4.2 指数函数基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教（A）版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 基础题型训练 题型一 指数函数的图象及其应用 1.如图是指数函数，， ，的图象,则,,, 与1的大小关系是( ) A. B. C. D. 2.（2025安徽阜阳一中期中）函数 的图象大致为( ) 3.（2024北京十二中月考）已知指数函数的图象经过点 ,则 ____;将函数 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到函数 的图象,则 的图象过定点______. 4.（2025河南开封期末）已知函数 的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交,则 ___. 题型二 指数型复合函数的定义域、值域及其应用 5.（2025甘肃兰州检测）已知函数的定义域为 ,则函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 6.（多选/2024重庆南开中学月考）下列描述中正确的是( ) A.函数的值域为 B.函数的值域为 C.函数的值域为 D.函数的值域为 7.（2025湖北黄冈期中）函数,且在区间 上的最小值是,则 的值是_______. 题型三 指数型函数的单调性及其应用 8.函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 9.若函数的值域是,则 的单调递增区间是__________. 10.（2025皖豫名校模拟）已知函数 满足对任意 的,都有成立,则实数 的取值范围为______. 11.（1） （2024吉林省实验中学期中）函数 的单调递增区间是______. （2） （2025山东日照期末）若函数在区间上单调递增,则实数 的取值范围是________. 题型四 比较指数式的大小 12.（2025湖南邵阳期末）已知,,“”是“ ”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 13.（多选/2025湖南长沙期中）下列大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 14.（多选/2024广东广雅中学期中）已知函数 ,且 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 题型五 解与指数有关的不等式 15.若,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 16.（2025湖南省天一大联考）若,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 17.（2025江西南昌市第十中学月考）已知函数的定义域为, 为偶函数, 对任意的,,当时,,则关于的不等式 的解集为________.（用区间表示） 18.（2025安徽九师联盟质检）设是定义在上的单调函数,若 ,都有 ,则不等式 的解集为________. 19.（2024江苏南京一中检测）已知函数, ,若对任意,总存在,使得成立,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 20.（2025江苏常州检测）已知二次函数,且关于的不等式 的解集为 . （1） 求实数, 的值； （2） 若不等式对恒成立,求实数 的取值范围. 题型六 与指数函数相关的奇偶性问题 21.（2025江西省沙溪高级中学月考）已知是定义在上的奇函数,且当 时,,则 ( ) A. B.3 C. D.2 22.（2025江苏苏州期末）若是奇函数,则 ( ) A.1 B. C. D. 23.（2025湖南省部分名校开学考试）若是偶函数,则 ( ) A. B. C.1 D.0 24.（全国Ⅲ卷改编）已知函数的图象与 轴有唯一交 点,则 __. 25.（2025江苏扬州期末）已知定义在上的函数 的图象关于坐标原点对称. （1） 求实数 的值； （2） 判定 的单调性并证明； （3） 若实数满足,求 的取值范围. 参考答案 1.B【解析】 作直线,则由上到下直线 与各指数函数图象的交点为,,,,故 . 2.A【解析】 排除法.设,则当时, ,且 单调递增,由,得,,,选项C,D错误. 也可由函数在上单调递增排除D选项 当时,,且单调递增,由,得 ,即 ,函数图象在轴下方,排除B选项,则选项A符合要求. 也可由函数在 上单调递增排除B选项 3. 、 【解析】 由指数函数的图象经过点,可得 （指数函数中前的系数为1）解得所以 . 将函数的图象向右平移1个单位长度,得到函数 的图象,再向上平移4个单位长度,得到的图象.令,得,此时,所以 的图象过定点 . 4. 1 【解析】 因为函数无限接近直线但又不与该直线相交, 根据指数函数的图象特点可知,函数无限接近于直线 但又不与该直线相交所以 , 又函数图象过原点,所以,则 . 所以.所以 . 5.D【解析】 由题意可得解得,所以函数的定义域为 . 6.BCD【解析】 因为,且函数在 上单调递减,所以,所以函数的值域为 ； 令,解得,则函数的定义域为,因为函数 在 上单调递增,且,所以,则,所以 , 所以函数的值域为 ； 令,,则,,可得 ,因为函数的图象开口向上,且对称轴为直线,所以 在 上单调递增,且当时,,所以函数的值域为 ,即 函数的值域为 ； 由题意可得函数的定义域为,因为,即 ,所以,所以函数的值域为 . 7.或 【解析】 分和 两种情况讨论,结合复合函数单调性求解. 令,则,其图象的对称轴为直线 . 当时,因为,所以,所以函数在 上单 调递减,所以当时,取得最小值,,解得 . 当时,因为,所以,所以函数在 上单调递减,所以当时,取得最小值,,解得 . 综上所述,或 . 8.B【解析】 设,则,则是减函数,在上为增函数,在 上为减函数,则根据复合函数单调性“同增异减”的原则,可知的单调递减区间是 . 9. 【解析】 令,由于的值域是,所以的值域是 . 因此有解得,这时, , 由于的单调递减区间是,所以的单调递增区间是 . 10. 【解析】 运用分段函数单调性知识,结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 由题意,对任意的,都有成立,则为定义在 上的减函数,则各段为 减函数,还要在区间端点附近递减, 所以 （ 不要忽略分割点处函数值的大小关系） 解得则 . 11.(1) 【解析】求指数型复合函数的单调性主要利用“同增异减”原则.函数的定义域满足,即 .（研究函数的单调性时,坚持“定义域优先”原则）设,则函数 的单调递增区间为,单调递减区间为 .又因为指数函数 在其定义域内为减函数,所以由复合函数的单调性可知的单调递增区间为 . (2) 【解析】 将原函数拆解为外层函数和内层函数 ,其中内层函数图 象的对称轴为, 是增函数,因为是上的增函数,需要内层函数与外层函数在 上有相同的增减性 所以,即,所以实数的取值范围为 . 12.D【解析】 利用指数函数的单调性由“”得到“ ”, 当,时,满足,但推不出 ,故不是充分条件； 又当,时,满足,但推不出 ,故不是必要条件. 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件. 13.BD【解析】 A,C项同底,构造指数函数；B项同指,构造幂函数；D项不同底不同指,借助中 间值“1”判断. 函数在上单调递增,故 ； 函数在上单调递增,故；（或由知在 轴右侧 时,指数函数的图象“底大图高”） 函数在上单调递减,故 ； 因为,,所以 . 14.ABD【解析】 根据函数图象可得出, 的取值范围,利用可判断A,C,D选项,利用不等式的基本性质可判断B选项. 由图象可知,函数,且在上单调递增,则,且当 时, 指数型函数图象过定点）,可得 . ； ； ； 由题意可知,,则,所以 . 15.B【解析】 ,则,即 ,解得 ,所以的取值范围为 . 16.A【解析】 根据指数函数的图象和性质求解. 由题知,令,解得.作出函数和 的大致图象,如图, 由图可知，若,则 . 17. 【解析】 为偶函数,其图象关于轴对称, 的图象关于直线 对称.又当时, , 在上单调递增,故不等式 可等价为 ,（利用单调性,脱掉“ ”,将函数值的大小关系转化为自变量的 大小关系,是解不等式中的常用方法） 即 , 当时,不等式可化为,即 ,无解, 当时,不等式可化为,即 , 即,故,解得 . 综上，不等式的解集为 . 18. 【解析】 由,都有,且在上单调,可知 必为定值. 设,即,由,解得 ,所以,则不等式,即为,可得,解得 ,所以不等式的解集为 . 19.A【解析】 分别计算出与的最大值,满足 即可. 由题意可知,,,则,解得 . 20.(1)【答案】由题意,,且和1是关于的方程 的两根, 故解得 (2)【答案】 由（1）知.由对 恒成立,即 对 恒成立,（参数分离） 只要即可,其中 . 而 , 当且仅当，即 时取等号. 故当时,的最小值为 . 因此,,即 , 故实数的取值范围是 . 21.C【解析】 因为是定义在上的奇函数,所以 . 因为当时,,所以.由函数 为奇函数可知 ,所以 . 22.B【解析】 因为函数是奇函数,所以满足 , 即,化简为 , 即,解得 . 此时,函数的定义域为 ,满足题意. 由【大招52】中函数模型,且 为奇函数,且 为奇函数,可知,其中 为常数,根据对应系数相等, 解得, . 23.D【解析】 令,则的定义域为 ,因为 ,所以函数 是奇函数. . 因为是偶函数,（奇函数×奇函数 偶函数） 所以为奇函数.则 , 即, . 24. 【解析】 由【大招52】可知在上为偶函数,图象关于 轴对称. 函数的图象关于直线对称, 的图象由的图象向右平移1个单位长度得到 所以的图象关于直线对称. 事实上, 又的图象与轴有唯一交点,则交点为,即,解得 . 25.(1)【答案】因为在上的函数的图象关于原点对称,所以 为奇函数, 所以,即 ,检验如下, 此时,所以 , 故是奇函数,满足要求,所以 . (2)【答案】 在上单调递减,证明如下:由知, , 直接由【大招52】可知函数在上单调递减 任取,且,则 , 因为,所以,又, , 所以,所以在 上单调递减. (3)【答案】 由（1）知,所以可化为 , 由知在上单调递减,所以,利用的单调性脱“ ”转化为解不等式问题 即,所以,解得 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $