3.2.1 单调性与最大（小）值 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教（A）版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 基础题型训练 题型一 理解函数单调性的定义 1.（2025上海师范大学附属嘉定高级中学期中）已知函数,.若 成立,则下列说法中正确的是( ) A.函数在 上一定是增函数 B.函数在 上一定不是增函数 C.函数在 上可能是减函数 D.函数在 上不可能是减函数 2.（多选）下列说法正确的是( ) A.若在区间上,随着自变量的减小,函数值反而增大,则在 上单调递减 B.函数在 上单调递增 C.函数 在定义域内为增函数 D.函数的单调递减区间为 3.（2024陕西咸阳高新一中质检）如果函数在上单调递增,对于任意的 , ,则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 题型二 判断函数单调性或求单调区间 4.（2025浙江杭州期中）函数 的图象如图所示,则该函数的定义域和单调 递增区间分别是( ) A.定义域为, ；单调递增区间为 B.定义域为；单调递增区间为 , C.定义域为, ；单调递增区间为 D.定义域为；单调递增区间为 , 题型三 函数单调性的应用 5.（2025吉林长春期中）函数 的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 6.（2024湖南永州期末统考）已知函数 . （1） 若,求 的值； （2） 若,判断在区间 上的单调性,并用定义法证明. 7.（2025广东广州大同中学期中）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 8.（多选/2025海南海口检测）下列关于函数 的结论正确的是( ) A.在和 上单调递增 B.在和 上单调递减 C.在 上单调递增 D.在 上单调递增 9.（2025江西宜丰中学等多校质量检测）已知函数满足任意的实数, ,都有 ,且当时, . （1） 求 的值； （2） 判断在 上的单调性并证明. 题型四 函数的最值求解及应用 10.（2025湖北武汉期末）“”是“在 上单调递减”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.（2025山东聊城开学考试）已知函数在区间 上单调递 减,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.（2025辽宁七校协作体联考）函数是增函数,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 13.（2025江苏南京检测）若函数是 上的单调函数,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 14.（2025上海长宁区期末）已知函数在 上单调递减,且在 上的函数值不恒为负,则实数 的取值范围为_______. 15.（2024福建福州期中统考）函数为定义在上的增函数,若 ,则( ) A. B. C. D. 16.（2024重庆第二外国语学校期中）定义在上的函数 满足以下条件：①函数 的图象关于直线轴对称,在区间上单调递减,则 , , 的大小关系为( ) A. B. C. D. 17.（2025福建泉州期末）已知函数,则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 18.（2025江苏镇江期末）已知函数 则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 19.（2024哈尔滨九中月考）定义在上的函数 满足 ,且,则使得成立的 的取值范围是______. 20.函数 的最大值为( ) A.0 B.2 C.6 D.12 21.（2025江苏连云港期中）已知函数,,则函数 的值域为 ( ) A. B. C. D. 22.（2024浙江9+1高中联盟期中）已知函数的定义域为,对于任意的 , ,都有.当时,都有,且 .当 时, 的最大值是( ) A.5 B.6 C.8 D.12 23.（2025湖南长沙市长郡中学月考）已知, . （1） 求证:函数在区间 上是减函数； （2） 求函数在区间 上的值域. 24.（2025安徽亳州检测）若函数在上的最大值为,则 ( ) A. B.1 C. D. 25.（2024黑龙江齐齐哈尔一中期中）已知,函数 有最大值,则 实数 的取值范围是________. 26.（2024云南昭通昭阳一中期中）某品牌电动汽车在某路段以每时 千米的速度匀速行 驶400千米.该路段限速为 （单位：千米/时）.充电费为1.5元/（千瓦·时）, 电动汽车行驶时耗电（千瓦·时）/时,轮胎磨损费为 元/千米,道路通行费为 0.2元/千米. （1） 求这次行车总费用关于 的表达式. （2） 当行车速度 为何值时,这次行车的总费用最低?最低费用为多少? 题型五 二次函数的最值问题 27.（多选/2024江苏盐城一中阶段练习）已知函数 的最小值 为,则实数 的可能取值是( ) A.1 B.3 C.5 D.7 28.（2024湖北荆州中学期中）已知函数在上的最大值为 , 则实数 的值为___. 29.（2025河北保定期中）已知二次函数的图象与 轴交点的横 坐标分别为0,4,且当 时,最大值为10. （1） 求函数的解析式； （2） 设,当 时,求函数的最小值. 参考答案 1.D【解析】 因为函数,且 成立, 则函数在 上不可能是减函数,可能是增函数,也可能不是增函数,（函数单调性中的任意性）如,满足,但是在 上不具有单调性. 2.AB【解析】 设任意，则,由函数单调性知在 上是减函数； 该二次函数是对称轴为直线 ,开口向上的抛物线, 函数在 上单调递增； 函数在和上分别单调递增,但不能说 在定义域内单调 递增； 函数在和上分别单调递减,单调递减区间为 和 .(或写成,的形式,不能用“ ”符号连接) 3.A【解析】 因为在上单调递增,所以对于任意的, , 当时,,所以,,所以 ， ； 当时,,所以,,所以 , .因此 . 由于,的大小关系不确定,所以与 的大小关系也不确定. 4.D【解析】 定义域是函数自变量的取值范围,由图象可知为 , 函数的单调递增区间有2个,不能用并集,并且单调区间是定义域的子集,即, . 5.A【解析】 函数 当时,在 上单调递减, 当时,在上单调递减,在 上单调递增, 所以函数的单调递增区间为 . 6.(1)【答案】由题设可知,则,故 . (2)【答案】 在区间 上单调递增,证明如下： 任取,则 , 又因为,且,,则 , 又因为,所以,则 ,即 在区间 上单调递增. 7.A【解析】 函数中,,（定义域优先）解得 , 又因为的图象开口向下,对称轴方程为,时 , 函数在上单调递减,在 上单调递增, 又因为在 上单调递增, 因此函数在上单调递减,在 上单调递增,（同增异减） 所以函数的单调递减区间是 . 8.ABC【解析】 函数,定义域为 , 由函数和在和上都单调递增,所以 （增+增=增） 在和 上单调递增； 函数 ,（分离常数法） 其图象可由反比例函数 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到, 由于反比例函数在和上单调递减,所以在 和 上单调递减； 当时,函数,所以在 上单调递增； 函数在上单调递减,在 上单调递增. 9.(1)【答案】因为函数满足对任意的实数， ，都有 ， 令，则，所以 . (2)【答案】 在 上单调递增.证明如下： 设，且 ，所以 ， 又，所以，所以，所以 ，即 ，所以在 上单调递增. 10.C【解析】 当在上单调递减时，任取,，且 ， 则 ， 又，所以可得 ， 故“”是“在 上单调递减”的充要条件. 11.D【解析】 将拆解成外层函数和内层函数 ,外层函数在上单调递增,要使函数在区间 上单调递 减,只需两个函数单调性相异.由题意得,二次函数 图象的对称轴为直线 ,函数在 为增函数, 函数在区间 上单调递减, （保证根号下非负）解得 , 实数的取值范围是 . 12.C【解析】 由题意可知当时,单调递增,则 ①, 图象的对称轴为直线,开口向下,由函数在 上单调递增， 则 ②, 因为函数 是增函数,所以 （ 分段函数在两段分界点处的函数值 的大小关系）③, 由①②③解得,所以实数的取值范围为 . 13.B【解析】 函数 由函数是上的单调函数，得函数在 上单调. ①当时，在上单调递增，而时， 为常数函数，不单调递增， 因此 ； ②当时，，函数在,上单调递增，在 上 单调递减，,，函数在上不单调，因此 不成立； ③当时，，函数在,上单调递增，在 上 单调递减， 因此函数在上单调递增，且，即，解得 ， 此时函数在上单调递增，要使函数在 上单调递增， 则，而，解得 ， 所以实数的取值范围为 . 14. 【解析】 , 所以的图象可由的图象向左平移2个单位长度,再向上或向下平移 个单位 长度得到, 又因为在上单调递减,且在 上的函数值不恒为负,所以(保证函数单调递减,在 上的函数值不恒为负只需最大值 非负) 解得 . 15.C【解析】 由题可知是增函数,当时,,则 ； 当时,,则 ； ,因此,则 ； 当时,,则 . 16.B【解析】 由函数的图象关于直线轴对称（由函数图象关于直线 对 称可联想到二次函数的图象）,可得,,又函数 在区间 上单调递减,所以,即 . 17.C【解析】 函数,所以定义域为解得 , （确定函数的单调区间前先确定函数定义域） 因为在定义域是增函数, 在定义域上是增函数, 所以（增+增=增）在 上单调递增, 由不等式得解得 . 18.B【解析】 因为当时 单调递增, 当时单调递增,且时, , 所以分段函数 是一个单调递增函数,（解不等式前先确定分段函数的单调性） 由可得,解得或 . 19. 【解析】 已知,且,(对比定义法判断函数 单调性的 式子可知判断的不是 的单调性，观察式子结构，需要通过变形确定新函 数),则两边同时除以可得,令, ,则原不等式可化为 ,因此函数在上单调递减.由,得 ,又因为 ,于是,解得,所以使得成立的 的取值范围 是 . 20.D【解析】 函数,都在上单调递增,则函数在 上单调递增（【大招识别】增+增=增）,所以 . 21.B【解析】 由题意得,设,,且 , 则 , 因为,所以 , 又因为, , 若,,则,此时 , 所以在 上为减函数； 若,,则,此时 , 所以在 上为增函数. 综上所述,函数在上为减函数,在 上为增函数, 所以,因为, , 所以,所以函数,的值域为 . 22.A【解析】 令,则.令,则,故 . 令,则,故.令, ,（ 利用构造“积”证明单调性）可得 . 不妨设,则,,则,故 在 上单调递增,所以在区间上的最大值是 . 23.(1)【答案】令 ,则 ,又因为,,,所以 , 所以函数在区间上是减函数.( ,也可由对勾函数的性质得 到单调性以及（2）中的值域) (2)【答案】 由（1）知函数在区间上是减函数,又 , 所以函数在区间上的值域为 . 24.D【解析】 当时，，不符合题意.因为 ，所以函数含参，需要分情况讨论，当时，在 上单调递减， 则，解得 ，矛盾，不符合题意. 当 时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在 上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在 上单调递减， 所以，解得 ，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增， 函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以，解得，与 矛盾，不符合题意. 综上所述， 25. 【解析】 当时,（ 反比例函数的定义域不包括 ） 无最大值,不满足题意,所以要使函数存在最大值,则且 ,即 解得 . 26.(1)【答案】由已知得 ,所以这次行车总费用关于的表达式为 . (2)【答案】 因为函数在时单调递减,在 时也 单调递减,所以函数（【大招识别】减+减=减）在 时单 调递减,所以当时,取得最小值, （元）, 因此当行车速度 时,这次行车的总费用最低,为115元. 27.AB【解析】 函数（对勾函数）在上单调递减,在 上单调递增,故当时,函数 . 函数图象的对称轴为直线 ,开口向上， 当,时,(在区间右侧，函数在 处取 得最小值), 要想函数的最小值为,只需,则,解得 ,即 ,显然选项A,B符合； 当,时,,函数的最小值显然不是( 在区间 内，函数在 处取得最小值). 综上所述,只有选项A,B符合条件. 28. 【解析】 函数图象的开口向上，对称轴为直线 .又因为 ,所以当时,（对称轴离 更远，在 处取得最大值）,得（舍去）;当时, ,得 .综上所述,实数的值是 . 29.(1)【答案】 由题意可知，的两实数根分别为0，4，所以 , ， 所以,，所以二次函数为 ，其图象的对称轴方程为 ， 当，时，最大值为，所以，所以当 时，函数 解析式为 ； 当，时，最大值为，所以，所以当 时，函 数解析式为 . (2)【答案】 由（1）知，当时函数解析式为 ，图象开口向上，对称轴 为直线 ， 当时（轴在区间右侧）， 时，函数单调递减， 当时，函数有最小值，为 ； 当时，（轴在区间内） 时，函数单调递减， 时，函数单调递增，当时，函数有最小值，为 ； 当时，（轴在区间左侧） 时，函数单调递增， 当时，函数有最小值，为 . 综上所述，当时，函数的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $