3.3 幂函数 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教（A）版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 基础题型训练 题型一 幂函数定义的理解 1.下面的函数中是幂函数的有( ) ；；；； . A.①⑤ B.①②③ C.②④ D.②③⑤ 2.（2025辽宁六校联考）已知幂函数满足,则 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 3.（2025山西运城期末）已知幂函数 的图象与坐标轴没有公共 点,则 ( ) A. B. C.2 D. 题型二 幂函数的图象 4.（2024黑龙江哈尔滨六中阶段练习）函数 的图象大致为( ) 5.函数,且互质 的图象如图,则( ) A.,是奇数,且 B.是偶数,是奇数,且 C.是偶数,是奇数,且 D.,是偶数,且 6.（多选/2024吉林四平一中月考）下列说法正确的是( ) A.所有幂函数的图象均过点 B.若幂函数 在区间上单调递减,则 C.幂函数一定具有奇偶性 D.任何幂函数的图象都不经过第四象限 7.（2025浙江杭州期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为( ) A. B. C. D. 8.（多选/2024湖北省沙市中学月考）已知幂函数的图象经过, ,,中的三个点,则 的值可能为( ) A. B. C.3 D.9 题型三 幂函数的性质及应用 9.（2024广东汕头期末统考）已知点在幂函数的图象上,则函数 是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 10.（2025南京师大附中检测）下列函数中,既是奇函数,又在区间 上单调递增的是( ) A. B. C. D. 11.（2025湖南长郡十八校联考）已知幂函数的定义域是,则 ___. 12.已知函数 ,则其单调递增区间为________. 13.（2024云南昆明一中阶段练习）若,且,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 14.（2025重庆期中）已知幂函数,且 ,则下列选项中正确的是 ( ) A. B. C. D. 15.（2025云南昭通期中）已知,,, ,则( ) A. B. C. D. 16.（2025陕西咸阳检测）已知集合},则集合 的子集个数是 ( ) A.4 B.7 C.8 D.16 17.（2024重庆市永川中学期中）已知幂函数在 上 是减函数,.若,则实数 的取值范围为______. 18. 比较下列各组数的大小. （1） 与 ； （2） 与 ； （3） , . 参考答案 1.C【解析】 由幂函数定义可知,②④是幂函数. 2.B【解析】 因为幂函数满足,所以,所以 , 则,从而 . 3.A【解析】 由题意知解得.所以,所以 . 4.C【解析】 的定义域为,且 , 故 为偶函数,排除A,B； 因为,所以函数的图象在 上增长速度越来越快,为下凸函数,C正确,D错误. 5.C【解析】 因为函数的图象关于轴对称,所以为奇数, 为偶数,又因为在第一象 限内,函数是上凸函数,所以 . 6.B【解析】 的图象不过点 ； 当幂函数 在区间上单调递减时, ； 对于函数 ,无奇偶性； 任何幂函数的图象都不经过第四象限. 7.C【解析】 ,定义域为 ,当 时, ； 当时, ； ,定义域为 ,函数为偶函数,且 在上单调递减,在 上单调递增； ,当时, . 8.BC【解析】 设,由幂函数的性质可知的图象必定经过点 ,若的图象经过,,三点,由,得 可能为正奇数, 则的解析式可能为,满足,此时 ； 若的图象经过,,三点,由,得 , 则,满足,此时 ； 若的图象经过,,三点,由,得到,,此时点不在 的图象上,即的图象不同时经过,, 三点. 9.A【解析】 点在幂函数的图象上,则,解得 , 所以,由幂函数的性质可知,幂函数的定义域为 （判断函数奇偶性时先判断函数定义域是否关于原点对称）, ,函数 是奇函数；函数在和 上单调递减,但在定义域内不单调. 10.D【解析】 函数的定义域为 ,不是奇函数； 函数是 上的偶函数； 幂函数在 上单调递减； 幂函数是奇函数,且在 上单调递增. 11. 2 【解析】 因为函数为幂函数,所以 ,即 , 解得或 , 当时,函数的定义域为 ,合乎题意； 当时,函数的定义域为 ,舍去. 综上所述, . 12. 【解析】 易知, 函数的定义域为 .令 ,则其在上单调递减,在上单调递增, , 由与 复合而成,根据“同增异减”确 定单调区间即可 在定义域内单调递增, 在 上单调递增. 13.B【解析】 因为,所以函数在上为增函数,由 可得 ,解得 . 14.C【解析】 因为,所以在上单调递增,又因为 ,所以 ,所以 . 15.B【解析】 因为,,, ,所以 ,又因为,,,,且幂函数在 上单调递 增,所以 . 16.C【解析】 因为,（幂函数在上单调递增）所以 ,又 因为,所以,所以的子集有 个. 17. 【解析】 由函数为幂函数得,,解得 或,又因为函数在上是减函数,则,即 , 所以,所以 , 所以不等式为 . 设函数,则函数的定义域为,且函数在 上单调递减,所 以解得,所以实数的取值范围是 . 18.(1)【答案】因为幂函数在定义域 上单调递减, 且 ,所以 . (2)【答案】 幂函数的定义域为 , 且在 上单调递减, 又因为 , 所以函数 为奇函数, 所以在 上单调递减, 又因为 , 所以 . (3)【答案】 因为函数在上是单调递增函数，而 ，所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $