3.2.2 奇偶性 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教（A）版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性 基础题型训练 题型一 函数奇偶性概念的理解及判断 1.（2024福建省泉州实验中学月考）若函数是 上的奇函数,则下列结论错误的是 ( ) A. B. C. D. 2.（2024江苏苏州期中统考）已知函数 ,则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. 3.（2025云南楚雄期末）下列函数中,既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是( ) A. B. C. D. 4.（2025贵州毕节期末）已知是定义在上的奇函数,是定义在 上的偶函数,则 ( ) A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是奇函数 D. 是偶函数 5.判断下列函数的奇偶性. （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 题型二 奇偶函数的图象特征 6.（2024浙江杭州期中）函数 的图象大致为( ) 7. （2024四川成都外国语学校月考）设奇函数 的定义域为,若当时, 的图象如图,则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 题型三 函数奇偶性的应用 8.（2025安徽开学考试）已知是奇函数,则实数 的值为( ) A.1 B.2 C. D.1或2 9.（2025陕西西安长安一中质量检测）若函数 是定义在 上的偶函数,则 ( ) A. B. C.3 D.1 10.（2025浙江温州十校联合体期中）函数是定义在上的偶函数,当 时, ,则在 上的表达式为( ) A. B. C. D. 11.（2025江苏盐城期中）若奇函数和偶函数满足 ,则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.（2024广东深圳中学期末）已知函数,若,则 ______. 13.（2025安徽滁州检测）若函数在区间 上的最大值为4,则 最小值为___. 14.（2025湖北云学名校联盟联考）已知为定义在 上的奇函数,且满足当时, . （1） 求 的解析式； （2） 判断函数在区间 上的单调性,并用定义证明. 题型四 奇偶性与单调性的综合应用 15.（2025北京期中）如果偶函数在上单调递减且最小值是4,那么 在 上( ) A.单调递减,且最小值是4 B.单调递减,且最大值是4 C.单调递增,且最小值是4 D.单调递增,且最大值是4 16.（2024浙江杭州萧山区第六高级中学月考）已知函数是偶函数,, , 当时,都有恒成立,设,, , 则,, 的大小关系为( ) A. B. C. D. 17.（2025湖南长沙联考）已知函数是定义在上的奇函数,在 上单调递 减,且,则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 18.（2024江苏苏州统考期中）已知函数, ,则满足 的 的取值范围为( ) A. B. C. D. 19.（2024山东德州一中阶段练习）函数是定义在 上的奇函数, 且 . （1） 判断在 上的单调性,并用定义证明； （2） 解关于的不等式 . 题型五 函数图象对称性的应用 20.（2025陕西西安期末）已知定义在上的函数在上单调递增,且 是偶函数,则满足的 的取值范围为( ) A. B. C. D. 21.（2024湘豫名校联考）已知定义在上的函数 满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意,,当 时,都有.则,, 的大小关系为( ) A. B. C. D. 22.（2025湖南长沙市长郡中学期中）已知是定义在 上的偶函数,其图象关于点 对称,且当时,,则 ( ) A. B.0 C.1 D. 23.（多选/2025湖南株洲期末）已知函数的定义域为,其图象关于点 中心对称, 若 ,则( ) A. B. C.为奇函数 D. 为奇函数 参考答案 1.D【解析】 观察选项,涉及, ,结合题意,考虑到此题考查的是对奇函数概念的理解. 因为是上的奇函数,所以,且 (定义域包含0的奇 函数满足 )； 因为,所以 ； 当时,,此时 无意义. 2.D【解析】 . ,定义域为 ,为非奇非偶函数； , 定义域为 ,为非奇非偶函数； ,为非奇非偶函数； ,为奇函数. 3.D【解析】 易知,,所以 是偶函数，不是奇函数； 因为,,所以 不是在定义域内的增函数； 因为的定义域,且不关于原点对称,所以 （判断奇偶 性应先判断定义域是否关于原点对称）不是奇函数； 定义域为,,为奇函数,因为, 均 为增函数,所以 为增函数. 4.D【解析】 因为是定义在上的奇函数,所以 ； 是定义在上的偶函数,所以 . ,所以 为奇函数； ,所以 为偶函数； ,则 为非奇非偶函数； ,则 为偶函数. 5.(1)【答案】 定义域为 （易忽略定义域） ,关于原点对称,,则 为奇函数. (2)【答案】 对于函数,因为所以 , 其定义域为,,关于原点对称.因为对定义域内的每一个,都有 , 所以, , 所以 既是奇函数又是偶函数. (3)【答案】 因为所以,即函数的定义域为 ,不关于原点对称, 故 既不是奇函数也不是偶函数. (4)【答案】 由可得,且 , 所以函数的定义域为,且 ,（判断函数的奇偶性时,首先要判断定义 域是否关于原点对称） 关于原点对称， 所以 （由定义域去绝对值）. 因为 , 所以函数 是奇函数. (5)【答案】 由题意知,函数的定义域为,关于原点对称.当时, ,则 ; 当时,,则 . 综上所述,,所以函数 是奇函数. 6.D【解析】 的定义域是 ,排除A,B（由解析式识别图象,根据定义域判 断是第一步,可快速排除干扰选项）；定义域关于原点对称, ,所以 为偶函数,排除C. 7.C【解析】 根据图象,当时,由得,因为函数 为奇函数, 所以当时,,若,即,则,所以 ,解得 . 综上可得,不等式的解集是 . 8.A【解析】 易知的定义域为 , ( 利用奇函数的性质的前提是函数在 处有意义,所以该题不能用 求参) 由奇函数的定义可知, , 则,整理得 恒成立, 所以,解得 . 9.B【解析】 由题意可得,解得 , 又因为,所以 , 则,所以,所以 . 10.A【解析】 方法一：因为函数是定义在上的偶函数,所以 , 当时, , 令,则,则 , 所以当时,,在上的表达式为 . 方法二:特殊值法.由是定义在上的偶函数得,排除B,D；当 时, ,排除C. 11.C【解析】 因为奇函数和偶函数满足 , 所以 , 即解得因此 . 12. 【解析】 因为,所以 ,则 . 13 .0【解析】 因为（分离常数）,令 , ,则,又因为 ,所以函 数 为奇函数. 因为奇函数的图象关于原点对称,所以在 上的最大值和最小值之和为 0,即 , 所以, . 14.(1)【答案】因为为定义在上的奇函数,所以 ,（易忽略 处的情况） 又因为当时, , 设,则,所以 , 所以 (2)【答案】 在上单调递增,证明如下:,，且 , 则 , 因为,，且,所以,,, , 则,故 , 即 , 所以在 上单调递增. 15.C【解析】 偶函数在 上单调递减，且最小值是4（联想到偶函数的图象关于直线对称）,所以,则在上单调递增，且最小值为 . 16.A【解析】 ,,当时,都有 （函数单调 性判断的等价形式）恒成立,则在上单调递增,有 ,又函数 是偶函数,,,,所以 . 17.D【解析】 因为是定义在上的奇函数, . 所以 , 因为在上单调递减,当时,,故 , 因为是定义在上的奇函数,故在 上单调递减, 又因为,所以当时,,故 , 综上,的解集为 . 18.B【解析】 由,,得,所以 为偶函数,又因为在上单调递增,在 上单调递增,则 在上单调递增,在 上单调递减（奇、偶函数单调性满 足“奇同偶异”）, 则,即,即（ 轴两侧“左减右增” 的偶函数,越靠近 轴,函数值越小,反之越大）, 解得 . 19.(1)【答案】由函数是定义在 上的奇函数, 得,解得 . 经检验,时, , 所以是 上的奇函数,满足题意. 又因为,解得 , 故, . 函数在 上单调递增.证明如下： ,，且 , 则 . 因为 , 所以,,, , 所以,即 , 所以在 上单调递增. (2)【答案】 因为 为奇函数, 所以 , 不等式可转化为,即 , 又因为在上单调递增,所以（脱“ ”时容易忽略定义域,一定 要时刻注意函数的定义域）解得,所以的解集为 . 20.D【解析】 因为函数(函数的图象向左平移1个单位长度得到 的图象) 是偶函数,所以函数 的图象关于直线 对称, 又因为在 上单调递增, 由,得,即 , 两边同时平方并化简,得,解得或,即 的取值范围为 . 21.A【解析】 由函数是偶函数,得函数的图象关于 轴对称,因此函数的图象关于直线 对称, (的图象的图象,的图象关于直线 对称,则 的图象关于直线 对称) 则.由对任意,,当 时,都有 ,得函数在 上单调递减,而 ,则 , 所以,,的大小关系为 . 22.B【解析】 由已知可得,.因为是定义在 上的偶函数,所以 .又的图象关于点对称,所以,所以 .(的图象关于点对称,则 ) 23.BC【解析】 因为图象的对称中心为,所以 （【大招40】定理2）, 将变为得,变形得 ； 由A知,,结合已知, , 即,令,得 ； 的图象可由 的图象向左平移1个单位长度后, 再向下平移2个单位长度得到, 由的图象关于点中心对称知,的图象关于点 中心对称, 即 为奇函数； 由,用替换,得 ,即 , . 令,定义域为,所以,所以 为偶函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $