2.7.2 抛物线的几何性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

2．7.2　抛物线的几何性质 [学习目标] 知识层面 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．　2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．　3.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识． 素养层面 通过对抛物线几何性质的学习与应用，培养直观想象、数学运算素养. 问题1.类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线的哪些几何性质？ 提示：范围、对称性、顶点及离心率等． 问题2.试以y2＝2px(p＞0)为研究对象，探讨抛物线的范围、对称性及顶点． 如何研究这些性质？ 提示：(1)范围：抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． (2)对称性：观察曲线，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0)． 知识点一　抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 离心率 e＝1 微提醒 抛物线的性质特点 1．抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线． 2．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线． 3．抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1. 4．抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为.　　 知识点二　通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 焦半径 |AF| |AF|＝ x0＋ |AF|＝ －x0 |AF|＝ y0＋ |AF|＝ －y0 学生用书↓第108页 1．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝3x C．y2＝6x D．y2＝－6x 答案：C 解析：顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，由题意知＝，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x. 2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A． B．2 C． D．3 答案：B 解析：由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F，则F(1，0)，所以动点P到l2的距离等于|PF|，分析知动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.故选B. 3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若 · ＝－4，则点A的坐标是(　　) A．(2，±2 ) B．(1，±2) C．(1，2) D．(2，2 ) 答案：B 解析：由题意知F(1，0)，设A(，y0)，则＝(，y0)，＝(1－，－y0)．由·＝－4，所以－y＝－4，解得y0＝±2，所以点A的坐标为(1，±2)．故选B. 4．过抛物线x2＝4y的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到x轴的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 答案：C 解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由|AB|＝yA＋yB＋p＝10，又p＝2，可得yA＋yB＝8.则AB的中点到x轴的距离为＝4. 题型一　由抛物线的几何性质求其标准方程 (链教材P164例1)求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程． [思路点拨]　解决本题的关键是求焦点坐标，因为焦点在直线x－2y－4＝0上，因此要求直线与坐标轴的交点，注意交点应该有两个，因此标准方程也有两个． 解析：因为抛物线的焦点在坐标轴上， 所以直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令x＝0，得y＝－2； 令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点坐标为(4，0)或(0，－2)． 当焦点为(4，0)时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x； 当焦点为(0，－2)时，＝2，所以p＝4， 此时抛物线的标准方程为x2＝－8y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y. 方法技巧 求抛物线的标准方程的步骤 1．先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置； 2．后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程．　　 对点练1．边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且经过点A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝ x B．y2＝－ x C．y2＝± x D．y2＝± x 答案：C 解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(±，)(取点A在x轴上方)，则有 ＝± a，解得a＝± ，所以抛物线方程为y2＝± x．故选C. 题型二　抛物线几何性质的应用 以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，其中|OA|＝|OB|.若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． [思路点拨]　由抛物线的对称性可设点A的坐标为(3，m)(m>0)，代入抛物线方程求m，又由对称性，知|OA|＝|OB|＝，进而求得周长． 解：如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，设垂足为点M. 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|＝ |OM|. 因为F(2，0)，所以|OM|＝ |OF|＝3， 所以M(3，0)． 故设A(3，m)(m>0)，代入y2＝8x得，m2＝24， 所以m＝2 或m＝－2 (舍去)， 所以A(3，2 )，B(3，－2 )， 所以|OA|＝|OB|＝ ， 所以△OAB的周长为2 ＋4 . 方法技巧 利用抛物线的几何性质可以解决的问题 1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题． 2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． 3．范围：解决与抛物线有关的最值问题． 4．焦点：解决通径和焦半径有关的问题．　　 对点练2．(1)抛物线x＝8y2的通径长为(　　) A．8 B．4 C． D． (2)设点F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点．若＋＋＝0，则||＋||＋||＝______． 答案：(1)C　(2)6 解析：(1)抛物线x＝8y2，即y2＝x，可得2p＝，因此通径长为.故选C. (2)设点A、B、C的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线的焦点为(1，0)，因为＋＋＝0，所以x1－1＋x2－1＋x3－1＝0，即x1＋x2＋x3－3＝0.所以||＋||＋||＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝3＋1×3＝6. 学生用书↓第109页 题型三　焦点弦问题 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程． [思路点拨]　要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 解：因为过焦点的弦长|AB|＝p， 所以弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为y2＝2px的焦点为F， 所以直线AB方程为y＝k. 由整理得 k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0(k≠0)， 所以x1＋x2＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p， 又|AB|＝p， 所以＋p＝p，所以k＝±2. 所以所求直线方程为y＝2或y＝－2. [变式探究] 1．(变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． 解：设AB中点为M(x0，y0)， 由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝p， 所以AB的中点M到y轴的距离为p. 2．(变条件)本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1. 解：由例题解析可知AB的方程为y＝k， 即x＝y＋， 代入y2＝2px消x可得y2＝y＋p2，即y2－y－p2＝0，所以y1y2＝－p2， 由A1点的坐标为， B1点的坐标为， 得kA1F＝－，kB1F＝－， 所以kA1F·kB1F＝＝－1，所以∠A1FB1＝90°. 方法技巧 解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．　　 对点练3．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证： (1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝； (2)＋为定值. 证明：(1)当AB斜率存在时， 设直线AB为y＝k(k≠0)， 联立消去y，得 k2x2－p(k2＋2)x＋＝0， 所以x1＋x2＝p. 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝p＋p， 又k＝tan θ＝， 得|AB|＝·p＋p＝. 当AB斜率不存在时，θ＝，直线AB的方程为x＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p，满足|AB|＝. 综上，|AB|＝. (2)由抛物线的定义，知|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋， 所以＋＝＋. 当AB的斜率不存在时，x1＝x2＝. ＋＝＋＝＋＝. 当AB的斜率存在时， ＋＝ ＝＝＝. 综上，＋＝. 易错点　忽略焦点所在位置 顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________． [正解]　设抛物线的方程为y2＝2ax，则F. 令x＝，则|y|＝ ＝＝|a|. 由于通径长为6，即2|a|＝6，所以a＝±3. 所以适合题意的抛物线方程为y2＝±6x. 答案：y2＝±6x [易错探因]　忽略a的取值，默认a大于0，忽略a小于0的情况． [误区警示]　只说焦点在x轴上时，要注意a的正负两种情况． 课时测评28　抛物线的几何性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：A 解析：抛物线C：y2＝x的焦点为F，因为A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，所以x0＝x0＋，解得x0＝1.故选A. 2．(多选)点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：AB 解析：抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－，因为点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，所以＝2，解得a＝或a＝－.故选AB. 3．抛物线y2＝2px过点A(2，4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝(　　) A．1∶4 B．1∶2 C．2∶5 D．3∶8 答案：C 解析：将点A(2，4)的坐标代入y2＝2px，42＝4p，所以得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，已知B(8，－8)，所以＝＝＝.故选C. 4．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，若抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于(　　) A．4 B．4或－4 C．－2 D．－2或2 答案：B 解析：由题设条件可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，又点P在抛物线上，则k2＝4p.因为|PF|＝4，所以＋2＝4，即p＝4，所以k＝±4.故选B. 5．(多选)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的值可以为(　　) A．3 B．4 C． D． 答案：ABD 解析：抛物线上的点P到准线的距离等于P到焦点F(1，0)的距离，所以点F到直线4x－3y＋11＝0的距离为d1＋d2的最小值，所以(d1＋d2)min＝＝3，即d1＋d2≥3.故选ABD. 6．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 答案：0或1 解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1. 7．设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________． 答案：8 解析：如图，分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q， 由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝2|1－(－3)|＝2×4＝8. 8．(一题两空)设抛物线y2＝2px上的三个点A，B(1，y2)，C到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3.若d1，d2，d3中的最大值为3，则p的值为________；d1，d2，d3中的最小值为________． 答案：3　 解析：根据抛物线的几何性质可得d1＝＋，d2＝＋1，d3＝＋，由题意可得p>0，因此可判断d3最大，故d3＝＋＝3，解得p＝3.所以d1＝＋＝，d2＝＋1＝.所以d1，d2，d3中的最小值为. 9．(10分)等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个等边三角形的边长． 解：如图所示，设等边△OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2. 又|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y， 即x－x＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝ x1，与y＝2px1联立， 解得y1＝2p. 所以边长|AB|＝2y1＝4p. 10．(10分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程． 解：由已知，得＝2，所以＝4，解得＝， 即渐近线方程为y＝±x. 而抛物线准线方程为x＝－， 于是A，B， 从而△AOB的面积为×p×＝，可得p＝2. 所以其标准方程为y2＝4x. 11．(5分)(多选)经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是(　　) A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B． ＋ ＝ C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－ 相离 D．y1y2＝－p2 答案：ABD 解析：由抛物线和交点弦AB的图象可知，当AB的斜率不存在时，|AB|最小，所以A正确；设直线AB的方程为x＝my＋ ，联立 消去y得x2－(2pm2＋p)x＋ ＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝2pm2＋p，x1x2＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ，所以B正确；设以AB为直径的圆的半径为r，AB中点P(x0，y0)，则x0＝ ＝pm2＋ ，r＝ ＝ ＝pm2＋p，所以圆心到直线x＝－ 的距离d＝x0－(－)＝pm2＋p＝r，所以以弦AB为直径的圆与直线x＝－ 相切，所以C错误；y1y2＝·＝ ＝ ＝ ＝－p2，所以D正确．故选ABD. 12．(5分)如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，且两条曲线交点的连线过F，则该椭圆的离心率是________． 答案：－1 解析：如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆的左焦点为F′，两条曲线在x轴上方的交点为M，连接MF′，则MF⊥OF.当x＝时代入抛物线方程得y＝±p.所以M.所以|MF′|＝＝p，|MF|＝p，|F′F|＝p，故2a＝p＋p，2c＝p， 所以e＝＝＝－1. 13．(10分)已知抛物线y2＝2x. (1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解：(1)设抛物线上任一点P(x，y)， 则|PA|2＝＋y2＝＋2x ＝＋， 因为x≥0，且在此区间上函数单调递增， 所以当x＝0时，|PA|min＝， 故距点A最近的点P的坐标为(0，0)． (2)设点M(x0，y0)是y2＝2x上任一点， 则M到直线x－y＋3＝0的距离为 d＝＝ ＝， 当y0＝1时，dmin＝＝， 所以所求点M的坐标为. 14．(5分)已知抛物线C1：y2＝12x的焦点为F，圆C2：x2＋y2－6x＝0，过点F的直线l与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于M，N两点，且点A，M在同一象限，则＋4的最小值为(　　) A．5 B．12 C．16 D．20 答案：B 解析：圆C2：x2＋y2－6x＝0，圆心(3，0)，半径为3，抛物线C1：y2＝12x的焦点F(3，0)，由题意得直线l斜率不为0.设直线l：x＝my＋3，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，联立整理得y2－12my－36＝0，则y1y2＝－36，x1x2＝＝9，则＋4＝＋4＝(x1＋3)－3＋4(x2＋3)－12＝x1＋4x2≥2＝12(当且仅当x1＝6，x2＝时等号成立)，故＋4的最小值为12.故选B. 15．(15分)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值．解：(1)由题意可知F(，0)，则该直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p. 因为|MN|＝8，所以x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8， 解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. 因为直线l为抛物线C的切线，所以Δ＝0，解得b＝1.所以直线l的方程为y＝x＋1. 由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1. 设P(m，m＋1)，则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))， 所以·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·(y1＋y2)＋(m＋1)2. 因为x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4. 因为y－y＝4(x1－x2)，所以y1＋y2＝4×＝4， 所以·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为－14. 学生用书↓第110页 学科网（北京）股份有限公司 $