1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，通过“问题思考”引导学生用倒序相加法推导公式，关联等差数列“首末等距离项和相等”的性质，构建从定义、性质到求和公式的知识支架。 其亮点在于任务驱动式设计，推导过程注重逻辑推理（如倒序相加法的探究），典例与变式结合培养数学运算（如由Sn求通项并判断等差数列），规律方法总结系统，助力学生提升核心素养，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

1.2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 　 第1章　1.2　等差数列 学习目标 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，体会从特殊到一般的思想方法，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2.掌握等差数列的前n项和公式与二次函数的关系及应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　等差数列的前n项和公式 1 任务二　利用数列前n项和公式判断等差数列 2 任务三　求{｜an｜}的前n项和 3 课时测评 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　等差数列的前n项和公式 返回 问题导思 问题.对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 提示：倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等. 新知构建 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝_____________ Sn＝______________ na1＋d 在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； 解： 所以a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解：由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又因为a8＝4＋(8－1)d＝39，所以d＝5.所以a8＝39，d＝5. 典例1 规律方法 等差数列中的基本计算 1.利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. 2.结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用. 对点练1．在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； 解：设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. (2)a3＋a15＝40，求S17； 解：S17＝＝＝＝340. (3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 解：由题意得，Sn＝＝＝－5， 解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－，所以d＝－， 所以n＝15，d＝－. 返回 任务二　利用数列前n项和公式判断等差数列 返回 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 解：当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列. 典例2 变式探究 把本例中的“Sn＝2n2－3n”改为“Sn＝2n2－3n－1”，如何求解？ 解：因为Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 规律方法 由Sn求通项公式an的步骤 1.令n＝1，则a1＝S1，求得a1. 2.令n≥2，则an＝Sn－Sn－1. 3.验证a1与an的关系 (1)若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1. (2)若a1不适合an，则an＝ 对点练2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 解：当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， 所以数列{an}的通项公式是an＝ 因为a2－a1＝4－1＝3≠2，所以数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，所以{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列. 返回 任务三　求{｜an｜}的前n项和 返回 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，满足a1＋a2＝10， S5＝40. (1)求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d， 由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10， S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8， 所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2. 典例3 (2)设bn＝｜13－an｜，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：令cn＝13－an＝11－2n， bn＝｜cn｜＝｜11－2n｜＝ 设数列{cn}的前n项和为Qn， 则Qn＝－n2＋10n. 当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n. 当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50. 规律方法 数列{｜an｜}的前n项和的三种类型的求解策略 1.等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{｜an｜}就等于数列{an}，可以直接求解； 2.等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理； 3.等差数列{an}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理. 当n＝1时，S1＝a1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5， 所以an＝ 由通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10， 所以｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67. 对点练3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜的值为 A.61　　　　 B.62　　　　 C.65　　　　 D.67 √ 返回 随堂评价 返回 √ 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于 A.－n2＋　　　　　 B.－n2－ C.n2＋ D.n2－ 因为an＝2－3n，所以a1＝2－3＝－1， 所以Sn＝＝－n2＋. √ 2.在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝ A.5或7 B.3或5 C.7或－1 D.3或－1 由an＝a1＋(n－1)×2＝11，得a1＋an＝11－2(n－1)＋11＝22－2(n－1)，又Sn＝＝35，则＝35，解得n＝5或n＝7.当n＝5时，a1＝3；当n＝7时，a1＝－1，故选D. √ 3.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则下列正确的是 A.a1＝－2 B.a1＝2 C.d＝4 D.d＝－4 因为故选AC. √ 4.已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝____. 由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＋｜a6｜＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 18 5.数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝______________. －2n＋2(n∈N＋) 当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； 当n≥2且n∈N＋时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝ －2n＋2，经检验，n＝1也适合该式.故an＝－2n＋2(n∈N＋). 返回 课时测评 返回 依题意得S3＝3a1＋3d＝12＋3d＝6，d＝－2，故选C. √ 1.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于 A.1　　　　 B.　　　　 C.－2　　　　 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于 A.49 B.42 C.35 D.28 2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于 A.10 B.15 C.20 D.30 因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580， 解得n＝20或n＝－29(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0， 所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20. √ 4.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于 A.18 B.20 C.22 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝1，则 A.a2＋a8＝2 B.a3a7＝1 C.S9＝9 D.S10＝10 设数列{an}的公差为d， 由a2＋a8＝2a5＝2，知选项A正确； a3a7＝(a5－2d)(a5＋2d)＝－4d2＝1－4d2， 由于d不确定，所以B错误； 由S9＝＝9a5＝9，知选项C正确； S10＝S9＋a10＝9＋a5＋5d＝10＋5d，由于d不确定，所以D错误. 故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5. 7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝____. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝___. 设数列{an}的公差为d， 由题意得10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)， 所以10a1＋45d＝20a1＋40d， 所以10a1＝5d， 所以＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝____. 由S13＝＝0， 得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14， 由2n－14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n为8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋n，bn＝｜an｜. (1)求数列{an}的通项公式； 解：当n＝1时，S1＝a1＝－×12＋×1＝13. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－[－(n－1)2＋(n－1)]＝16－3n. n＝1时上式也成立. 所以an＝16－3n，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解：bn＝｜an｜＝ 所以当1≤n≤5时，数列{bn}的前n项和为Tn＝Sn＝－n2＋n. 当n≥6时，数列{bn}的前n项和为Tn＝a1＋a2＋……＋a5－a6－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a5)－a1－a2－…－a5－a6－…－an ＝2S5－Sn ＝2×(－×52＋×5)－(－n2＋n) ＝n2－n＋70. 所以Tn＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为 A.5 B.6 C.7 D.8 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124， an＋an－1＋an－2＋an－3＝156， 所以4(a1＋an)＝280， 所以a1＋an＝70.又Sn＝＝·70＝210， 所以n＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12， 所以an＝3n－3，n≥2， 所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.把形如M＝mn(m，n∈N＋)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是_____. 35 设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18， 则由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n＋1，求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解：a1＝S1＝－×12＋×1＋1＝102， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104. 因为n＝1时不满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋). 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34， 即当n≤34时，an＞0；当n≥35时，an＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≤34时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n＋1， 当n≥35时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a34｜＋｜a35｜＋…＋｜an｜＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn ＝2×(－×342＋×34＋1)－(－n2＋n＋1) ＝n2－n＋3 503. 故Tn＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈ N＋)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式； 解：(1)因为S4＝28， 所以＝28，a1＋a4＝14， 所以a2＋a3＝14， 又a2a3＝45，公差d＞0， 所以a2＜a3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a2＝5，a3＝9， 所以 所以an＝4n－3，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值. 解：由(1)，知Sn＝2n2－n， 所以bn＝＝， 所以b1＝，b2＝，b3＝. 又{bn}也是等差数列， 所以b1＋b3＝2b2， 即2×＝＋， 解得c＝－(c＝0舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 1.1　空间向量及其运算 返回 $