆与边，，的切点，则， 根据内切圆的性质知，，， 因此， 即，解得. 在中，，解得， 因此，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：考查椭圆的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，考查分析问题，解决问题的能力. 4．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）则等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】延长交的延长线于点,根据题意作出图形，利用三角形全等和三角形中位线的性质即可求解. 【详解】延长交的延长线于点,作图如下： 因为为的角平分线，且， 所以， 所以， 因为分别为的中点， 所以为的中位线， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆的位置关系；考查数形结合思想和运算求解能力；根据题意作出图形，三角形中位线的性质的运用是求解本题的关键；属于中档题. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为 【答案】BD 【分析】根据椭圆的概念和几何性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A，，故A错误； 对选项B，设，则，， ，， 则，故B正确. 对选项C，因为椭圆，，，， 所以以为直径的圆与椭圆无交点，故不存在点满足，故C错误； 对选项D，，则， 则，解得，故D正确. 故选：BD 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）动点分别到两定点，连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，，分别为曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．的内切圆的面积的最大值为 C．到直线的最小距离为 D．设，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用直接法可得点的轨迹方程，可知曲线为椭圆（除去与轴的交点），结合椭圆的定义及三角形的余弦定理与面积公式可判断A选项，再结合内切圆性质可判断B选项，利用三角换元法可得距离的最值，判断C选项，根据定义可将折线段转化，进而可得最值. 【详解】由已知，， 化简可得， 即，，，，， 如图所示， A选项：设，，则，， 又，则， 即， 即，所以，A选项正确； B选项：设内切圆半径为，则， 又， ， 所以， 又，则， 即内切圆半径的最大值为， 所以内切圆面积的最大值为，B选项正确； C选项：设点，， 则点到直线的距离，其中， 所以当时，取最小值为，C选项错误； D选项：由椭圆定义可知， 又， 所以， 当且仅当点在延长线时取等号， 即的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 . 【答案】6 【解析】由椭圆方程得到F，O的坐标，设P(x，y)(－2≤x≤2)，利用数量积的坐标运算将·转化为二次函数最值求解. 【详解】由椭圆＋＝1，可得F(－1，0)，点O(0，0)， 设P(x，y)(－2≤x≤2)， 则·＝x2＋x＋y2 ＝x2＋x＋3 ＝x2＋x＋3 ＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2， 当x＝2时， ·取得最大值6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及应用以及椭圆的几何性质和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）设是椭圆左，右焦点，P为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题， 先利用得出，故为腰，再利用角度关系，得出与的关系，即可变形求解. 【详解】如图，直线交轴于点， 由题，结合椭圆性质得，，故直线在椭圆右顶点右侧， ，又是底角为的等腰三角形， ， ， 又，故 故答案为： 9．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点. (1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围； (2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能在一条定直线上运动，. 【分析】（1）设出直线的方程以及中点的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到点的坐标，出现直线的垂直平分线的方程，进而即可求解. （2）写出并联立直线和方程，得到交点坐标，再结合（1）中求得的韦达定理，即可得出结论. 【详解】（1）因为右焦点的坐标为，可设直线的方程为，代入，得， 所以，， 设中点的坐标为，则， 的垂直平分线方程为， 令，可得 所以，即的取值范围是. （2）因为，，，， 则直线的方程为，直线的方程为 联立方程，消去，可得 所以 因为，所以，即 所以. 由（1）可知，， 代入整理可得，解得. 所以能在一条定直线上运动，. 10．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）在①，②过，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答. 已知椭圆C：的右焦点为，且___________. (1)求椭圆C的方程； (2)过圆D：上任意一点G作椭圆C的两条切线.求证：； (3)设O为坐标原点，点.直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与轴交于点，直线AQ与轴交于点，求证：直线经过定点，并求此定点. 【答案】(1)条件选择见解析， (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）由题意确定a，b的值即可确定椭圆方程； （2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论证明即可； （3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求证即可. 【详解】（1）选①条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，因为离心率，所以， 所以，所以椭圆的方程为. 选②条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，过，则，∴， 所以椭圆的方程为. 选③条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，， 又由，则，， 所以椭圆的方程为. （2）证明：设，若过点的切线斜率都存在，设其方程为， 则联立方程组， 得， 因为直线与椭圆相切，所以， 整理得， 设椭圆的两条切线的斜率分别为，，由韦达定理，， 因为点在圆上，所以，即 所以，所以； 若过点的的切线有一条斜率不存在，不妨设为，则该直线的方程为，则的方程为，所以， 综上所述，对于任意满足题设的点，都有. （3）证明：设，， 由消去得：， 由韦达定理得，， 则，. 由与可得直线的方程为：， ，同理：， 因为，所以， 即，整理得，解得， 所以直线l方程为，所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆及其性质 4大高频考点概览 考点01 椭圆及其标准方程 考点02 椭圆的简单几何性质 考点03 直线与椭圆的位置关系 考点04 椭圆中的参数、定点、定值、定值线及向量问题 ( 地 城 考点01 椭圆及其标准方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）在方程中，下列，，全部正确的一项是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（    ） A．3 B．5 C．8 D．5或3 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为（    ） A．4 B． C． D．6 6．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知为坐标原点，在椭圆上，则的最大值为 . 8．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 ． 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）求满足下列条件的曲线方程 (1)已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程． (2)已知椭圆的两个焦点分别是和，并且经过点求椭圆标准方程． (3)求平行于直线，且与它的距离为的直线方程． ( 地 城 考点0 2 椭圆的简单几何性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江黑河期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知椭圆的焦距是，则的值可能是（   ） A． B．13 C． D．19 6．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）椭圆的离心率为，则 . 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为 ，则的面积为 . 9．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 10．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积． ( 地 城 考点0 3 直线与椭圆的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．且 4．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）大庆体育场由于形似国家体育场，被大庆人称为“大庆鸟巢”，国家体育场（鸟巢）是第24届冬季奥林匹克运动会开、闭幕式的场馆．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为 D．面积最大值为 6．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积最大值为 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知过点的直线与椭圆相交于两点，若点是的中点，则直线的方程为 . 8．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知双曲线C：的离心率为，记双曲线与圆的交点为，且矩形的面积为． (1)求的方程； (2)点为坐标原点，直线交的左支于A，B两点，直线AB和直线OP交于点，且，求|AB|． 9．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. ( 地 城 考点0 4 椭圆的参数、定点、定值、定值线及向量问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（    ） A．[8，12] B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）若椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上一点，且在第一象限，的内心为，直线与直线的斜率分别为、，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）则等于（    ） A．4 B．2 C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）动点分别到两定点，连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，，分别为曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．的内切圆的面积的最大值为 C．到直线的最小距离为 D．设，则的最小值为 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 . 8．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）设是椭圆左，右焦点，P为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为 ． 9．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点. (1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围； (2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由. 10．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）在①，②过，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答. 已知椭圆C：的右焦点为，且___________. (1)求椭圆C的方程； (2)过圆D：上任意一点G作椭圆C的两条切线.求证：； (3)设O为坐标原点，点.直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与轴交于点，直线AQ与轴交于点，求证：直线经过定点，并求此定点. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $