4.5.1 函数的零点与方程的解& 4.5.2用二分法求方程的近似解基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教（A）版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第4章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.1 函数的零点与方程的解& 4.5.2用二分法求方程的近似解 基础题型训练 题型一 求函数的零点 1.（2025福建省龙岩一中月考）函数 的零点是( ) A.1 B. C. D. 或1 2.（2025河南周口期中）下列各图象表示的函数中没有零点的是( ) 3.（2025湖南省衡阳县第三中学月考）已知函数则函数 的零点为 ( ) A.,0 B.,0 C. D.0 4.（2025辽宁鞍山期中）已知函数, ,的零点分别是,,,则,, 的大小顺序为( ) A. B. C. D. 题型二 函数零点存在定理的应用 5.（2025广东揭阳一中期末）函数 的零点所在的区间为( ) A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数 的图象是连续不断的,且有如下部分对应值表: 𝑥  1 2 3 4 5 6 𝑓(𝑥)  136.1 15.6 −3.9  10.9 −52.5  −232.1  判断函数的零点至少有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.（2025上海交大附中期末）已知函数的图象在区间 上连续不断,则”是“在 上存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.（2024江苏海安检测）试写出一个实数 _________________,使得函数在 上恰有1个零点. 题型三 判断函数零点个数 9.（2024北京一六一中学期中）函数 的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10.（2025江西省宜春市宜丰中学月考）函数 的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 11.（2025安徽省淮南第二中学期中）已知函数当 时, 方程 的根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 题型四 根据零点个数或所在区间求参数取值范围 12.（2025重庆字水中学期末）函数在区间 上存在零点,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 13.（2025江西省部分学校质检）若函数有2个不同的零点,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 14.（2025甘肃兰州一中开学考试）已知定义在上的函数满足 ,当 时,,函数若函数 在区 间上恰有8个零点,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 15.（2025山东德州期末）已知函数 . （1） 当时,求 的定义域及单调递增区间； （2） 若关于的方程在上有解,求 的最小值. 题型五 二分法的应用 16.（2025福建漳州期末）用二分法求函数在区间 上的零 点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 17.（多选/2025广东华南师范大学附属中学期中）下列函数图象与 轴均有公共点,其中 不能用二分法求零点的是( ) 18.（2025黑龙江哈尔滨六中月考）新课程互助学习小组在学习二分法后,利用二分法研究方程在上的近似解时,经过两次二分后,可确定近似解 所在的区间为( ) A. B. C. D. 19.（多选/2025江西省宜春市上高二中月考）某同学求函数 的零点 时,用计算器算得部分函数值如表所示: 𝑓(2)≈−1.307  𝑓(3)≈1.099  𝑓(2.5)≈−0.084  𝑓(2.75)≈0.512  𝑓(2.625)≈0.215  𝑓(2.562 5)≈0.066  则方程的近似解（精确度 可取为( ) A.2.62 B.2.56 C.2.531 D.2.75 参考答案 1.A【解析】 由,得 ,（定义域先行:分母、根式有意义） 所以函数的定义域为 . 令,解得（舍去）或,所以函数 的零点是1.（函数的零点是实数,不是坐标） 2.D【解析】 由函数零点的概念知,函数的零点就是函数图象与 轴交点的横坐标,结合函数 零点的定义可知选项D没有零点. 3.D【解析】 函数 当时,（分段求解函数的零点,注意定义域）令,解得 ; 当时,令,解得（舍去）, 函数的零点为0. 4.A【解析】 分别令,,,得, , , 则为函数与图象交点的横坐标, 为 函数与图象交点的横坐标, 为函数 与 图象交点的横坐标,（函数的零点 两函数图象交点的横坐标）在同一平面直角坐标系 中,分别作出,,和 的图 象,如图,由图可知, . 5.B【解析】 函数在 上单调递增,（单调函数若有零点,则只有一个）又因为, ,所 以,即函数零点所在的区间为 . 6.C【解析】 根据给定的数表,利用零点存在定理判断即可. 由题意知定义在上的函数 的图象是连续不断的.（此条件必不可少） 由数表知,,,, , 因此函数在区间,, 上分别至少有1个零点,（函数零点存在定理） 所以函数 的零点至少有3个. 7.A【解析】 当在上存在零点时,不一定能得到 ,例如 ,此时的零点为2,但 ,所以必要性不满足； 当时,若,,三个值中存在0,则在 上显然存在 零点；若,,三个值均不为0,不妨假设 , 因为,所以,,则 ,根据函数零点存在 定理可知在 上存在零点,所以充分性满足. 所以“”是“在 上存在零点”的充分不必要条件. 8.1（答案不唯一） 【解析】 不妨取 ,根据零点存在定理以及函数的单调性,即可说明所取值符合题意. 不妨取,则,则,,即得 , 又图象的对称轴为直线,则在 上单调递增, 故在 上恰有1个零点,满足题意. 9.B【解析】 函数的定义域为,令,即 ,解得 ,所以函数 的零点个数是1. 10.C【解析】 当时,令,解得 , 当时, , ,,则 ,又 在区间上连续,所以在 上存在零点.（零点存在定理） 又因为在上单调递增,所以函数在 上有唯一 零点. 综上, 的零点个数为2. 11.D【解析】 当时,,即,则 为周期函数,且周期为2. 画出函数与的图象, 函数 周期性的体现,已知两函数的 图象在轴上的位置关系 如图.由图可知方程 的根的个 数即为两个函数图象交点的个数,令,则,又因为,所以 . 当时, , 当时, , 当时, , 当时, , 当时, . 综上可知,两个函数的图象一共有3个交点,即方程 的根的个数为3. 12.D【解析】 若函数在区间上存在零点,函数在 上的图象 连续不断,且为增函数,则根据零点存在定理可知,只需满足 ,即 ,解得 , 所以实数的取值范围是 . 13.B【解析】 函数有2个不同的零点,即与 的图象有2个交点, 令,作出函数的图象可以看作是将函数 的图象在 轴下方的部分翻折上去,当时,的图象全都在轴上方,变换前后一致 与 的大致图象如图所示, 由图可知,则, 根据 ,的关系,将的取值范围转化为的取值范围 所 以实数的取值范围是 . 14.A【解析】 函数 在区间 上恰有8个零点,等价于函数 与函 数的图象在区间 上有8个交点,由 知,是定义在 上周期为 2的函数,作出函数与函数在区间 上的图象如图所示, 由图知,当时,两函数图象有五个交点,故在 上两函数图象有三个交点即可, 故且（数形结合）解得 . 15.(1)【答案】当时, , 令,即,解得或 ,（对数的真数大于0得定义域） 所以函数的定义域为 . 因为在上单调递减,在 上单调递增, 在定义域上单调递增, 所以在上单调递减,在 上单调递增， 即的单调递增区间为 . (2)【答案】 因为关于的方程在 上有解, 所以关于的方程在上有解,且 恒成立, 即问题转化为在 上有解,（参变分离） 因为 , 当且仅当,即 时等号成立, （使用基本不等式求最值时,注意检验等式取等时的 的取值是否在定义域内） 又在上恒成立，则在 上恒成立，即 ，又当时，，所以， 【另解】检验法,将代入中,满足在上恒成立 又因为 ， 所以的最小值为 . 16.B【解析】 因为开区间的长度等于 ,每经一次操作,区间长度会变为原来的一半,所以经过次操作后,区间长度变为,若要求精确度为0.01时,则 ,解得 ,且 ,故所需二分区间的次数最少为6. 17.ABD【解析】 能用二分法求零点的函数必须在给定区间 上连续不断, 并且有,A，B中不存在 ,D中函数不连续. 18.B【解析】 令,可知,.又 ,则 ,所以 ,根据二分法结合零点存在定理可知,近似解 所在的区间为.又,所以 ,根据二分法结合零点存在定 理可知,近似解所在的区间为 . 19.BC【解析】 因为函数 在其定义域内单调递增, 所以结合表格中数据可知方程的近似解所在区间可以是, ， ,, , 根据区间的长度计算分别为1,，,, ,（可以将区间的长度理解为近似解的“精确度”） 根据精确度为,可知方程的近似解在区间 上, 根据精确度为0.1的要求,可在区间 上任选一个值作为该方程的近似解,结合 选项,可选 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $