4.5.3函数模型的应用基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第4章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.3 函数模型的应用 基础题型训练 题型一 指数型函数模型的实际应用 1.（2024山东联考）某厂1995年的产值为万元,预计产值每年以 递增,则该厂到2007 年的产值（万元）是( ) A. B. C. D. 2.（2025安徽亳州期中）把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 ,空气的温度是,那么后物体的温度 单位:可由公式 求得,其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体,放在 的空气中冷却.后物体的温度是,那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为 参考数据:, ( ) A. B. C. D. 3.（2025浙江杭州四中月考）复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务,已知每期利率为 ,若存期,本利和为11万元,若存期,本利和为12万元,若存 期,求总利息为多少. 4.（2025河南商丘期末）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为 ,其中表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,表示衰减系数, 表示训练迭代轮数,表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型, ,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为 . （1） 求该学习率模型的表达式； （2） 要使学习率衰减到以下不含,至少需训练迭代多少轮？ 参考数据： 题型二 对数型函数模型的实际应用 5.（2025四川成都期中）据统计,第年某湿地公园越冬的白鹭数量 （只）近似满足 ,观测发现第2年有越冬白鹭1 000只,估计第5年有越冬白鹭 ( ) A.1 530只 B.1 636只 C.1 830只 D.1 930只 6.（2025安徽省A10联盟开学考试）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现:两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒）,若某只两岁的燕子耗氧量为 时的飞行速度为（米/秒）,另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为 （米/秒）,两只燕子同时起飞,当 时,一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为_____米. 7.（多选/2025山东临沂开学考试）根据《中华人民共和国噪声污染防治法》,城市噪声分为工业生产噪声、建筑施工噪声、交通运输噪声和社会生活噪声四大类.根据不同类型的噪声,又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝 为单位来表示声音大小的等级, 分贝为安静环境,超过50分贝将对人体有影响,90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为 ,那么满足 .对几项生活环境的分贝数要求如下,城市道路交通主干道为,商业、工业混合区为,安静住宅区、疗养院为 .已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为,, , 则( ) A. B. C.若声音强度由降到,则需降为原来的 D.若要使分贝数由40提高到60,则声音强度需变为原来的100倍 8.［分段函数模型］（2025四川宜宾期末）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时,按销售利润的 进行奖励；当销售利润超过20万元时,若超出万元,则超出部分按进行奖励.记奖金为 （单位：万元）,销售利润为 （单位：万元）. （1） 写出奖金关于销售利润 的关系式； （2） 如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元？ 题型三 函数模型的探究应用 9.（多选/2025广东普宁期末）某数学小组在 进行“数学建模活动——探究茶水温度与时 间的关系”时,根据所收集的数据,得到时间 （分钟）与水温 的散点图（如图）,则 下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是( ) A. B. C. D. 10.（2025江西上饶期中）某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据: 𝑥  1.99 2.8 4 5.1 8 𝑦  0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下4个模拟函数: ；；； . 请从中选择一个模拟函数,使它比较近似地反应这些数据的规律,应选( ) A.① B.② C.③ D.④ 11.（2025辽宁抚顺六校协作体期末）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能 用于锻炼的课余时间有90分钟,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得 分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系,要求及图示如下：①函数是区间 上 的增函数；②每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分；③每天运动时间为30分钟时,当 天得分为3分；④每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型 , , 可供选择. （1） 请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式； （2） 求每天得分不少于4.5分,至少需要锻炼多少分钟.（注： ,结果保留整数） 能力提升训练 12.［物理情境］（2024重庆一中期中）宇宙之大,粒子之微,无处不用到数学.2023年诺贝 尔物理学奖颁给了在“阿秒光脉冲”实验方法作出贡献的3位科学家,光速约为 米/ 秒,1阿秒等于 秒.现有一条50厘米的线段,第一次截去总长的一半,以后每次截去剩余 长度的一半,需要再截____次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离. 参考数据： , ( ) A.30 B.31 C.32 D.33 13.［物理情境］（2024黑龙江齐齐哈尔期末）2024年4月25日下午,神舟十八号航天员乘 组出征仪式在酒泉卫星发射中心问天阁圆梦园广场举行.叶光富、李聪、李广苏3名航天 员领命出征. 北京时间2024年4月25日20时59分,搭载神舟十八号载人飞船的长征二号 遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射,约10分钟后,神舟十八号载人飞船与火箭成 功分离,进入预定轨道.航天员乘组状态良好,发射取得圆满成功.设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和,在不考虑空气阻力的条件下,燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为,当燃料质量为 时,该火箭的最大速度为；当燃料质量为时,该火箭的最大速度为 ；当燃料质量为 时,火箭的最大速度为( ) A. B. C. D. 14.（多选/2025江西南昌二中月考）南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻 （时）的函数关系为,,其中 为污水治理调节参数,且,规定每天中 的最大值作为当天的污水污染指数,则使该厂每天的污水污染指数不超过3的 的取值可以为( ) A. B. C. D. 15.（2025江苏南京期末）根据国际标准,室内二氧化碳浓度应不超过 ,在这个范围内,室内空气质量良好,人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度 与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为 .经测定,该室内初始时刻的二氧化碳浓度为 ,要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准,则需要开窗通风的时长至少约为( ) 参考数据:, A.6分钟 B.8分钟 C.10分钟 D.12分钟 16.［生物情境］（2025四川泸州期末）在密闭培养环境中,某类细菌的繁殖在初期会较快, 随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度又会减慢.在一次实验中,检测到这类细菌在培 养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间 （单位：小时）的关系如表： 𝑥  2 3 4 5 6 8 𝑦  3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系,现有 以下三种模型供选择： ,, . （1） 选出你认为最符合实际的函数模型,并说明理由. （2） 利用和 这两组数据求出你选择的函数模型的解析式；并预测从第2小时开始,至少再经过多少个小时,细菌数量达到6百万个. 参考答案 1.C【解析】 考查指数函数的实际应用,求解时只需从1995年向后写几年就可以得到规律. 某厂1995年的产值为万元,预计产值每年以递增, 该厂到1996年的产值（万元） 为 ,该厂到1997年的产值（万元）为 ,该厂到1998年的产值（万元）为 , 该厂到2007年的产值（万元）为 . 2.A【解析】 依题意,由的物体,放在的空气中冷却,后物体的温度是 , 得,解得 , 设该物体从的温度降至需要冷却的时间为 ,则 , 于是,两边取对数得 , 所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为 . 3.【答案】由题意,可得 则 , 即存期,本利和为,则存期,总利息为 （万元）. 4.(1)【答案】由题意可知,该学习率模型为 , 当时,,代入可得,解得 ,所以该学习率模型的表达式为 . (2)【答案】 由学习率衰减到以下不含,可得 , 即,所以,即 , ,所以 ,又,则 的最小值为74,即至少需训练迭代74轮.（将结论还原到实际问题中 时,不要忽略实际背景下的函数的定义域） 5.B【解析】 由题意，当时, , 即,解得 , 所以时, . 6. 600 【解析】 由条件列出,及,的关系式,结合,求出 ,由此可得结论. 因为,所以 , 所以,,又 , 所以 , 所以 , 所以 , 所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 （米）. 7.AD【解析】 由题意可知,,即 ,得 ; ,即,得 ; ,即,得 . ,所以,与 大小关系不确定； 因为,,所以 ； 当声音强度的等级为时,有,即 ,得 ,此时对应的强度 , 当声音强度的等级为时,有,即,得 , 此时对应的强度 , 所以的声音与的声音强度之比为 . 8.(1)【答案】根据题意可知,当销售利润时, ； 当销售利润 时（ 各段自变量的取值范围）, . 所以可得奖金关于销售利润的关系式为 (2)【答案】 易知当时,奖金不可能为10万元,所以令 ,即,则,解得 , 即业务员老江的销售利润是31万元. 9.AC【解析】 由题图可知,图象中的点成递减趋势.又因为函数 , 都是单调递增函数,故A,C 满足题意；而函数 , 都是单调递减函数,故B, D不满足题意. 10.C【解析】 根据表中数据,画出图象,如图, 通过图象可看出,题中这些数据所反映出的数据的规律,比较接近对数函数 的图象. 11.(1)【答案】第一步：分析题中每个模型的特点. 对于模型,当 时,匀速增长； 对于模型,当 时,先慢后快增长； 对于模型,当 时,先快后慢增长. 第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型. 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型,故选 . 第三步：把要求②③中的两点的坐标代入选好的模型中,利用待定系数法求得函数解析式. 将,分别代入解析式得到 即 解得即 . 第四步：验证模型是否合适. 当时, ,满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为 . 当时, ,满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为 . (2)【答案】 由,得 , 又在上是增函数,所以,得 , 所以每天得分不少于4.5分,至少需要运动55分钟. 12.B【解析】 根据已知,可得光在1阿秒内走的距离为 （米）, 再截次后,剩余的长度 . 由,可得,结合函数 的单调性,两边同时取对 数,得 ,所以 ,所以应当再截31次. 13.C【解析】 设当燃料质量分别为和时,火箭的最大速度分别为和 则 , 又当燃料质量为时,该火箭的最大速度为,当燃料质量为 时,该 火箭的最大速度为 ,所以 , 解得,所以 . 令,则 ,所以 . 14.AB【解析】 换元法.设,则当时, （ 换元后定 义域的变化）. 可得,,且 , 则 显然在上单调递减,在 上单调递增, 则,,且, , 则有解得 , 又,故调节参数应控制在 内, 结合选项可知,正确, 错误. 15.C【解析】 依题意,时,,则 ,解得 , 因此,由,得,解得 , 则, ,所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 16.(1)【答案】由散点图知,随着自变量的增加,函数值的增长速度变小, 而 在对称轴右方,随着自变量的增加,函数值的增长速度变大, 随着自变量的增加,函数值的增长速度变大,故选择函数 （分析函数增长特点,选择恰当的函数模型）. (2)【答案】 由题意,可得 解得 所以 . 令,即,解得 . 故至少再经过64小时,细菌数量达到6百万个. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $