第三章 圆锥曲线的方程 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

章末综合提升 　 第三章 圆锥曲线的方程 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 单元检测卷 4 内容索引 体 系 构 建 返回 返回 分 层 探 究 返回 探究点一　圆锥曲线的定义与应用 (1)(多选)已知平面上点A，B，动点M，以下叙述正确的是 A.若｜MA｜2－｜MB｜2＝3，则M的轨迹是一条直线 B.若－＝4，则M的轨迹是双曲线的一支 C.若＝k(k为正常数，且k≠1)，则M的轨迹一定是圆 D.若＋＝8，则M的轨迹是椭圆 典例 1 √ √ √ 对于A，根据题意可得＋y2－＝3，整理可得x＝， 故M的轨迹是一条直线，故A正确；对于B，－＝4＝，故点M的轨迹是一条射线，不满足双曲线定义，故B错误；对于C，＝k(k≠1，k＞0)，即＋y2＝k2，整理可得＋y2＝，其表示圆心为，半径为的圆，故C正确；对于D，＋＝8＞，故其轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为8的椭圆，故D正确.故选ACD. (2)已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝5，则M的轨迹为__________. 一条射线 由｜F1F2｜＝＝5，｜MF1｜－｜MF2｜＝｜F1F2｜.又｜MF1｜＞｜MF2｜，故M的轨迹为一条射线. 规律方法 1.涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合图形解题. 2.求抛物线的最值问题时，常利用定义把抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形解题. 对点练1.(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为 A.13 B.12 C.9 D.6 √ 由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤()2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.故选C. (2)已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外切、一个内切，则动圆圆心C的轨迹方程为___________. －＝1 设动圆圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由圆C1：(x－3)2＋y2＝4，可得圆心C1(3，0)，半径r1＝2，由圆C2：(x＋3)2＋y2＝4，可得圆心C2(－3，0)，半径r2＝2.根据题意，可得－＝4或－＝－4，可得＝4，又因为＝6，可得＝4＜＝6.根据双曲线的定义，可得点C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线，且2a＝4，2c＝6，所以a＝2，c＝3，则b＝＝，所以动圆圆心C的轨迹方程为－＝1. 探究点二　圆锥曲线的标准方程 (1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________. 典例 2 x2－＝1 由题意得则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线的方程为x2－＝1. (2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程. 法一：由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)， 则点P的坐标为(x，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以x2＋(2y)2＝4， 所以曲线C的方程为＋y2＝1. 法二：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0，0)，由＝2，得x0＝x，y0＝2y， 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， 所以＋＝4，(*) 把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4， 所以曲线C的方程为＋y2＝1. 规律方法 求圆锥曲线方程的步骤 第一步(定位)：指的是圆锥曲线的焦点位置与对称轴的位置.根据“位”设方程的形式，例如焦点在x轴上的椭圆可设为＋＝1(a＞b＞0)，焦点在y轴上的椭圆可设为＋＝1(a＞b＞0)，焦点不确定在哪个坐标轴上就设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)； 第二步(定量)：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程组得到量的大小. 对点练2.(1)设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.以F1F2为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以OF2为直径的圆与直线PF1相切，若＝8，双曲线C与抛物线y2＝2px有共同的焦点F2，则抛物线的标准方程为 A.y2＝12x B.y2＝12x C.y2＝6x D.y2＝6x 由题意知，PF1⊥PF2，设以OF2为直径的圆与直线PF1相 切于点N，圆心为M，如图所示，则MN⊥PF1，因此 Rt△PF1F2∽Rt△NF1M，所以＝. √ 设双曲线的焦距为2c，则＝，解得＝.由勾 股定理可得＝＝ ＝，于是＝8，c＝3.又因为双曲线C与抛物线y2＝2px有共同的焦点F2，则＝3，所以2p＝12，即抛物线方程为y2＝12x.故选A. (2)若双曲线C与－y2＝1有共同的渐近线，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，则该双曲线C的方程为___________. －＝1 由方程－y2＝1，得其渐近线方程为y＝±x，由椭圆＋＝1，得其焦点为.由题意可知，双曲线C的标准方程可设为－＝1，则则双曲线C的标准方程为－＝1. 探究点三　圆锥曲线的几何性质 (1)与双曲线 － ＝1有公共渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程为_______________. 典例 3 － ＝1 设所求的双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0).因为双曲线过点(2，2)，所以 － ＝λ，解得λ＝－，所以 － ＝－，化为标准方程得 － ＝1，即 － ＝1. (2)已知椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，M是两条曲线的公共点，｜MF｜＝ p，则椭圆的离心率为____. 由题意知，椭圆的右焦点F(c，0)，抛物线的焦点为(，0)，则c＝，即p＝2c，所以抛物线方程为y2＝4cx.根据对称性，不妨设M(，y)，y＞0，又｜MF｜＝p，由抛物线的定义，得 ＋ ＝p，得y2＝ p·4c＝ c2，即M( c， c).代入椭圆方程，得 ＋ ＝1，结合a2＝b2＋c2，整理得9a4－37a2c2＋4c4＝0，由e＝，得4e4－37e2＋9＝0，解得e2＝9或e2＝.又0＜e＜1，所以e＝ . 规律方法 　　应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合、方程等数学思想的综合应用. 对点练3.(1)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：－＝1()的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M是FN的中点，则双曲线的离心率为 A. B.2 C. D.3 √ 如图所示，由题意可知，∠AOF＝∠COF1.又因为M是FN的中 点，OM⊥FN，所以∠AOF＝∠AOC，所以3∠AOF＝π，∠AOF ＝.根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为y＝±x，tan∠AOF ＝，所以＝.因为a2＋b2＝c2，所以e＝＝＝2.故选B. (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D，若∠F1BF2＝，则直线CD的斜率为_____. 由椭圆的对称性及∠F1BF2＝得∠OBF2＝. 因为＝＝＝a， 所以cos∠OBF2＝＝.设D()，则＋ ＝1，即n2＝b2，则kBD·kCD＝·＝＝＝－＝－.因为∠OBF2＝，所以∠OF2B＝，所以tan∠OF2B＝，所以kBD＝－，故kCD＝＝. 探究点四　直线与圆锥曲线的位置关系 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0). (1)求椭圆的方程； 典例 4 解：由题意知 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程. 解：由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， 所以圆心到直线l的距离d＝， 由d＜1得｜m｜＜ .① 所以｜CD｜＝2＝2＝. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－mx＋m2－3＝0， Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2＞0.② 由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3. 所以｜AB｜＝＝. 由＝，得 ＝1， 解得m＝±，经检验满足①②. 所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－. 规律方法 　　求解直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、切线、求值、最值等问题，一般是将几何关系用坐标表示，建立方程(组)，利用根与系数的关系求解，体现了“设而不求”的思想. 对点练4.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B. (1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程； 解：由椭圆的离心率为，得a＝c， 由A(2，0)，得a＝2， 所以c＝，b＝， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)若线段AB上存在点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，求实数a的取值范围. 解：由e＝，设椭圆方程为＋＝1， 联立得6y2－8y＋4－a2＝0. 若线段AB上存在点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0，1]上有解. 设f (y)＝6y2－8y＋4－a2， 所以 所以≤a2≤4，故实数a的取值范围是. 探究点五　圆锥曲线中的证明问题 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFM的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； 解：因为△OFM的面积为，则有×c×＝，解得c＝1. 又因为M在椭圆C上， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 典例 5 则 (2)过点P()作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点(A在B，P之间)，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称. 解：证明：根据椭圆的对称性，欲证A，D关于x轴对称，如图所示， 只需证kFA＝－kFD，即证kFA＋kFB＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB方程为x＝my＋4， 由消去x得(y2)＋24my＋36＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝， 则kFA＋kFB＝＋ ＝ ＝. 因为y1x2＋y2x1－＝2my1y2＋3(y1＋y2)＝2m×＋3× ＝0， 所以kFA＋kFB＝0，即A，D关于x轴对称. 规律方法 　　解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的性质等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 对点练5.双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作与x轴垂直的直线交双曲线C于A，B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2＝2px(p＞0)以双曲线C的右顶点为焦点. (1)求抛物线E的方程； 解： 设F2(c＞0)，则c＝， 令x＝c，代入C的方程得y2＝3×＝，即＝.如图所示. 所以＝×2c×2＝＝12，所以a＝1，故＝a＝1，即p ＝2. 所以抛物线E的方程为y2＝4x. (2)如图，点P(－，t)(t≠0)为抛物线E的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点. 解：证明：由(1)知P(t≠0)，则M. 直线PO的方程为y＝－tx，代入抛物线E的方程有N. 当t2≠4时，kMN＝＝， 所以直线MN的方程为y－t＝， 即y＝. 所以此时直线MN过定点. 当t2＝4时，直线MN的方程为x＝1，此时仍过点， 综上，直线MN过定点. 返回 考 教 衔 接 返回 (2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 A.4 B.3 C.2 D. 真题 1 √ 由题意，设F1()，F2)，P(，则＝2c＝8，＝＝10，＝＝6，则2a＝－＝10－6＝4，则e＝＝＝2.故选C. (2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 A.＋＝1(y＞0) B.＋＝1(y＞0) C.＋＝1(y＞0) D.＋＝1(y＞0) 真题 2 √ 设点M(x，y)，则P(x，2y)，又P在曲线x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即＋＝1(y＞0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0).故选A. (2024·北京卷)若直线y＝k(与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为_____________________. 真题 3 (或－，答案不唯一) 联立)x2＋24k2x－36k2－4＝0，由题意得1－4k2＝0或Δ＝＋4(＝0，解得k＝±或无解，即k＝±，经检验，符合题意(答案不唯一). (2023·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，｜AC｜＝4. (1)求椭圆E的方程； 解：由题意，得e＝＝，则c＝a， 又A，C分别为椭圆上、下顶点，＝4，所以2b＝4，即b＝2， 所以a2－c2＝b2＝4，即a2－a2＝a2＝4，则a2＝9， 所以椭圆E的方程为＋＝1. 真题 4 (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD. 解：证明：因为椭圆E的方程为＋＝1， 所以A(，C() ，B)，D()， 因为P为第一象限E上的动点， 设P) ，则＋＝1， 易得kBC＝＝－，则直线BC的方程为y＝－x－2. kPD＝＝，则直线PD的方程为y＝)， 联立 解得即M(，). 而kPA＝＝，则直线PA的方程为y＝x＋2， 令y＝－2，则－2＝x＋2，解得x＝，即N. 又＋＝1，则m2＝9－，8m2＝72－18n2. 所以kMN＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 又kCD＝＝，即kMN＝kCD， 显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD. (2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且｜AB｜＝4. (1)求p； 解：设A)，B)， 由可得，y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以＝＝＝× ＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p＞0，解得p＝2. 真题 5 (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值. 解：因为F(，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M)，N)， 由可得，y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n＞0⇒m2＋n＞0. 因为·＝0，所以( ＋y1y2＝0， 即(＋y1y2＝0， 亦即(y1y2＋m＋＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1，因为4()＝(＞0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， ＝ ＝＝ ＝ ＝2， 所以△MFN的面积S＝×d×＝××2＝， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝＝12－8. 返回 单 元 检 测 卷 返回 由题意可知，e＝2，则＝＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.故选A. √ 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(2025·河北石家庄高二月考)若双曲线－＝1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 2.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：x2＝8y上的两点，且直线AB经过C的焦点，若y1＋y2＝12，则｜AB｜＝ A.12 B.14 C.16 D.18 ｜AB｜＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝12＋＝16.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 3.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意可得解得a＝4，b＝3，c＝.因为椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆方程为＋＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设AB的中点坐标为M，则kFM＝＝.设A，B，则＋＝1，＋＝1，相减得到＋＝0，即－＝0，a2＝3b2.又c＝4，a2＝b2＋c2，解得a2＝24，b2＝8，椭圆的方程为＋＝1.故选C. √ 4.已知椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，其右焦点为F)，过点F的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为()，则椭圆的方程为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 5.已知双曲线E：－y2＝1，直线l：y＝kx＋1，若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，则实数k的取值范围是 A.k＜－，或k＞ B.－＜k＜ C.k＜－，或k＞ D.－＜k＜ 由消去y并整理得(1－3k2)x2－6kx－6＝0.由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，得解得－＜k＜，所以实数k的取值范围是－＜k＜.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 6.已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为 A.6 B.12 C. D.2 由题意得a＝3，b＝2，c＝，设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n.根据椭圆的定义得m＋n＝2a＝6，又cos∠F1PF2＝＝＝＝，解得mn＝6，所以＝mnsin∠F1PF2＝×6×＝2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设F1P与F2A交于点Q，由题意PA⊥F2A，PA平分∠F2PQ，则｜PQ｜＝｜PF2｜，A是F2Q中点，｜QF1｜＝｜PF1｜＋｜PQ｜＝2a.而O是F1F2中点，故OA是△F1F2Q的中位线，｜QF1｜＝2｜OA｜，则2a＝2b，a＝b，c2＝a2－b2＝a2，e＝＝.故选B. 7.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若＝b，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.双曲线C：－＝1＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，直线AF2与双曲线C的右支交于点B，且＝15，∠F1AF2＝，则＋＝ A. B.26 C.25 D.23 由题意知｜AF2｜－｜AF1｜＝｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝10. 令｜BF2｜＝x，则｜AF1｜＝x＋15－10＝x＋5，｜BF1｜＝ x＋10，△ABF1中，如图所示，＝15，∠F1AF2＝， 则cos∠F1AF2＝＝， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以＝，则x＝3，故｜AF1｜＝8，则｜AF2｜＝18，所以＋＝26.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.(2025·山西太原高二检测)已知点P是双曲线C：－y2＝1上任意一点，F1，F2是C的左、右焦点，则下列结论正确的是 A.＝2 B.C的离心率为 C.－＝2 D.C的渐近线方程为y＝±x √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 在－y2＝1中，a＝，b＝1，c＝，＝2c＝2，故A正确；C的离心率e＝＝＝，故B正确；由双曲线的定义－＝2或－2，故C错误；C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，故D错误.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，∠F1PF2＝，则 A.△PF1F2的周长为6 B.△PF1F2的面积为 C.△PF1F2内切圆的半径为－1 D.｜OP｜＝ √ √ 由C：＋y2＝1可得a＝2，b＝1，c＝.对于A，△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于B，由余弦定理可得＝＋｜PF2｜2－ 2｜PF2｜｜F1P｜cos＝＋－＝ －3，故4c2＝4a2－3 ⇒3＝4a2－4c2＝4b2＝4，所以＝sin＝××＝，故B正确；对于C，＝＝r，所以r＝－1，故C正确；对于D，＝＝×2c×＝×2×，所以＝，所以＝4＝4(1－)＝，所以＝＝＝＝，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 11.已知抛物线C：y2＝2px()的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，若＝4，D，则以下结论正确的是 A.p＝4 B.＝3 C.若E为C上的动点，其在l上的射影为E1，则＋≥ D.过点D且与C有且仅有一个公共点的直线有3条 对于A，因为F，直线的斜率为，则设直线l的方程为y＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 联立得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝，xB＝，由＝ xA＋＝2p＝4，得p＝2，故A错误；对于B，由于＝xB＋＝p，则＝ 3，故B正确；对于C，如图所示，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，＋＝＋≥＝，当且仅当D，E，F三点共线时取等号，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，与抛物线只有一个公共点；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，联立消去x得ky2－4y＋4＝0，当k＝0时，方程的解为y＝1，此时直线与抛物线只有一个交点；当k≠0时，则Δ＝16－16k＝0，解得k＝1，综上所述，过点D与C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.) 12.抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是___. y＝4x2化为x2＝y，2p＝，p＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.(2025·山东淄博高二质量检测)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，以F2为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线x－y＋8＝0相切.P为椭圆上一点，I为△PF1F2的内心，且＝λ－，则λ的值为____. 设F1)，F2)，F2为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为R＝a＋c＝3＋c，根据题意可知R＝，解得c＝2.设△PF1F2的内切圆半径为r，则＝·r，＝·r，＝·r，故·r＝·r－·r，化简可得＋＝λ，即2a＝λ·2c，解得λ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知椭圆C1和双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则2e1＋e2的取值范围是__________. (，＋∞) 设椭圆C1和双曲线C2的半焦距为c，＝m，＝ n，m＞n，如图所示.由于△PF1F2是以PF1为底边的等 腰三角形，＝10，则m＝10，n＝2c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令椭圆C1的长半轴长为a1，双曲线C2的实半轴长为a2. 由椭圆的定义得m＋n＝2a1，由双曲线的定义得m－ n＝2a2，则a1＝＝5＋c，a2＝＝5－c，相减 得a1－a2＝2c，即－＝2，得e1＝＝－，因此2e1＋e2＝1－＋e2，e2＞1，显然f (＝1－＋e2在上单调递增，于是f＞f＝，所以2e1＋e2的取值范围是(，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知A(－2，0)，B(2，0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (1)求动点P的轨迹方程； 解：设点P的坐标为(x，y)， 由题意得，·＝(x≠±2)， 化简得－＝1(x≠±2). 故动点P的轨迹方程为－＝1(x≠±2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若点O为坐标原点，当｜OP｜＝时，求第二象限点P的坐标. 解：因为｜OP｜＝＝， 故x2＋y2＝，① 又由(1)知－＝1，② 由①②得 又点P在第二象限内， 所以点P的坐标为(－，). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点A(2，1)，离心率为，过点B(3，0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N. (1)求椭圆的方程； 解：由题意有＋＝1，e＝＝， a2－b2＝c2， 解得a＝，b＝，c＝. 所以椭圆的方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若｜MN｜＝，求直线MN的方程. 解：由直线MN过点B且与椭圆有两交点，且直线MN的斜率必存在. 可设直线MN方程为y＝k(x－3)， 代入椭圆方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0， Δ＝24－24k2＞0，得k2＜1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以｜MN｜＝＝＝＝， 解得k＝±，满足k2＜1， 所以所求直线方程为y＝±(x－3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)(2025·贵州铜仁高二质量监测)如图是抛物线型拱桥，当水面在l时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ 解：如图建立平面直角坐标系xOy，设抛物线 型拱桥的方程为x2＝ay(a＜0)， 由题意，可知抛物线经过点G，代入抛物 线方程可得64＝－8a，即得a＝－8， 所以抛物线方程为x2＝－8y. 当拱顶离水面2米时，即y＝－2，代入抛物线方程可得x＝±4，即水面宽为8米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米(即水面上部分高1.5米)，船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？(计算结果保留至小数点后一位，参考数据：≈1.732) 解：由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令x＝6米， 代入抛物线方程中，则36＝－8y， 解得y＝－4.5， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因为船在水面上部分高为1.5米， 故拱顶离水面6米. 在抛物线方程x2＝－8y中，令y＝－6， 则x＝±4， 故2＝8≈13.9， 所以水面宽度至少应为13.9米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知双曲线Γ：－＝1()，其渐近线方程为x±2y＝0，点在Γ上. (1)求双曲线Γ的方程； 解：因为a＞0，b＞0，由题意，得 解得a＝2，b＝1， 所以双曲线Γ的方程为－y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)过点A)的两条直线AP，AQ分别与双曲线Γ交于P，Q两点(不与点A重合)，且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点. 解：证明：由题意可知PQ斜率存在，设方程为y＝ kx＋m，P()，Q ()，如图所示. 联立x2－8kmx－4m2－4＝0， 则Δ＝64k2m2＋4＞0，即m2＋1－4k2＞0，① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以 设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，由题意知k1＋k2＝1， 故有k1＋k2＝＋＝＝＝1，即－4(2k＋m)＋4(m2＋4km＋4k2)＝0， 整理得＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当m＋2k＝0⇒PQ：y＝kx－2k，过A)舍去， 当m＋2k－1＝0⇒PQ：y＝kx－2k＋1，过点()， 此时，将m＝1－2k代入①得(＋1－4k2＝2－4k＞0，得k＜，满足题意. 所以直线PQ过定点M(). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，且＝4. (1)求椭圆C的标准方程； 解：由题意可得＝｜F1F2｜·｜OP｜＝×2c×b＝bc＝4. 又因为椭圆C的离心率为e＝＝， 所以a2＝2c2. 又a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4. 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)不过原点O的直线l：y＝kx＋m与C交于不同的两点A、B，在OA的延长线上取一点D使得｜OA｜＝｜AD｜，连接BD交C于点E(点E在线段BD上且不与端点重合)，若S△OAB＝2S△EAB，试求直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值. 解：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立可得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， 则Δ＝(4km)2－4(2k2＋1)(2m2－8)＝8(4k2＋2－m2)＞0.① 由韦达定理可得x1＋x2＝－，x1x2＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝＝. 因为点A为OD的中点，所以D(2x1，2y1)， 由S△OAB＝2S△EAB，可得S△ABD＝S△OAB＝2S△EAB，即｜BD｜＝2｜BE｜， 所以点E为BD中点， 所以点E的坐标为(x1＋x2，y1＋y2). 将点E的坐标代入椭圆C的方程＋＝1， 可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝1， 化简得(＋)＋＋)＋(＋)＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又＋＝1，＋＝1， 代入上式可得，＋＝－，即x1x2＋2y1y2＝－2. 把x1x2＝，y1y2＝，代入x1x2＋2y1y2＝－2， 可得2m2＝6k2＋3，且满足①式. 在直线l的方程中，令y＝0，可得x＝－，即直线交x轴于点(－，0). 所以直线l与坐标轴所围成三角形面积为S＝｜m｜｜｜＝＝·＝(2｜k｜＋)≥×2＝， 当且仅当2｜k｜＝，即k＝±时取等号. 所以直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值为. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 章末综合提升 返回 $