1.2.2 空间中的平面与空间向量-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

1．2.2　空间中的平面与空间向量 [学习目标] 知识 层面 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．　2.会用平面的法向量、直线的方向向量证明直线与平面、平面与平面的平行、垂直问题．　3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题. 素养 层面 通过本节知识的学习，培养数学抽象素养；借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养. 油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶．油纸 伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂． 问题1.当伞柄的方向改变时，伞面的位置也改变，为什么？ 提示：伞柄与伞面是垂直关系，过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直， 所以伞柄的方向改变时，伞面的位置也随之改变． 问题2.观察右图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示：垂直． 知识点一　平面的法向量 平面的法向量的定义 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α． [微思考]　过空间一点作平面的法向量，法向量唯一吗？ 提示：不唯一．过空间一点作平面的垂线有且只有一条，但法向量有无限多个，它们是共线向量． 知识点二　三垂线定理及其逆定理 1．三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 如图，AB是平面α的斜线，AO⊥α，BO是AB在α内的射影，l⊂α，若l⊥BO，则l⊥AB；反之，若l⊥AB，则l⊥BO. 1．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝(－3，1，－4)，则(　　) A．α∥β　　　 B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 答案：C 解析：因为≠≠且u·v≠0，所以α，β相交但不垂直．故选C． 2．(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) 答案：AD 解析：若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0.故选AD． 学生用书↓第24页 3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 答案：C 解析：因为α∥β，所以(1，2，－2)＝λ(－2，－4，k)，所以k＝4.故选C． 4．直线l的方向向量为a＝(2，－1，1)，平面α的法向量为n＝，则l与α的位置关系为________． 答案：l∥α或l⊂α 解析：因为a＝(2，－1，1)，n＝，所以a·n＝2×＋(－1)×0＋1×(－1)＝0，所以a⊥n，所以l⊂α或l∥α. 题型一　求平面的法向量 (链教材P40例2) 如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． [思路点拨]　(1)建立空间直角坐标系，求出各点的坐标．(2)设出平面的法向量，利用法向量与平面内的两个向量的数量积为零，列出方程组求解． 解：以A为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1)． (1)因为SA⊥平面ABCD， 所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量． (2)因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，所以AD⊥平面SAB， 所以＝是平面SAB的一个法向量． (3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1)． 设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥，所以 得方程组所以 令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)． 方法技巧 1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.　　 对点练1.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量． 解：如下图，连接PF，CF. 因为PA＝PB，F为AB的中点， 所以PF⊥AB， 又因为平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB， 所以PF⊥平面ABCD. 因为AB＝BC，∠ABC＝60°， 所以△ABC是等边三角形， 所以CF⊥AB. 以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)． 由题意得F(0，0，0)，P，D，C，E. 所以＝，＝. 设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则即 所以 令y＝2，则x＝，z＝－2. 所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2)(答案不唯一)． 学生用书↓第25页 题型二　利用空间向量证明线面、面面平行 (链教材P39例1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证： (1)MN∥平面A1BD. (2)平面A1BD∥平面CB1D1. [思路点拨]　 证明：(1)方法一：如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝. 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则 即取x＝1，则y＝－1，z＝－1， 所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， 所以⊥n. 所以MN∥平面A1BD. 方法二：＝－＝－＝(－)＝，所以∥，所以MN∥平面A1BD. 方法三：＝－＝－＝－＝－＝－. 即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD. (2)由(1)解析知，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)， 则＝(0，－1，1)，＝(1，1，0)， 设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1，1，1)， 又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1. 方法技巧 1．向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. (2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 2．证明面面平行的方法 设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.　　 对点练2．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a. 连接AC，交BD于点G，连接EG， 依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E，B(a，a，0)． 方法一：设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝，＝， 则有 即即 令z＝1，则所以n＝(1，－1，1)， 又＝(a，0，－a)， 所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0. 所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二：因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为，所以＝. 又＝(a，0，－a)， 所以＝2，这表明PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 方法三：假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即(a，0，－a)＝λ＋μ， 则有解得 所以＝－＋，又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 易错点　忽略对位置关系的进一步判断 已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，D(1，2，0)，E(0，0，1)，则直线DE与平面ABC的位置关系是(　　) A．平行 B．DE⊂平面ABC C．相交 D．平行或DE⊂平面ABC [正解]　因为＝(－1，1，1)，＝(1，0，－1)， 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，1)， 则n·＝0且n·＝0，所以解得所以n＝(1，0，1)，又＝(－1，－2，1)，所以·n＝(－1，－2，1)·(1，0，1)＝0，即⊥n，则DE∥平面ABC或DE⊂平面ABC.因为＝(1，1，－1)，所以＝2＋，所以A，B，C，D点共面，即点D在平面ABC内，所以DE⊂平面ABC. 答案：B [易错探因]　本题易错的地方是得到⊥n，就认为DE与平面ABC平行，错选A．事实上需要进一步考查直线DE与平面ABC的关系，当⊥n时，DE与平面不一定平行，还有可能在平面内． 课时测评6　空间中的平面与空间向量 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知α，β是两个不同的平面，给定下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：①③④正确．②中由α∥β⇒n1∥n2. 2．设直线l的方向向量u＝(－2，2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案：B 解析：因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4.故选B． 3．如果直线l的方向向量是a＝(－2，0，1)，平面α的法向量是b＝(－4，0，2)，那么(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l⊂α D．l与α斜交 答案：A 解析：因为a＝(－2，0，1)，b＝(－4，0，2)＝2a，所以a∥b，所以l⊥α.故选A． 4．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则下列向量中是平面ABC的法向量的是(　　) A．(1，2，－6) B．(－2，1，1) C．(1，－2，2) D．(4，－2，1) 答案：C 解析：设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则即取x＝1，解得y＝－2，z＝2.所以n＝(1，－2，2)．故选C． 5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 答案：B 解析：根据题意建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，所以M(2，1，1)，N(1，1，2)，所以＝(－1，0，1)．又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0，1，0)，所以·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以⊥n，又因为MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.故选B． 6．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________． 答案：2∶3∶(－4) 解析：＝，＝，由得解得则x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)． 7．设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，则平面α与β的位置关系是__________． 答案：垂直 解析：因为a·b＝－2＋6－4＝0，所以a⊥b，因此α⊥β. 8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 答案： 解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设|AB|＝a，点P坐标为(0，0，b)，则B1(a，0，1)，D(0，1，0)，E，＝(a，0，1)，＝，＝(0，－1，b)，因为DP∥平面B1AE，所以存在实数λ，μ，设＝λ＋μ，即(0，－1，b)＝λ(a，0，1)＋μ＝.所以 所以b＝λ＝，所以P，所以AP＝ . 9．(10分)已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 解：因为A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)， 所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)． 设平面α的法向量是n＝(x，y，z)． 依题意，得n·＝0且n·＝0， 即令y＝1，则x＝2，z＝0. 所以平面α的一个法向量是n＝(2，1，0)． 10．(10分)如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝ AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，连接PA，PB，PC，形成四棱锥P-ABCD.用向量方法证明：AP∥平面EFG. 证明：如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz， 则P(0，0，2)，C(0，2，0)，G(1，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，A(2，0，0)， ＝(－2，0，2)， ＝(0，－1，0)， ＝(1，1，－1)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)． 则 即 所以 令x＝1，则z＝1，所以n＝(1，0，1)． 因为n· ＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0， 所以n⊥ . 又AP⊄平面EFG， 所以AP∥平面EFG. 11．(5分)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，不能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2) C．(2，－2，1) D．(1，2，－2) 答案：ACD 解析：设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(1，0，0)，E，F.故＝，＝.所以即所以经计算，选项A，C，D中的向量均不能作为平面AEF的法向量． 12．(5分)由向量a＝(1，0，2)，b＝(0，2，1)确定的平面的一个法向量为n＝(x，y，z)，则向量c＝(1，，2)在n上的射影长是________． 答案：1 解析：由n是a，b所确定的平面的一个法向量，知即不妨设z＝2， 可解得x＝－4，y＝－1，所以n＝(－4，－1，2)， 所以c在n上的射影长为||c|cos〈n，c〉|＝＝＝1. 13．(10分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点． (1)求证：DE∥平面ABC； (2)求证：B1F⊥平面AEF. 证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B1(4，0，4)，D(2，0，2)，A1(0，0，4)， (1)＝(－2，4，0)，平面ABC的法向量为＝(0，0，4)， 因为·＝0，DE⊄平面ABC， 所以DE∥平面ABC. (2)＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)， ·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， 所以⊥，B1F⊥EF， ·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0， 所以⊥，所以B1F⊥AF. 因为AF∩EF＝F，所以B1F⊥平面AEF. 14．(5分)(多选)已知空间中三点A，B，C(－1，3，1)，则下列结论正确的是(　　) A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是 答案：BD 解析：对于A，＝，＝，因为≠，所以与不是共线向量，故A错误；对于B，＝，则与同向的单位向量是＝＝，故B正确；对于C，＝，＝，所以cos〈，〉＝＝＝－，故C错误；对于D，＝，＝，设平面ABC的法向量为n＝，则所以取x＝1，则得n＝，故D正确．故选BD． 15．(15分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为2， 则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)， 所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，＝(－2，－2，2)． 设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝1，则y＝1，z＝2， 所以平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2)． 若平面D1BQ∥平面PAO， 则n1也是平面D1BQ的一个法向量． 设Q(0，2，c)，则＝(－2，0，c)， 所以n1·＝0，即－2＋2c＝0，所以c＝1， 这时n1·＝－2－2＋4＝0. 所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 学生用书↓第26页 学科网（北京）股份有限公司 $