课时测评7 等差数列前n项和的性质及其应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评7　等差数列前n项和的性质及其应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 答案：D 解析：因为＝＝＝，所以＝， 可得＝＝＝.故选D. 2.已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，＝，则＝(　　) A. B. C.1 D.2 答案：A 解析：因为Sn＝，Tn＝， 所以＝＝， 又因为＝，所以＝，即＝. 3.等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn、Tn，且＝，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为数列{an}和是等差数列，所以＝＝， 又S13＝×13＝13a7，T13＝×13＝13b7，所以＝＝， 在＝中，令n＝13有＝＝， 所以＝＝＝.故选D. 4.设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　) A.S10＝S11 B.S10＞S11 C.S9＝S10 D.S9＜S10 答案：C 解析：因为a2＝－8，a15＝5，设公差为d，则d＝＝1， 所以an＝n－10，因此S9＝S10是前n项和Sn的最小值. 故选C. 5.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是(　　) A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 答案：AB 解析：因为S6＞S7，所以a7＜0， 因为S7＞S5，所以a6＋a7＞0， 所以a6＞0，所以d＜0，A正确. 又S11＝(a1＋a11)＝11a6＞0，B正确. S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，C不正确. {Sn}中最大项为S6，D不正确. 6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，则S28＝　　　　. 答案：1 092 解析：法一：设等差数列{an}的公差为d， 则由已知条件得 整理得 所以Sn＝－15n＋×4＝2n2－17n， 所以S28＝1 092. 法二：由题意，设Sn＝an2＋bn. 由S12＝84，S20＝460，得 解得所以Sn＝2n2－17n， 所以S28＝2×282－17×28＝1 092. 法三：设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d， 所以＝a1＋(n－1)，易知{}是等差数列. 又12，20，28成等差数列，所以，，成等差数列， 所以2×＝＋，即2×＝＋， 解得S28＝1 092. 7.设{an}为等差数列，a1＞0，a6＋a7＞0，a6·a7＜0，则使其前n项和Sn＞0成立的最大自然数是　　　　. 答案：12 解析：因为a6＋a7＞0， 故S12＝＝6(a6＋a7)＞0， 又a1＞0，a6·a7＜0，所以可知S13＜0，即使Sn＞0成立的自然数n最大取12. 8.等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞｜a10｜，Sn为其前n项和，则使Sn＞0的n的最小值为　　　　. 答案：20 解析：因为a10＜0，a11＞0，a11＞｜a10｜，所以a10＋a11＞0， 因此S19＝＝19a10＜0， S20＝＝10(a10＋a11)＞0， S21＝＝21a11＞0， 因此n的最小值为20. 9.在数列{an}中，＋an＝2n－44(n∈N＋)，a1＝－23.则数列{an}的通项公式为　　　　　　. 答案：an＝ 解析：由an＋1＋an＝2n－44(n∈N＋)， 得an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44， 所以an＋2－an＝2. 又a2＋a1＝2－44＝－42， 所以a2＝－19. 同理可得a3＝－21，a4＝－17. 由an＋2－an＝2可得a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列.所以an＝ 10.(13分)某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×(－)＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. 因为500＞480，所以在24小时内能构筑成第二道防线. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则数列{an}的前2 020项和S2 020＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为an＋1＝， 所以＝2(2n＋1)＋，即－＝4n＋2， 所以数列是首项为6，公差为4的等差数列. 设数列的前n项和为Tn，则Tn－1＝－＋－＋…＋－＝－＝－(n≥2). 根据等差数列的前n项和公式得 Tn－1＝＝2n2－2(n≥2)， 所以－＝2n2－2(n≥2)，则＝2n2－， 即＝(2n＋1)(2n－1)，所以an＝＝－(n≥2)， 又a1＝满足上式，故an＝－，则S2 020＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 12.(多选)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是(　　) A.数列{an}是递增数列 B.S5＝60 C.－＜d＜－3 D.S1，S2，…，S12中最大的是S6 答案：BCD 解析：依题意，有S12＝12a1＋d＞0，S13＝13a1＋d＜0，化简得2a1＋11d＞0　①，a1＋6d＜0　②，即a6＋a7＞0，a7＜0，所以a6＞0.由a3＝12，得a1＝12－2d　③，联立①②③，解得－＜d＜－3，故可知等差数列{an}是递减数列，当Sn最大时，结合－＜d＜－3，可得n＝6，所以S1，S2，…，S12中最大的是S6.S5＝＝5a3＝60. 13.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a4＝1，S5＝－5，则d＝　　　　，Sn的最小值为　　　　. 答案：2　－9 解析：由a4＝1，S5＝－5，可得解得a1＝－5，d＝2， 又Sn＝－5n＋×2＝n2－6n，当n＝3时，Sn有最小值－9. 14.(15分)在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{｜an｜}的前n项和Sn. 解：(1)由已知得， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜， 所以当n≤17，n∈N＋时，an＞0； 当n≥18，n∈N＋时，an＜0， 所以数列{an}的前17项和最大. (2)当n≤17，n∈N＋时， ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N＋时， ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜ ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2×(－×172＋×17)－(－n2＋n) ＝n2－n＋884. 所以Sn＝ 15.(5分)等差数列{an}中，若am＝n，an＝m，则am＋n＝　　　　；若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝　　　　. 答案：0　－(m＋n) 解析：由an＝a1＋(n－1)d得am＝a1＋(m－1)d＝n，an＝a1＋(n－1)d＝m， 两式作差得(m－n)d＝n－m，即d＝－1，am＋n＝am＋d＝n－n＝0； 设Sn＝An2＋Bn， 则Sm＝Am2＋Bm＝n，Sn＝An2＋Bn＝m， 两式作差得1＋A(n＋m)＋B＝0， Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n) ＝(m＋n)＝－(m＋n). 16.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”. (1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N＋)，证明：{an}是“H数列”； (2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d＜0.若{an}是“H数列”，求d的值； (3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N＋)成立. 解：(1)证明：由已知得，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n. 于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H数列”. (2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d. 因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝am， 即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1. 因为d＜0，所以m－2＜0，故m＝1，从而d＝－1. 当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝是小于2的整数，n∈N＋. 于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”. 因此d的值为－1. (3)证明：设等差数列{an}的公差为d'，则an＝a1＋(n－1)d'＝na1＋(n－1)(d'－a1)(n∈N＋). 令bn＝na1，cn＝(n－1)(d'－a1)，则an＝bn＋cn(n∈N＋). 下面证{bn}是“H数列”. 设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a1(n∈N＋). 于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝，使得Tn＝bm，所以{bn}是“H数列”. 同理可证{cn}也是“H数列”. 所以，对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N＋)成立. 学科网（北京）股份有限公司 $