3.4 函数的应用（一) 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教（A）版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 基础题型训练 题型一 二次函数模型 1.（2025合肥八中期中）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”,是隋炀帝眼中的“灯树千光照,花焰七枝开”.烟花,虽然是没有根的花,是虚幻的花,却在达到最高点时爆裂,用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度 （单位:米）与时间（单位:秒）之间的关系式为 ,则烟花在冲击后爆裂的时刻是( ) A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 2.（2025广东深圳期中）甲、乙两城相距,在两城之间距甲城 处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电（甲、乙、丙在同一条直线上）,为保证城市安全,核电站距两城的距离不少于.已知各城供电费用（元）与供电距离 的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比,比例系数均是 ,若甲城供电量为20亿千瓦时/月,乙城供电量为10亿千瓦时/月.（1）月供电总费用（元）与 的函数关系式为_____________________________________；（2）月供电总费用最小为______元. 3.（2025辽宁沈阳一中期中）某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台的收入（单位：元）函数为 ,其成本（单位：元）函数为 ,利润是收入与成本之差. （1） 求利润函数及利润函数 的最大值； （2） 为了促销,如果每月还需投入500元的宣传费用,设每台产品的利润为,求 的大值及此时 的值. 题型二 分段函数模型 4.（2025江苏南京期中统考）学校宿舍与办 公室相距 .某同学有重要材料要送交给老 师,从宿舍出发,先匀速跑步 来到办公室, 停留,然后匀速步行 返回宿舍.在 这个过程中,这位同学行进的速度和行走的路程 都是时间 的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 5.（2025广东揭阳检测）某建材商场国庆期间搞促销活动,规定：如果顾客选购物品的总 金额不超过1 000元,则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1 000元, 则超过1 000元部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元部分 5%  超过500元的部分 10%  某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元,则他实际所付金额为_______元. 6.（2024湖南衡阳一中月考）长沙市地铁8号线项目正在进行中,通车后将给市民带来便利.该线路通车后,列车的发车时间间隔（单位：分）满足 ,经市场调研测算,列车载客量与发车时间间隔相关,当 时,列车处于满载状态,载客量为600人,当时,载客量会减少,减少的人数与 成正比,且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人,记列车载客量为 . （1） 求 的表达式,并求当发车时间间隔为5分钟时,列车的载客量. （2） 若该线路每分钟的净收益（单位：元） ,则当发车时间 间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值. 能力提升训练 7.（2024广东河源期中）在一般情况下,过江大桥上的车流速度 （单位：千米/时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为90千米/时；研究表明,当时,车流速度是车流密度的一次函数.设当车流密度 时,车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位：辆/时） 可以达到最大.则( ) A. B. C. D. 8.（2025广东联考）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件,购物节期间这家店铺对该商品进行促销,顾客支付款不超过100元的部分按照 返现,超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买 件商品,所需费用（支付款减去返现）为元,则时, _________. 9.（2025江西南昌检测）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备,并立即投入使用,使用该设备后,每年的总收入预计为50万元.设使用 年后该设备的维修、保养费用为万元,盈利总额为万元.（1）与 之间的函数关系式为_____________________； （2）从第___年开始,使用该设备开始盈利. 10.（2025云南昭通期中）甲、乙两地相距1 000千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度 （千米/时）的平方成正比,比例系数为 ,固定部分为720元.为使全程运输成本最小,汽车的速度是____千米/时. 11.（2024山西太原外国语学校检测）某城市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法 计算用户的水费.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12m³ 3元/m³ 超过12m³但不超过18m³的部分 6元/m³ 超过18m³的部分 9元/m³ （1） 设每户每月用水量为时,应交纳水费元,写出关于 的函数关系式； （2） 若某同学家本月交纳的水费为60元,则其本月用水量是多少？ 12.（2024四川成都阶段练习）党的二十大报告明确要求完善中国特色现代企业制度,弘扬 企业家精神,加快建设世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革,现在准备从单一产品 转为生产,两种产品,根据市场调查与市场预测,生产 产品的利润与投资成正比,其关系 如图1；生产 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2（注：所示图中的横 轴表示投资金额,纵轴表示利润,单位均为万元）. （1） 分别求出生产, 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； （2） 该企业已筹集到12万元资金,并全部投入, 两种产品的生产,问：怎样分配这12万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少？ 13.（2025海南六校联考）在一个实验中,发现某个物体离地面的高度 （单位：米）随时 间（单位：秒）的变化规律可表示为 （1） 当, 时,若此物体的高度不低于4米,则能持续多长时间？ （2） 当且仅当时,此物体达到最大高度,为6米,求实数, 满足的条件. 14.（2024武汉新洲一中期中）如图1,腰长为的等腰直角与矩形 夹在两条 平行直线之间,其中点与点重合.若矩形位置固定不动,而以 的速 度向右平行移动,移动过程中两图形重叠部分的面积记为,函数 的部分图象如图2 所示,其中 的函数图象被遮住,由虚线代替. （1） 求函数 的解析式； （2） 求重叠部分的面积不小于 的持续时间. 15.已知某工厂设计一个零件部件,要求从圆形铁片上进行裁剪,部 件由6个全等的等腰三角形和一个正六边形构成,其中 是圆心,也 是正六边形的中心.如图,设正六边形边长 ,等腰三角 形的腰,要求,该部件的面积为 . （1） 求关于的关系式,并求出 的取值范围； （2） 请问当 取何值时,该部件的周长取最小值,并求出此时该圆形铁片的面积. 参考答案 1.A【解析】 由题意, ,则当时, 取最大值，即烟花达到最高点,爆裂的时刻是第4秒. 2.(1), (2) 【解析】（1）由题意知, ，经化简得,定义域为 . （2）将（1）中函数配方为 ,所以当,即核电站距甲城时,月供电总费用最小,为 元. 3.(1)【答案】由题意知,, , ,所以当或时, 取得最大值,为74 120 元. 所以利润函数, 的最大值为74 120 元. (2)【答案】依题意,得 , 当且仅当,即 时等号成立. 所以当时,每台产品的利润 取得最大值，为1 900元. 4.A【解析】 由题可知, 由速度函数及路程函数的解析式可知,其图象分别为①②. 5. 1610 【解析】 设顾客选购物品的总金额为元,获得的折扣优惠金额为元,则当 时,；当时, ,令,得,解得 ,不符合题意. 当 时,,令 ,所以,解得,符合题意,所以他实际所付金额为 （元）. 6.(1)【答案】显然当时, , 当时,设 , 当时,,即,解得 , 故 , 故 当时, ,故当发车时间间隔为5分钟时,载客量为475 人. (2)【答案】 由（1）知 当时, , 当且仅当,即时,等号成立,故此时 ； 当时,单调递减,故此时 . 由于,故当时, , 即当发车时间间隔为5分钟时,该线路每分钟的净收益最大,且最大值为1 400元. 7.A【解析】 由题意可知,则当时, ,当 时,,即解得 故 , 当时,的最大值为 ； 当时, ,此 时的最大值为 . 因为,所以, . 8. 【解析】 因为当时, 元,所以 . 9.(1), (2) 3 【解析】 （1）由已知可得,, . （2）当 时,开始盈利,即,整理可得,解得 .又因为,所以 ,即从第3年开始盈利. 10. 60 【解析】 已知汽车速度为千米/时,设运输成本为 元，由题意得 ,由对勾函数的性质可知, 在 上单调递减,在上单调递增,所以当 时,运输成本最小. 11.(1)【答案】 依题意,当时,;当 时, ;当时, . 故关于 的函数关系式为 (2)【答案】 因为,所以本月用水量应在至之间,由 ,解得,即该同学家本月用水量为 . 12.(1)【答案】设投资为万元,产品的利润为万元,产品的利润为 万元, 由题意设, , 由题图1知,故,由题图2知,所以 . 从而, . (2)【答案】 设产品投入万元,则产品投入万元,设企业利润为 万元, 则,令 （换元法脱根 号）,则,,所以 ,当时,,此时 . 故产品投入8万元, 产品投入4万元,才能使企业获得最大利润,最大利润是8万元. 13.(1)【答案】当,时, 由题意可知: , 若,则,解得 ； 若,则,解得 . 综上所述: , 所以若此物体的高度不低于4米,则能持续的时间为 （秒）. (2)【答案】 令,解得,可得 , 易知在 上单调递增, 由题意可得:当时,,解得 ； 且在内恒成立,则解得 . 综上所述,, . 14.(1)【答案】依题意得,的长应为与 重 合至与 重合时的运动路程,故 . 当时, ； 当时, ； 当时, ； 当时, , 所以 (2)【答案】 若,结合函数的解析式,只需考虑 . 当时,由,解得 ； 当时, 成立； 当时,由,解得 , 所以重叠部分的面积不小于的时间区间为 ,持续时间为3秒. 15.(1)【答案】如图,连接,,取的中点,连接 并延长到 . 因为,等腰三角形的腰 ,又等腰三角形三线合一得 , 所以等腰三角形边上的高 , 则该部件的面积为 ,变形可得 , 所以 . 因为,所以,即 ,解得 , 由,解得 , 故关于的关系式为, . (2)【答案】 该部件的周长 () , 当且仅当,即时,等号成立,满足 ,此时 , 易知 , 此时该圆形铁片的半径 , 则该圆形铁片的面积为 . 故当时,该部件的周长取最小值,此时该圆形铁片的面积为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $