1.2.3 直线与平面的夹角 1.2.4 二面角-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

1．2.3　直线与平面的夹角 1．2.4　二面角 [学习目标] 知识 层面 1.理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．　2.会求直线与平面的夹角．　3.掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．　4.掌握求二面角的方法、步骤． 素养 层面 通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养；通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养；借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1. (1)直线与平面所成的角就是直线与平面内任一直线所成的角吗？ (2)直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？ 提示： (1)不是；(2)不是． 问题2.(1)两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？ (2)两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是. (2)两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角． 知识点一　直线与平面的夹角 1．直线与平面所成的角的分类 直线与平面所成的角，应分三种情况： 2．斜线与平面所成角 平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称为这条斜线与平面所成的角．例如，如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A′B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′就是直线AB与平面α所成的角． 3．线线角、线面角的关系式 如图，AO为平面α的一条斜线段，O为斜足，AA1⊥平面α，A1为垂足，则OA1为斜线段AO在平面α内的射影，设OM为平面α内通过点O的任一条直线，OA与OA1所成的角为θ1，OA1与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则cos θ＝cos θ1cos θ2． 4．最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 5．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ， 学生用书↓第27页 如图①②所示，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－. 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|. 知识点二　二面角及其度量 1．二面角的定义及表示 (1)二面角的有关定义 ①半平面：平面内的一条直线把一个平面分为两部分，其中的每一部分都称为一个半平面． ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． (2)二面角的表示 棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β. 如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A-l-B. 2．二面角的平面角 如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小，特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． 注意：二面角的取值范围是[0，π]，当两个半平面重合时，理解为0；当两个半平面在同一平面内，且延伸方向相反时，理解为π. 3．用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，设α1与α2所成角的大小为θ.如图①②所示，可以看出θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． 特别地，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 微提醒 对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： 1．斜线与平面的夹角范围是；而直线与平面的夹角范围是. 2．设在平面α内的射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，则||＝||·cos θ. 3．平面α的法向量n与AB所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α所成的角．　　 1．已知二面角α-l-β等于θ，异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成的角等于(　　) A．θ B．π－θ C.－θ D．θ或π－θ 答案：D 解析：应考虑0≤θ≤与＜θ≤π两种情况． 2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是(　　 ) A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定 答案：A 解析：A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，则·＝(＋)·＝·＋·＝0，所以MP⊥MN，即∠PMN＝90°. 3．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝ AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：以A为坐标原点，AF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，G(a，a，0)，C(0，2a，2a)，B(0，2a，0)，所以＝(a，a，0)，＝(0，2a，2a)，＝(－a，a，0). 设平面AGC的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 取z＝1，则x＝1，y＝－1，所以n＝(1，－1，1).设GB与平面AGC所成角为α，所以sin α＝cos 〈，n〉＝＝＝ .所以GB与平面AGC所成角的正弦值为 . 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为　　　　． 答案： 解析：建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)，则＝(2，0，－2)，＝(0，2，－1).设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，则所以所以令y＝1，得n＝(2，1，2).易知平面ABCD的法向量为m＝(0，0，1)，则|cos〈n·m〉|＝＝.由图可知二面角的余弦值为. 学生用书↓第28页 题型一　直线与平面所成的角 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． [思路点拨]　方法一：向量法：作出AC1在平面ABB1A1内的射影，利用向量直接求解． 方法二：向量法： 建系→求出相关点的坐标→及平面ABB1A1的法向量n的坐标→sin θ＝|cos〈，n〉|→θ. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，B1(0，a，a). 方法一：如图，取A1B1的中点M，则M，连接AM，MC1，则＝，＝(0，a，0)，＝(0，0，a). 因为·＝0，·＝0， 所以MC1⊥AB，MC1⊥AA1， 又AB∩AA1＝A，所以MC1⊥平面ABB1A1. 所以∠C1AM即直线AC1与侧面ABB1A1所成的角． 因为＝，＝， 所以·＝0＋＋2a2＝. 又||＝ ＝a， ||＝ ＝， 所以cos〈，〉＝＝. 所以〈，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 方法二：＝(0，a，0)，＝(0，0，a). 设侧面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0且n·＝0， 所以ay＝0且az＝0，所以z＝y＝0，故n＝(1，0，0)为平面ABB1A1的一个法向量． 又＝， 所以cos〈，n〉＝＝＝－. 设AC1与侧面ABB1A1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，所以θ＝30°， 即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 方法技巧 用向量法求线面角的步骤 1．分析图形关系，建立空间直角坐标系； 2．求出直线的方向向量a和平面的法向量n； 3．求出夹角〈a，n〉； 4．判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.　　 对点练1．(1)平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)l与α所成的角为a与b所成的角或其补角．又cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝60°. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A-xyz(图略)，则A(0，0，0)，B1(0，2，)，C1(2，0，)，A1(0，0，)，＝(0，0，)，＝(0，2，)，＝(2，0，).设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，所以θ＝.故选A. 题型二　二面角 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，AB＝2AD. (1)求证：平面PAD⊥平面PBD； (2)求二面角A-PB-C的余弦值． [思路点拨]　(1)令AD＝1，求出BD＝，从而AD⊥BD，进而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PBD. (2)以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值． 解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，令AD＝1， 则BD＝ ＝， 在△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD， 又平面PAD⊥平面ABCD， 所以BD⊥平面PAD，BD⊂平面PBD， 所以平面PAD⊥平面PBD. (2)由(1)得AD⊥BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 令AD＝1，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P， ＝(－1，，0)，＝，＝(－1，0，0)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则，取y＝1，得n＝(，1，1)， 设平面PBC的法向量m＝(a，b，c)， 取b＝1，得m＝(0，1，2)， 所以|cos〈n，m〉|＝＝＝， 由图形知二面角A-PB-C的平面角为钝角， 所以二面角A-PB-C的余弦值为－. 方法技巧 1．求二面角的方法 学生用书↓第29页 2．向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤 　　 对点练2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值． 解：(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直． 如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝ ，OC＝1， 所以O(0，0，0)，B1( ，0，2)，C1(0，1，2)， 平面BDD1B1即为平面DOB1，易知平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)， 设平面C1OB1的法向量为m＝(x，y，z)， 则由m⊥，m⊥，所以 取z＝－ ，则x＝2，y＝2 ， 所以m＝(2，2 ，－ )， 所以cos 〈m，n〉＝ ＝ ＝ . 所以平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值为 . 易错点　混淆二面角与面面角的大小 已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，则平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为　　　　． [正解]　建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)，所以＝(0，2a，0)，＝(－a，0，a)，＝(－a，0，0)，＝(0，2a，－a). 设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1＝(x，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有和 取x1＝1，y2＝1，可得n1＝(1，0，1)，n2＝(0，1，2)， 则cos〈n1，n2〉＝＝， 故平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为. 答案： [易错探因]　本题易错的地方是认为平面BPC与平面DPC的夹角就是二面角B-PC-D，得到错解：求得cos〈n1，n2〉＝＝后，观察图形知二面角B-PC-D为钝角，得平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为－. 事实上，二面角的取值范围是[0，π]，面面角的取值范围是，不要将两者混淆了． 课时测评7　直线与平面的夹角　二面角 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，且cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为cos〈m，n〉＝－，且〈m，n〉∈[0，π]， 所以〈m，n〉＝，则l与α所成的角为－＝. 2．若平面α的一个法向量为m＝(1，0，1)，平面β的一个法向量为n＝(－3，1，3)，则平面α与β的夹角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：D 解析：因为m·n＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝－3＋0＋3＝0，所以m⊥n，所以平面α与β的夹角等于90°.故选D. 3．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2)，故＝(1，1，0)， ＝(0，1，2)，＝(0，1，0). 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝1，则y＝－2，x＝2， 所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1). 设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝.故选A. 4．如图，在空间直角坐标系D-xyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E为C1D1的中点，则平面B1A1B与平面A1BE夹角的余弦值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：C 解析：设AD＝1，则A1(1，0，2)，B(1，2，0).因为E为C1D1的中点，所以E(0，1，2)，所以＝(－1，1，0)，＝(0，2，－2).设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则，所以，取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1，1，1).又DA⊥平面B1A1B，所以＝(1，0，0)是平面B1A1B的一个法向量．因为cos〈m，〉＝＝＝，所以平面B1A1B与平面A1BE夹角的余弦值为.故选C. 5．(多选)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° 答案：ABC 解析：以D为坐标原点，分别以，，所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则可以证明AC1⊥面CB1D1，所以可以作为面CB1D1的法向量，所以C正确．因为＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，1)，所以·＝1－1＝0，所以BD∥面CB1D1即A，B正确．又因为＝(－1，0，0)，＝(1，0，1)，所以cos〈，〉＝＝，所以AD与CB1所成的角为45°，所以D错误．故应选ABC. 6．在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝　　　　． 答案： 解析：平面Oxy的法向量为n＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则 即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.而cos 〈n，u〉＝ ＝ ，解得a2＝，又因为a>0，所以a＝ . 7．已知A∈α，P∉α，＝，，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为　　　　． 答案： 解析：设直线PA与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝ ＝＝. 因为θ∈，所以θ＝. 8．(一题两空)如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM＝　　　　，EM，AN所成角的余弦值为　　　　． 答案：　 解析：如图所示，过点C作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角，所以cos∠CFO＝. 设AB＝1，则CF＝，OF＝×＝，OC＝＝，所以O为正方形ABDE的中心．故OA⊥OB，且OA＝OB＝，建立如图所示空间直角坐标系，则E，A，B，C，M，N，所以＝，＝，所以EM＝||＝ ＝，AN＝||＝，cos〈，〉＝＝. 9．(10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的余弦值． 解：方法一：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，取BD的中点E，连接A1E，C1E. 因为△BDA1和△BDC1都是正三角形，所以A1E⊥BD，C1E⊥BD.故∠A1EC1是二面角A1－BD－C1的平面角，即与的夹角． 由E，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)， 得＝，＝， ||＝ ＝，||＝ ＝，·＝－－＋1＝， 则cos〈，〉＝＝. 即二面角A1-BD-C1的余弦值为. 方法二：不妨设正方体的棱长为1， 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，所以＝(1，1，0)，＝(0，1，1).设平面C1BD的法向量为n1＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则y＝－1，x＝1，所以n1＝(1，－1，1)是平面C1BD的一个法向量． 同理，可求得平面A1BD的一个法向量n2＝(－1，1，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝－. 结合图形知，二面角A1-BD-C1为锐角，故二面角A1-BD-C1的余弦值为. 10．(10分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 解：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1， 则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB. 以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝AA1＝2， 所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2). (1)因为P为A1B1的中点， 所以P，从而＝， 又＝(0，2，2)， 故cos〈，〉＝＝＝. 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为. (2)因为Q为BC的中点，所以Q， 因此＝，＝(0，2，2)，＝(0，0，2). 设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量， 则即 不妨取n＝(，－1，1). 设直线CC1与平面AQC1所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝， 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为. 11．(5分)如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0，0，0)，B，F，C，所以＝，＝，＝.易知为平面BFD的一个法向量，设平面CBF的法向量为n＝(x，y，z)，则，即令x＝1，则y＝，z＝，所以平面CBF的一个法向量为n＝(1，，)，所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故平面CBF与平面BFD夹角的正切值为. 12．(5分)如图所示，已知正三棱柱ABC-A′B′C′的底面边长为2，高为4，D是棱AA′的中点，E在棱BB′上，且EB＝BB′，则截面CDE与底面A′B′C′所成二面角的大小为　　　　． 答案：45° 解析：因为AA′＝BB′＝4，D是棱AA′的中点，BE＝BB′，所以AD＝2，BE＝1，ED＝.在△EDC中，EC＝，ED＝，CD＝2，易得S△DCE＝，而S△A′B′C′＝，设截面CDE与底面A′B′C′所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，所以θ＝45°. 13．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝. (1)求证：PD⊥平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 解：(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD， 所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A， 所以PD⊥平面PAB. (2)取AD的中点O，连接PO，CO. 因为PA＝PD，所以PO⊥AD. 又因为PO⊂平面PAD， 平面PAD⊥平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD. 因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO. 因为AC＝CD，所以CO⊥AD. 如图，建立空间直角坐标系O-xyz. 由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).则＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1)，＝(0，－1，1). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝2，则x＝1，y＝－2. 所以n＝(1，－2，2). 又＝(1，1，－1)， 所以cos〈n，〉＝＝－. 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. (3)设M是棱PA上一点， 则存在λ∈[0，1]使得＝λ. 因此点M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ). 因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，当且仅当·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0. 解得λ＝.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝. 14．(5分)三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则P(λ，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，N，＝，平面ABC的一个法向量为n＝，设直线PN与平面ABC所成的角为θ，所以sin θ＝＝，所以当λ＝时，(sin θ)max＝，此时角θ最大．故选D. 15．(15分)已知几何体EFG-ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上． (1)求证：BM⊥EF； (2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 解析：(1)证明：因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形， 所以GD⊥DA，GD⊥DC. 又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD. 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 则B(1，1，0)，E(1，0，1)， F(0，1，1). 因为点M在棱DG上，故可设M(0，0，t)(0≤t≤1). 因为＝(1，1，－t)，＝(－1，1，0)， 所以·＝0，所以BM⊥EF. (2)假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°. 设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 因为＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)， 所以 所以 令z＝1，得x＝y＝1， 所以n＝(1，1，1)为平面BEF的一个法向量， 所以cos〈n，〉＝＝， 因为直线MB与平面BEF所成的角为45°， 所以sin 45°＝|cos〈n，〉|， 所以＝，解得t＝－4±3. 又0≤t≤1，所以t＝3－4. 所以存在点M(0，0，3－4). 所以当点M位于棱DG上，且DM＝3－4时，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°. 学生用书↓第30页 学科网（北京）股份有限公司 $