第1章 习题课2 等比数列的性质及其实际应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦等比数列性质及应用，从定义出发推导常用性质，通过案例分析和分层练习，构建从基础性质到实际应用的学习支架，衔接等比数列与指数函数的知识脉络。 其亮点在于结合巴赫十二平均律、资金增长等现实案例，培养数学建模素养（数学眼光），通过性质推导和逻辑推理（数学思维）提升解题能力，符号化表达强化数学语言。采用案例教学与规律总结法，助力学生提升运算与建模能力，方便教师系统教学。

　 第一章　1.3 等比数列 1.3.2　等比数列与指数函数 习题课2　等比数列的性质及其实际应用 学习目标 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算解决简单的数列问题， 提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式. 4.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题，培养数学建模的核心素养. 任务一　等比数列{an}的常用性质 1 任务二　等比数列的实际应用 2 任务三　等比数列与等差数列的综合应用 3 随堂评价 4 内容索引 课时测评 5 任务一　等比数列{an}的常用性质 返回 1.若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则____________. 特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则aman＝_____. 2.an＝am·_______(m，n∈N＋). 3.在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列，公比为____. 4.若数列{an}与{bn}是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{｜an｜}，{an·bn}，{}，等也是等比数列. 5.a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1. 新知构建 aman＝apaq qn－m qk 典例1 角度一　等比数列中任意两项之间的关系 在等比数列{an}中： (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； 解：设等比数列{an}的公比为q. 由得q＝. 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32， 则an＝a3·qn－3＝32×()n－3＝()n－8＝， 所以n－8＝1，所以n＝9. (2)已知a5＝8，a7＝2，an＞0，求an. 解：由a7＝a5·q2得q2＝. 因为an＞0，所以q＝， 所以an＝a5·qn－5＝8×()n－5＝()n－8. 规律方法 等比数列的通项公式及变形的应用 1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项. 2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项. 对点练1.在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为 A.2 B. C.2或 D.－2或 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，所以a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，化为2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或.故选C. √ 对点练2.已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则等于 A.16 B.8 C.4 D.2 等比数列{an}中，设其公比为q(q≠0)，a3＝2，a4a6＝a3q·a3q3＝q4＝4q4＝16，所以q4＝4. 所以＝＝q4＝4，故选C. √ 角度二　等比数列中多项之间的关系 已知{an}为等比数列. (1)若{an}满足a2a4＝，求a1a5； 解：在等比数列{an}中， 因为a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a1a5＝. (2)若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； 解：由等比中项，化简条件得＋2a6a8＋＝49，即(a6＋a8)2＝49， 因为an＞0，所以a6＋a8＝7 典例2 (3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 规律方法 利用等比数列的性质解题 1.基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. 2.优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量 对点练3.公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于 A.4 B.5 C.6 D.7 因为a3a11＝16，所以＝16. 又因为an＞0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5. √ 对点练4.已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝______. 法一：因为{an}是等比数列， 所以a1a7＝，a2a8＝，a3a9＝. 所以··＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50. 因为an＞0，所以a4a5a6＝5. 5 法二：因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝·a2＝＝5，所以a2＝. 因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝＝10，所以a8＝1. 同理a4a5a6＝＝(＝(a2a8＝＝5＝5. 返回 任务二　等比数列的实际应用 返回 典例3 (1)(2025·杭州高二检测)“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为 A.5f B.f C.4f D.f √ 由题设依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为的等比数列{an}， 第四个单音的频率为a4＝f×()3＝f.故选B. (2)某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12％，则该公司需经过_____年其投入资金开始超过7 000万元. (参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845) 12 设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12，由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2 000×1.12n，由an＝2 000×1.12n＞7 000，可得n＞log1.12＝≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元. 规律方法 1.与等比数列有关的实际应用解题步骤 第一步建模：将实际问题转化为数学中的等比数列模型； 第二步求解：利用等比数列知识求出该问题的解； 第三步还原：将所求结果还原到实际问题中. 注意：建立等比数列模型时，要根据题意找准首项、公比和项数. 2.产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解. 对点练5.一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为 A.55 989 B.46 656 C.216 D.36 √ 设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂.故选B. 对点练6.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10％的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； 解：从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10％)，a3＝13.5(1－10％)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10％＝0.9， 所以an＝a1·＝13.5×0.. 所以n年后这辆车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元. 返回 任务三　等比数列与等差数列的综合应用 返回 (1)已知数列{}是等比数列，公比为q，则数列{an} A.是等差数列，公差为log3q B.是等差数列，公差为3q C.是等比数列，公比为log3q D.既不是等差数列，也不是等比数列 典例4 √ 因为数列{}是等比数列，所以＝＝q， 所以an＋1－an＝log3q(常数)，所以数列{an}是等差数列，公差为log3q. (2)三个数成等比数列，其积为64，如果第一个数与第三个数各减去1，则这三个数成等差数列，求这三个数. 因为三个数成等比数列， 设三个数为，a，aq，则×a×aq＝a3＝64， 所以a＝4，所以三个数为，4，4q， 第一个数与第三个数各减去1后三个数变为－1，4，4q－1， 则－1＋4q－1＝8，即2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或，所以这三个数为2，4，8或8，4，2. 变式探究 将本例(2)中的条件改为“有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80”，再求这四个数. 解：由题意，设这四个数分别为，b，bq，a， 则所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. 对点练7.(多选)已知a＞0，b＞0，若a与b的等差中项为M，等比中项为G，则下列结论正确的是 A.M与G可能相等 B.M大于G C.M小于G D.M不小于G √ 由于a＞0，b＞0时，，当且仅当a＝b时，等号成立.由a与b的等差中项为M＝，等比中项为G＝±，当a＝b，G＞0时，M＝G；当a≠b时，M＞G. √ 返回 随堂评价 返回 1.已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于 A.± B.－ C. D.± √ 根据等比数列的性质可知a1a5＝⇒a5＝＝.故选C. 2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么 A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 √ 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 3.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是 A. B. C.2 D.2 √ 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则＝q5＝32，则q＝2. 4.若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当＋取最小值时，数列{an}的公比是____. 设正项等比数列{an}的公比为q， 因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得a2a4＝4， 因此＋≥2＝2， 当且仅当＝，即＝q2＝4，即q＝2(负值舍去)时，等号成立. 所以数列{an}的公比是2. 2 5.某工厂将在2025年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2033年年底达到原有的4倍，则总产值年平均增长率为__________. 设2025年年底总产值为a(a≠0)，年平均的增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，解得x＝－1. －1 返回 课时测评 返回 1.已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则等于 A.4 B.2 C.5 D. 因为anan＋1＝2n，所以an－1an＝2n－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)， 数列{an}的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故＝22＝4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于 A.6 B.2 C.2或6 D.－2 √ 由题意知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2＜0，a18＜0，故a10＜0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝＋a10＝2，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于 A. B. C.－ D.或－ √ 因为a4＝a2·q2，所以q2＝＝＝. 又因为a1＜0，a2＞0，所以q＜0.所以q＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为 A.4 B.2 C.－2 D.－4 由a2a3a6a9a10＝(a2a10)·(a3a9)·a6＝＝32＝25，得a6＝2， 则＝＝a6＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则＝ A. B. C. D. √ 在正项等比数列{an}中，a2·a8＝a4·a6，因为a2·a8＝6，a4＋a6＝5， 所以又an＋1＜an，所以a4＝3，a6＝2，所以＝＝，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是 A.{}是等比数列 B.{anan＋1}是等比数列 C.是等比数列 D.{lg｜an｜}是等比数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n＞1). A中，＝()2＝q2为常数，故A正确； B中，＝＝q2，故B正确； C中，＝＝为常数，故C正确； D中，不一定为常数，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设数列{an}中a1＝2，若等比数列{bn}满足an＋1＝anbn，且b1 010＝1，则 a2 020＝______. 根据题意，数列{bn}满足an＋1＝anbn，即＝bn， 则有＝()·()·()…·＝b2 019·b2 018·b2 017…·b1， 而数列{bn}为等比数列，则b2 019·b2 018·b2 017…·b1＝(b1 010)2 019＝1， 则＝1，又由a1＝2，得a2 020＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝______. 由a4·a7＝－512，得a3·a8＝－512. 由(舍去). 所以q＝ ＝－2. 所以a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512. 512 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(10分)已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值. 解：因为{an}为等比数列， 所以a1·a9＝a3·a7＝64. 又因为a3＋a7＝20， 所以a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. ①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4， 此时a11＝a3q8＝4×42＝64. ②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝， 此时a11＝a3q8＝16×()2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知数列{an}为等比数列. (1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； 解：因为a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， 所以＋2a3a5＋＝36，即(a3＋a5)2＝36， 又因为an＞0，所以a3＋a5＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解：设等比数列{an}的公比为q， 因为a2－a5＝42，所以q≠1. 由已知，得 所以 若G是a5，a7的等比中项， 则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×()10＝9， 所以a5，a7的等比中项为±3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为 A.2 B. C.3 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法一：依题意可设竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9， 可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.故选D. 法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝＝27.所以a5＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于 A.±2 B.±4 C.2 D.4 因为T13＝4T9，所以a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，所以a10a11a12a13＝4. 又因为a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，所以(a8·a15)2＝4，所以a8a15＝±2. 又因为{an}为递减数列，所以q＞0，所以a8a15＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝______. 因为{an}是等比数列，所以a7·a11＝a4·a14＝6， 又a4＋a14＝5，所以 因为＝q10，所以q10＝或q10＝. 而＝q10，所以＝. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(13分)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝17，a1a8＝－38，且a1＜a8. (1)求数列{an}的通项公式； 解：由已知，得17＝a3＋a6＝a1＋a8， 又a1a8＝－38，a1＜a8，所以a1＝－2，a8＝19， 所以数列{an}的公差d＝3，所以an＝3n－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)调整数列{an}的前三项a1，a2，a3的顺序，使它们成为等比数列{bn}的前三项，求{bn}的通项公式. 解：由(1)得a1＝－2，a2＝1，a3＝4.依题意可得数列{bn}的前三项为b1＝1，b2＝－2，b3＝4或b1＝4，b2＝－2，b3＝1. ①当等比数列{bn}的前三项为b1＝1，b2＝－2，b3＝4时，公比q＝－2，bn＝(－2)n－1； ②当等比数列{bn}的前三项为b1＝4，b2＝－2，b3＝1时，公比q＝－，bn＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)在数列{an}中，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是 A.k不可能为0 B.“等差比数列”中的项不可能为0 C.等差数列一定是“等差比数列” D.等比数列一定是“等差比数列” √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为当k＝0时，根据“等差比数列”的定义，有＝0，即有an＋2 an＋1＝0，这与分母不为0矛盾，所以k≠0，故选项A正确； 因为当an＝n－1时，＝＝1为常数， 所以数列{an}为“等差比数列”，且a1＝0，故选项B错误； 又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但an＋1－an＝0，此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 解：设{an}的公差为d，则d＝＝4， 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*). 设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列. c1＝a1－b1＝2－1＝1， c4＝a4－b4＝14－6＝8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2. 则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1. 所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋). 故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若任意n∈N＋，都有bn≤bk成立，求正整数k的值. 解：由题意得，bk应为数列{bn}的最大项. 由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N＋). 当n＜3时，bn＋1－bn＞0，bn＜bn＋1， 即b1＜b2＜b3； 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4； 当n＞3时，bn＋1－bn＜0，bn＞bn＋1，即b4＞b5＞b6＞…， 所以k＝3或k＝4. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 1.3 等比数列 返回 $