4.4 对数函数 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教（A）版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 基础题型训练 题型一 对数函数的图象及其应用 1.已知函数的图象过点,则 的值为( ) A. B.1 C. D. 2.（2025广东汕头期末）已知,函数与函数 的图象 可能是( ) 3.（2025江苏南通检测）图中曲线是对数函数 的图象,已知取,,,四个值,则相应于,,,的 值依次为 ( ) A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, 4.（2025安徽亳州期末）已知函数恒过定点 ,则 的最小值为( ) A. B. C.3 D. 5.（2025江西省全南中学月考）已知函数 ,若 ,则( ) A. B. C. D.以上选项均有可能 题型二 对数型函数的定义域、值域及其应用 6.（2025安徽六安独山中学月考）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 7.（2024浙江余姚中学期中）已知函数的值域为,则函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 8.（2025天津南开大学附属中学期中）函数 的定义域为___________. 9.（2025福建厦门双十中学期中）“函数的定义域为 ”是 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 10.（2025湖南岳阳期末）已知函数, ,则函数 的值域为_______. 11.（2024山东新泰一中期中）已知函数.若,且 的值域为,则实数 的值为___. 题型三 对数型函数的单调性及其应用 12.（2025山西忻州一中月考）函数 的单调递减区间为 ( ) A. B. C. D. 13.已知函数 的图象如图所示,则函数 的单调递增区间为( ) A., B., C., D., 14.（2025安徽合肥一中月考）若函数在区间 上单调递增,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 15.（2025河南开学考试）已知函数 若对任意的 ,都有,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型四 反函数及其应用 16.（2025江西上饶广丰新实中学月考）函数 的反函数是 ( ) A. B. C. D. 17.（2025湖北重点高中联考）函数与指数函数,且 互为反函数,且的图象过点,则 ( ) A. B.0 C.1 D. 题型五 比较对数值的大小 18.设,, ,则( ) A. B. C. D. 19.（2020全国Ⅲ卷）设,, ,则( ) A. B. C. D. 20.（2025安徽部分学校开学考试）已知函数,设 , ,,则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. 21.（2025安徽安庆期中）设,, ,则( ) A. B. C. D. 题型六 与对数有关的不等式 22.（2024浙江温州市五十一中阶段练习）不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 23.（2025湖南长沙一中检测）已知函数,且 ,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 24.（2024湖北咸宁阶段练习）已知函数,则关于 的不等式 的解集为_ _________. 题型七 几类函数增长的比较 25.下列函数中随 的增大而增大且速度最快的是( ) A. B. C. D. 26.（2025广东华南师范大学附属中学月考）某学校开展研究学习活动,一组同学获得了 下面的一组试验数据： 𝑥  1.99 3 4 5.1 8 𝑦  0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 如下四个模拟函数中,能近似地反映这些数据的规律的是( ) A. B. C. D. 27.（多选）函数,,,在区间 上( ) A.递减速度越来越慢 B. 递减速度越来越慢 C.递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于 的递减速度 28.函数和 的图象如图所示.设两函数的图象分 别交于点,,且 . （1） 请指出图中曲线, 分别对应的函数； （2） 结合函数图象,判断,,, 的大小. 参考答案 1.B【解析】 因为函数的图象过点,所以,即 ,则 ,解得,所以,则 . 2.C【解析】 根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断. ,,则,从而, . 当时,函数与函数 在定义域内都单调递增, 当时,函数与函数 在定义域内都单调递减, 函数与函数 在定义域内单调性相同. 3.B【解析】 由已知图中曲线是对数函数的图象,画出直线 ,如图, 直线与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数函数的底数, 可得曲线,,,的值从小到大依次为,,,,（在轴上方,直线 右侧,底数 越大,函数图象越靠近轴;在轴下方,直线右侧,底数越小,函数图象越靠近 轴） 由取,,, 四个值,得,,,的值依次为,,, . 4.A【解析】 由对数函数的图象特点可知,函数,且 的图象过定点 ,则由题意可知 ,则 , （基本不等式“1”的妙用求最值） 当且仅当,即, 时等号成立, 的最小值为 . 5.C【解析】 作出函数的图象,函数 的图象可以看作是 函数的图象先向左平移一个单位长度,再将轴下方的图象翻折到轴上方 如图,由题意可知, ,且由图象可知, , , 所以 , 所以,即, , 即 . 6.D【解析】 根据题意得 （被开方数大于零,分母不为零,真数大于零） 解得即 . 7.C【解析】 由的值域为,得,故,即 的定义域为,令得,故的定义域为 . 8. 【解析】 由被开方数非负,分母不为0及真数大于0得解得 且,故所求定义域为 . 9.B【解析】 对数函数的真数部分为 ,二次项系数含参,分参数是否为零进行讨论. 若函数的定义域为 , 则当, ,符合要求； 当时,有解得 ； 综上所述, ,（小范围可以推出大范围,大范围推不出小范围） 故“函数的定义域为”是“ ”的必要不充分条件. 10. 【解析】 因为,, , 则由解得, 先确定的定义域 即函数 的定义域为 , 设,则,且在 上单调递增, 故当,即时,；当,即时, , 因为,所以函数的值域为 . 11.0 【解析】 令,的值域为,则的值域包含 . ①当时,,其值域为 ,满足题意； ②当时,令,,函数转化为函数 , 其图象开口向下,则的值域为,不满足题意.所以 . 12.D【解析】 外函数为增函数,根据复合函数同增异减的法则可知,只需求函数 的单调递减区间,注意优先考虑定义域. 令,解得或,则的定义域为 . 令,在 上单调递增, 又在上单调递减,所以在 上单调递减, 在上单调递增,所以在 上单调递增. 13.C【解析】 根据复合函数的单调性法则,结合图象找出使得函数 单调递减以及满 足对应的 的取值范围即可. 因为在上为减函数,所以只要求得 的单调递减区 间,且 （注意真数恒大于零）即可.由图可知,使得函数单调递减且满足的的取值范围是和 .因此,函数 的单调递增区间为, . 14.C【解析】 利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可. 因为在区间上单调递增,底数,函数 在定 义域上单调递减,又在区间 上单调递增,则由复合函数单调性 “同增异减”可得在区间 上单调递减且恒为正（ 不要遗漏真 数大于零）,所以且,所以 . 15.C【解析】 若对任意的,都有,所以在 上单调递增, 所以解得,即的取值范围是 . 16.A【解析】 把看作常数,解方程求出,,互换,得到 即可得解. 因为,所以,所以,即 ， ,互换,得, . 17.A【解析】 因为指数函数，且的反函数为 ,所以 ，且.因为的图象过点,故函数 的 图象过,指数函数的图象与对数函数 的图象关于直线 对称 所以 （求底数,可利用指对互化将二者化为真数相同的对数形式）,故 ,所以,所以 . 18.B【解析】 ,, . 又,,,即 . 19.A【解析】 作差法, .又 , . 20.B【解析】 由于函数，均为 上的减函数, 故（减减减）在区间 上单调递减, 又 , 故,所以 . 21.D【解析】 ,, , （【另解】或直接根据【大招57】中“底数不同,真数相同”类型,利用对数函数图象的变 化规律,可得,则 ） 利用换底公式可知,,所以 , 故,所以 . 22.A【解析】 因为,所以不等式化为 , （把不等式两边化为同底数的形式） 又在 上是增函数, 所以解得 ,即不等式的解集为 . 23.D【解析】 因为,所以函数的定义域为 , 则定义域关于原点对称,且,所以 为偶函数, 又时, 是单调递增函数（内层函数）, 而 是单调递减函数（外层函数）, 所以是单调递减函数（同增异减）,根据对称性知 时, 是单调递增函数,函数中,,由 得 ,解得或 . 24. 【解析】 设,函数定义域为 , 则,故函数为奇函数. , 在上单调递增,故在上单调递增, , ,即 ,即 ,即,解得.故不等式的解集为 . 25.A【解析】 因为,又 ,所以函数 中函数值随的增大而减小,故排除D.当函数值随 的增大而增大时,在对数函数、一次函数和指数函数中,指 数函数的增长速度最快,如图所示,即四个函数中,函数值随 的增大而增大且速度最快的是 . 26.D【解析】 增长速度不变,不符合题意； 增长速度越来越快,不符合题意； ,当 时,增长速度越来越快,不符合题意； ,当 时,增长速度越来越慢,符合题意. 27.ABC【解析】 根据指数函数,对数函数及幂函数的性质并结合 图象可知,在区间 上,如图所示， 递减速度越来越慢； 递减速度越来越慢； 递减速度越来越慢； 的递减速度慢于 的递减速度. 28.(1)【答案】对应的函数为,对应的函数为 . (2)【答案】 因为, , , ,所以,,所以, . 从图象上可以看出,当时, ,所以;当时,,所以 . 又由函数在上单调递增知, ,所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $