精品解析：山东省日照市日照经济技术开发区日照神州天立高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

日照天立高级中学2025-2026学年上学期9月质量检测 高二年级数学学科试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 2. 已知点，则线段AB的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案. 【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为，即. 故选：A. 3. 已知，，若，则x的值为（ ） A. 7 B. -8 C. 6 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求参. 【详解】已知，， 因为， 则，. 故选：A. 4. 如图，已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加法法则可得答案. 【详解】由. 故选：C 5. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再利用空间向量模长的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以，所以， 故选：C. 6. ，，，为坐标原点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点C坐标，由向量数乘运算的坐标表示，得点C的坐标. 【详解】设点C坐标为，因为，， 所以，，又因为， 所以，，，即，，， 所以C坐标为. 故选：A. 7. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 8. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵四点共面， ∴，即． ∵，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为1． 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是直线l的倾斜角，则 B. 若k是直线的斜率，则 C. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，再结合模的坐标表示求解判断A；先求出，再根据空间向量数量积的坐标表示判断B；根据空间向量数量积的坐标表示判断D；结合，即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，选项A错误； 对于B，因为，所以， 则，选项B正确； 对于D，因为，所以，选项D正确． 对于C，因为，，，且平面， 所以是平面的一个法向量，选项C正确. 故选：BCD. 11. 如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成的角的余弦值为 C. 点A到平面的距离为 D. 平面与平面所成的角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间坐标系所示，利用异面直线的向量求法可判断A正确，由线面角的向量表示可判断B错误，再根据点到面的距离的向量求法可得C正确；再由面面角的向量求法可得D错误. 【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，， 设， 由E为的中点可得， 解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示： ，，，，， 则，，，， 对于A，易知， 所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确； 对于B，设平面的法向量为，，即， 取，， 设与平面所成的角为，则，选项B不正确； 对于C，点A到平面的距离为，选项C正确. 对于D，设平面的法向量为，， 则，即，取， ，， 所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点和，则的斜率为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 13. 已知，，且，那么________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知中，，且，根据向量平行（共线）的充要条件，我们可得存在，使，构造方程组求出，x，y后，即可求出答案. 【详解】解：，，又， 则存在，使，即， 解得，，，， 故答案为：. 14. 如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建系，分别计算的坐标，利用即可求出. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则， 则， 则 ， 得， 因，则，解得． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知向量，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）利用空间向量坐标的线性运算可得结果； （3）利用空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ， 所以. 16. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得 ， 所以. 17. 在正四棱柱中，，是棱 上的中点． （1）求证：； （2）异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） 证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， ， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直； （2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设异面直线与所成角的大小为， 则， 故异面直线AM与BC所成角的余弦值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形， 则， 所以两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，平面，所以平面 所以平面PAD的法向量为， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直接坐标系，求出平面的法向量为，由即可证明； （2）由线面角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，因为平面， 所以是平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 19. 如图，在四棱锥中，平面，.点在棱上且与不重合，平面交棱于点. （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求的最小值. 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面. 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得. （2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值. （3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图： 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形，所以平面. 又在和中，，，. 所以（）. 所以，. 故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 当为中点时，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取，可得 故. 设平面的法向量为， 则，取，得， 得. 所以. 所以二面角的正弦值为：. 【小问3详解】 设，（），，则，，. 设平面的法向量为，则 ， 令，则，取. 则到平面的距离为：， 到平面的距离为：， 所以 设，则 那么（当且仅当即时取“”） 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 日照天立高级中学2025-2026学年上学期9月质量检测 高二年级数学学科试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，则线段AB的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则x的值为（ ） A. 7 B. -8 C. 6 D. -5 4. 如图，已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 6. ，，，为坐标原点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是直线l的倾斜角，则 B. 若k是直线的斜率，则 C. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 11. 如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成的角的余弦值为 C. 点A到平面的距离为 D. 平面与平面所成的角的大小为 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点和，则的斜率为__． 13. 已知，，且，那么________. 14. 如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则_____． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知向量，，求： （1）； （2）； （3）. 16. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 17. 在正四棱柱中，，是棱 上的中点． （1）求证：； （2）异面直线与所成角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 19. 如图，在四棱锥中，平面，.点在棱上且与不重合，平面交棱于点. （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $